SISTEMAS LINEARES. Cristianeguedes.pro.br/cefet

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1 SISTEMAS LINEARES Cristieguedes.pro.r/cefet

2 Itrodução Notção B A X Mtricil Form. : m m m m m m m A es Mtri dos Coeficiet : X Mtri dsvriáveis : m B Termos Idepede tes :

3 Número de soluções Ddo um sistem lier, pes um ds situções io pode ocorrer: O sistem tem solução úic Sistem Possível e Determido (SPD) O sistem tem ifiits soluções Sistem Possível e Idetermido (SPI) O sistem ão dmite solução Sistem Impossível (SI)

4 y 3y Solução úic SPD

5 4 y 3 y Ifiits soluções SPI

6 4 y 3 y Não dmite solução SI

7 Grficmete: (o R ) Solução úic: SPD Rets cocorretes. A solução é o poto ode s rets se iterceptm. Ifiits soluções: SPI Rets coicidetes ou prlels iguis. Todos os ifiitos potos sore ret são soluções do sistem. O sistem ão dmite solução: SI Rets prlels distits. As rets ão se crum e, portto, ão eiste ehum poto que estej sore s dus o mesmo tempo.

8 Métodos de resolução Se mtri A é qudrd, por que ão fer X = A - B?

9 m m d c d c c d c c c () Elimição de Guss m m m m Qul sistem é mis fácil de ser resolvido? ()

10 Elimição de Guss (Esclometo) Cosiste em trsformr o sistem ser resolvido em um sistem trigulr equivlete, por meio de operções elemetres. A solução é etão otid, resolvedo-se um sistem trigulr.

11 Mtri Amplid do Sistem: Cd lih represet um equção. err estes elemetos

12 Operções elemetres: Trocr dus equções; (trocr dus lihs) Multiplicr um equção (um lih d mtri mplid) por um costte ão-ul; Adicior um múltiplo de um equção (um lih) um outr equção ( um outr lih). O sistem otido é equivlete o origil, portto possui s mesms soluções.

13 Um mtri está esclod qudo qutidde de elemetos ulos umet cd lih e tod lih ul ocorre io de tods s lihs ão uls. Chmmos posto d mtri esclod A, deotdo por p(a), o úmero de lihs ão uls d mtri A. O úmero (A) otido qudo sutrímos o posto de A do úmero de colus de A é chmdo de ulidde de A.

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15 Elimição de Guss pivô Zerr esses elemetos utilido operções elemetres

16 Elimição de Guss () () () () () () () () () () 0 0

17 Elimição de Guss () () () () () () () () () () 0 0 Zerr esses elemetos utilido operções elemetres pivô

18 Elimição de Guss

19 Elimição de Guss () () () () () () () () () () () () () () m i i Multiplicdor L m L L m L L L... Iterção

20 Elimição de Guss () () () () () () () () () () 0 0 () () () () () () m m i i j ij ij

21 Teorem (i) Um sistem de m equções e icógits é possível se, somete se, o posto d mtri mplid do sistem for igul o posto d mtri dos coeficietes, isto é: p(a) = p(c) (ii) Se p(a) = p(c) e ulidde d mtri dos coeficietes é: ) (C) = 0, etão o sistem é possível e determido. ) (C) > 0, etão o sistem é possível e idetermido e (C) é o úmero de vriáveis livres do sistem.

22 Eemplo y 5 3y 3 - y 4 3 8

23 Eemplo: y 7 3y 3 4 y 3 5

24 Eemplo: y 6 3y 5 4y 4 5

25 w w y w y w y Eemplo:

26 Regr de Crmer Utilição de Determites resolução de sistems lieres: Vmos cosiderr um sistem de equções o qul o úmero de vriáveis é igul o úmero de equções. Defiimos D como o determite d mtri dos coeficietes e D i o determite d mtri otid prtir d mtri dos coeficietes, sustituido colu dos coeficietes d vriável i pel colu dos termos idepedetes. Se D 0, etão o sistem é SPD e, cd vriável i pode ser clculd fedo: i D D i

27 y y y w y w y y w y Eemplo: Eemplo: Prove que o sistem io é determido e clcule o vlor de.

28 Eemplo3:. se y.cos.cos y. se se cos

29 Sistems Lieres Homogêeos Um sistem lier é homogêeo qudo todos os termos idepedetes são ulos. Por eemplo: 3 4 3y y y Um sistem homogêeo sempre dmite pelo meos solução trivil (0, 0,..., 0). Portto, ele sempre é POSSÍVEL. Qudo o sistem possui pes solução trivil, ele é SPD. Qudo o sistem possui outrs soluções, lém d solução trivil, ele é SPI.

30 Discussão de um Sistem Discutir um sistem em fução de um ou mis prâmetros sigific dier pr quis vlores dos prâmetros o sistem é SPD, SPI ou SI. Eemplo: Determie relção etre, e c pr que o sistem io teh solução: c y y 3

31 Eemplo: Ecotre pr que o sistem io teh: ) Nehum solução. ) Mis de um solução. c) Um úic solução. y 3y 3 y 3 Eemplo3: Determie, e c pr que o sistem io teh solução: y y y 000 c