Métodos Numéricos Interpolação Métodos de Lagrange. Professor Volmir Eugênio Wilhelm Professora Mariana Kleina

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1 Métodos Numéricos Métodos de grge Professor Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei

2 Cosiste em determir um fução g() que descreve de form proimd o comportmeto de outr fução f() que ão se cohece. São cohecidos lgus vlores tbeldos do tipo (, f()).

3 No eemplo só se cohece fução pr 5 vlores de - ós de iterpolção Desej-se cohecer o vlor d fução em potos itermediários 3

4 e Etrpolção O método pr estimr vlores etre dois potos cohecidos é chmdo de iterpolção. Iterpolr um poto um cojuto de + ddos { i,f( i )}, sigific clculr o vlor de f(), sem cohecer form lític de f() ou justr um fução lític os ddos. O método pr estimr vlores for de potos cohecidos é etrpolção. 4

5 e Etrpolção f(),,,5,6 3,,8 4,5,46,6,5 Ecel 4,5;,46,4,3 3;,8 Etrpolr,,,5;,6 Iterpolr ;,,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 5

6 e Etrpolção 6

7 Motivção Sej um cojuto de ddos { i,f( i )} tl como tbel bio: Tempertur t, 5,, 5, Viscosidde v(t),79,59,38,4 Como obter viscosidde (v(t)) pr um dd tempertur (t) que ão teh sido medid? Por eemplo, v(8) vle quto? Qudo se desej cohecer o vlor de f() pr etre dois vlores cohecidos, isto é, i < < i+, pode-se usr diferetes técics de iterpolção. 7

8 Técics A clsse de fuções escolhid pr iterpolção é priori rbitrári, e deve ser dequd às crcterístics que pretedemos que fução possu. A iterpolção é eecutd usdo fuções proimds, tis como:. Fuções trigoométrics. Fuções epoeciis 3. Série de Fourier 4. Wvelets 5. Splies 6. Poliômios Poliomil 8

9 Poliomil A iterpolção poliomil cosiste em determir um poliômio, que ssume vlores cohecidos os ós de iterpolção. 9

10 Poliomil Vtges Poliômios são escolh mis comum de iterpolção porque eles são fáceis de: Avlir; Diferecir; e Itegrr.

11 Poliomil Poliômios stisfzem o teorem de uicidde: um poliômio de gru meor ou igul pssdo etmete por + potos é úico. O poliômio justdo um cojuto específico de potos pode ssumir diferetes forms, ms tods s forms são equivletes. Qulquer form pode ser trsformd em outr trvés de simples rerrjo lgébrico.

12 Poliomil Qudo um poliômio de gru meor ou igul, p (), é justdo etmete um cojuto de + potos discretos (, f( )), (, f( )),..., (, f( )), o poliômio ão tem erro os potos ddos. Ou sej, o poliômio pss pelos potos ddos. No etto, os potos itermediários há erros em relção o verddeiro vlor de f() e p (), o qul é ddo por E() = f() - p ()

13 Poliomil O poliômio estimdo (proimdo prtir d iterpolção poliomil) deve pssr por todos os potos cohecidos. Nos potos itermediários deverá pssr próimo. Verddeir fução Aproimção Aproimção 3

14 Poliomil O poliômio de iterpolção pode perder potos de descotiuidde. Eiste pes um iterpolção poliomil p () que coicide com os vlores etos, f( ), f( ),..., f( ) em + ós de iterpolção distitos. Verddeir fução Aproimção Aproimção 4

15 Poliomil ordem (lier) ordem (qudrátic) 3 ordem (cúbic) 5

16 Poliomil poliomil cosiste em se obter um poliômio p () que psse por todos os + potos { i,f( i )} ddos, isto é: p ( )=f( ) p ( )=f( ) (Equção ) p ( )=f( ) ( + potos) 6

17 p () é deomido de poliômio iterpoldor f p f p f p... f p 7 Poliomil Poliômio Iterpoldor

18 Poliomil - Forms Há um vriedde de forms mtemátics em que o poliômio pode ser epresso. Estudremos somete dus forms:. o poliômio de grge (Ruggiero, seção 5.3.). o poliômio de Newto (Ruggiero, seção 5.3.3) 8

19 Form de grge 9

20 Sej um cojuto de + potos { i,f( i )}. Ecotrr um poliômio iterpoldor p () que stisfç Equção (), isto é, psse por todos os potos. A form gerl pr + potos é i j j j i j i i i i () ()f() () p f f f f p Form de grge Form Gerl

21 p () pss etmete sobre { i,f( i )}, ou sej, Pode-se verificr isso fcilmete, pois: k se,i e i k k k f( ) ( ) p i i k k k k k k k k k k () Form de grge Form Gerl

22 Form de grge Form gerl de ª ordem Form lier (=). Usdo pr potos ddos: (, f( )) e (, f( )), p() f() f() () ()

23 Ajuste um ret os seguites potos {, f()}: {(; 3,) (4; 5,6)} p p p f f p 3, 5,6,55 4,8 5,5,6 Form de grge Eemplo de ª ordem p () {,f()} 3

24 Form qudrátic (=). Form de grge Form gerl de ª ordem (), j p() f() f() f() (), j (), j 4

25 Form de grge Eemplo de ª ordem Ajuste um prábol os seguites potos {,f()}: {(/3; ), (/4; -), (, 7)} p () f( ) () f( ) () f( ) () () () () /4 /3 /4 /3 /3 /4 /3 /3 /3 /4 /4 /4 () p 8( /4)( ) 6( /3)( ) 7( /3)( /4) cotiu... 5

26 p p () () 8( /4)( ) 6( /3)( ) 7( /3)( /4) Form de grge Eemplo de ª ordem... cotiução 79 {,f()} p () 6

27 Ajuste um poliômio pr iterpolr: Form de grge Eemplo de 4ª ordem f() cotiu... 7

28 ... cotiução 4 3) )( )( ( 3) (4 3) ( ) (4 ) ( ) (4 ) ( ) (4 ) ( 6 4) )( )( ( 4) (3 4) ( ) (3 ) ( ) (3 ) ( ) (3 ) ( 4 4) 3)( )( ( 4) ( 4) ( 3) ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 4) 3)( )( ( 4) ( 4) ( 3) ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4) 3)( )( )( ( 4) ( 4) ( 3) ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f( ) () p i i i 4 8 Form de grge Eemplo de 4ª ordem cotiu...

29 ... cotiução p p 4 4 () f( i) () 4 i i Form de grge Eemplo de 4ª ordem p 4 () {,f()} 9

30 Form de grge Vtges A fórmul de grge é populr, pois é bem cohecid e é fácil de codificr. Além disso, os ddos ão são obrigdos ser especificdo com em ordem crescete ou decrescete. 3

31 Form de grge Desvtges... Embor o cálculo de p () é simples, o método id ão é eficiete pr grdes vlores de. A iterpolção poliomil de ordem lt é istável! 3