CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

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1 CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL INTRODUÇÃO Muts uções são cohecds pes um cojuto to e dscreto de potos de um tervlo [,b]. Eemplo: A tbel segute relco clor especíco d águ e tempertur: tempertur (ºC 5 5 clor especíco Supohmos que se quer clculr: clor especíco d águ 7.5ºC; b tempertur pr qul o clor especíco é.998. INTERPOLAÇÃO qudo são cohecdos somete os vlores umércos d ução pr um cojuto de potos e é ecessáro clculr o vlor d ução um poto ão tbeldo qudo ução em estudo tem um epressão tl que operções como tegrção e derecção sejm díces Acetto - Iterpolção Poloml

2 Tedo-se que trblhr com est ução e sem se dspôr d su orm lítc, substtu-se est, por outr ução, que é um promção d ução dd, deduzd prtr dos potos cohecdos. FUNÇÃO APROXIMANTE Ests uções podem ser de város tpos ts como epoecl, logrítmc, trgoométrc e poloml. Aqu vmos estudr pes s uções poloms. CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO Cosderemos ( potos dsttos,,,...,, o tervlo [, b] e os vlores d ução ( esses potos, (, (,..., (. Um ds orms de terpolção de ( que remos ver cosste em se obter um ução g( tl que: ução promte g( g(... g( ( ( ( Acetto - Iterpolção Poloml

3 GRAFICAMENTE: Fução promte polómo terpolção poloml Cohecdos os potos (suporte d terpolção (, (, (, (,..., (, ( com <,,...,- e e b, pretede-se promr (, por um polómo tl que p ( - - p ( (,,,. Os coecetes,,..., são determdos à cust d resolução do segute sstem: Acetto - Iterpolção Poloml

4 Acetto 4- Iterpolção Poloml (... ( ( ( (... (... ( ( p... ( ( p ( ( p A solução do sstem teror é úc se o determte d mtrz or derete de zero, o que cotece se os ( potos,,,..., orem todos dsttos. Temos o segute teorem: TEOREMA : Sejm ddos ( potos dsttos (, (, (, (,..., (, (. Etão este um úco polómo p ( de gru eror ou gul que stsz p ( (,,...,.

5 FORMAS DE OBTER O POLINÓMIO: resolução do sstem ler obtdo terormete; terpolção de Newto com dereçs dvdds; terpolção de Newto com dereçs ts. teorcmete, coduzem o mesmo polómo FÓRMULA DO ERRO (TRUNCATURA Os cálculos terores estão ectdos de dos tpos de erros: erro de rredodmeto b erro de tructur - cometdo qudo decdmos promr ução por um polómo de gru. E ( ( -.( -...( - ( ( ξ. (!, pr lgum ξ ], [ Acetto 5- Iterpolção Poloml

6 4. RESOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR EXEMPLO (INTERPOLAÇÃO LINEAR : Determr o polómo terpoldor pr ução cohecd pelos segutes potos e clculr o vlor de (.5. y.84.9 EXEMPLO (INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA: Determr o polómo terpoldor pr ução cohecd pelos potos: - y 4 - Acetto 6- Iterpolção Poloml

7 4. INTERPOLAÇÃO COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS Coceto de Dereç Dvdd Sej um ução d qul se cohecem os ( potos (, (,,...,. A ª dervd de ( o poto é por deção: ( ( - ( lm. - A dereç dvdd de ª ordem é ded como um promção d ª dervd: ( - (, ( - Se zer em (, tem-se dereç dvdd de ª ordem em relção os rgumetos e : ( - ( y - y y, OPERADOR DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS Ordem y [ ] ( y y [, ] [ ] [ ] y y... y y [,,..., ] - y - y [,..., ] [,..., ] - Acetto 7- Iterpolção Poloml

8 TABELA DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS: y y y... y [ ] [, ] [ ] [,, ] [, ] [ ] [,, ] [,,..., ] [, ] [ -, -, ] [ -, ] [ ] EXEMPLO: Determr tbel ds dereçs dvdds d ução ded pelos segutes potos:..5. y Resolução: Começmos por costrur tbel ds dereçs dvdds ( y y y Acetto 8- Iterpolção Poloml

9 4.. POLINÓMIO INTERPOLADOR DE NEWTON PARA DIFERENÇAS DIVIDIDAS Cosderemos os ( potos (, (,,...,, e p ( o polómo terpoldor de ( esses potos,,..., : ( p ( j j j ( Pel deção de dereç dvdd de ª ordem, tem-se que: p [, ] p [ ] p [ ] p ( p ( p ( p ( (.p [, ] ( Pel deção de dereç dvdd de ª ordem, tem-se que: p [,, ] p [, ] p [, ] p [, ] p [, ] (.p [,, ] Substtudo p [, ] em (, obtém-se: p ( p ( (.p [, ] (.(.p [,, ] Cotudo ssm sucessvmete, obtemos: Acetto 9- Iterpolção Poloml

10 p ( p ( (.p... (.(...( -.p Como [, ] (.( [,, ] [,,..., ] (.(...( [,,,..., ].p p ( é de gru, etão p [,,,..., ]....p p ( ( y p [,, ] [,, ] y podemos escrever: p ( y (. y (.(. y... (.(...( -. y y y ( y (.(... y (.(...( - Ou d, P ( y - y j ( - j Polómo Iterpoldor de Newto pr dereçs dvdds EXEMPLO: Determr o polómo terpoldor de Newto pr ução ded pelos segutes potos:..5. y Acetto - Iterpolção Poloml

11 PONTOS IGUALMENTE ESPAÇADOS: Admtmos que os potos são gulmete espçdos, sto é: h,,...,, sedo h um costte deomd psso. Cosderemos vrável ulr, z, dd por z. h Tem-se que: - h.z - -( h - -h h.z-h h.(z- - -( h - -h h.(z--h h.(z ( - h - - -h h.(z-(--h h.(z-(- Substtudo os vlores terores o polómo terpoldor de Newto pr dereçs dvdds p ( y (. y (.(. y... (.(...(. y - obtém-se: p ( sto é, p ( y y hz. y hz. h(z -. y... hz. h(z. h(z...h(z (. y h y z h y z (z -... h y z (z (z... (z (,, Ou d: p ( y - h. y j (z - j Polómo Iterpoldor de Newto pr potos gulmete espçdos Acetto - Iterpolção Poloml

12 4. INTERPOLAÇÃO COM DIFERENÇAS FINITAS Sej um ução d qul se cohecem os ( potos (, (,,...,, ode os potos são gulmete espçdos: h,,..., 4.. OPERADOR DE DIFERENÇAS FINITAS Ordem... y ( y y y y y y - y y - y EXEMPLO: Determr tbel ds dereçs ts d ução ded pelos segutes potos: y Resolução: Começmos por costrur tbel ds dereçs ts ( y y y y 4 y Acetto - Iterpolção Poloml

13 4.. POLINÓMIO INTERPOLADOR DE NEWTON PARA DIFERENÇAS FINITAS Nest secção vmos cosderr que os ( potos são gulmete espçdos: h,,...,. Segue-se um teorem que relco s dereçs dvdds com s dereçs ts. TEOREMA : Sej um ução ded os potos (, y,,..., ts que, - h,,...,. Tem-se que: k k [,,..., k ] y y, k k!.h k Cosdere-se o polómo terpoldor de Newto pr potos gulmete espçdos: p ( y Substtudo y por y!.h,,...,, obtém-se: p ( y - h. y (z- j j y - - (z! j j com z- j h j Polómo Iterpoldor Gregory-Newto pr dereçs ts Acetto - Iterpolção Poloml

14 EXEMPLO: Dd ução, cohecd os potos bo tbeldos, clcule ( y Resolução: Começmos por costrur tbel ds dereçs ts y y y y y Acetto 4- Iterpolção Poloml

15 4.4 ESTUDO DO ERRO NA INTERPOLAÇÃO Como já observmos, o se promr um ução rel ( em [, b], os ós dsttos,,..., [, b], por um polómo de gru, p (, comete-se um erro de terpolção (erro de tructur d ução pelo polómo p, ou sej, e ( ( - p (, pr todo o [, b] EXEMPLO: Temos que: p ( terpol ( e ( em e ; e (-p ( > e (-p (, pr todo o [, ].... Acetto 5- Iterpolção Poloml

16 Fórmuls pr o erro de terpolção: TEOREMA Sej um ução com dervds cotíus té à ordem em [, b] e p um polómo de gru terpoldor de os potos dsttos,,..., [, b], etão, pr todo o [, b], temos e (( -. ( -. ( -...( -. ( ( ξ (! (A em que ξ ξ( ] m.{,,...,, }, má.{,,...,, } [.é, ξ ξ( X, sedo X [, b] um tervlo que cotém,,..., e. A órmul (A, do teorem teror, tem teresse lmtdo do poto de vst prátco um vez que requer o cohecmeto d dervd de ordem d ução terpolr. Se M mjr ( ( X podemos clculr um lmte superor do erro de terpolção: e ( ( - ( - ( -... ( - M (! Acetto 6- Iterpolção Poloml

17 4.4. ERRO PARA O POLINÓMIO DE NEWTON Vmos, dedução d órmul do polómo de Newto, que dereç dvdd de ordem está relcod com dervd de ordem d ução, e que e ( ( - p ( ( -.( -.( -...( -. [,,...,, ] (B Comprdo (A e (B podemos coclur o Teorem 4: [,,...,, ] ( ( ξ (!, com ξ ξ( X, sedo X um tervlo que cotém,,..., e, e ( X C ERRO PARA O POLINÓMIO DE GREGORY-NEWTON Eectudo mudç de vrável z h e tededo que h,,,...,,. h temos que z - h( z Substtudo, - pr,...,, órmul (B e ( ( - p ( ( -.( -.( -...( -. [,,...,, ] obtemos o erro de terpolção: e ( h ( ξ ( z (z- (z- (z-... (z- (! Acetto 7- Iterpolção Poloml

18 4.5 OUTRA FORMA DE INTERPOLAÇÃO INTERPOLAÇÃO COM SPLINES Há csos em que o polómo terpoldor de gru elevdo coduz resultdos erróeos. Um promção ltertv cosste em justr polómos de ordem ms b subcojutos dos ddos. Ts polómos chmm-se uções sples. EXEMPLO : Cosderemos um ução ( tbeld os potos < <... < b. DEFINIÇÃO (FUNÇÃO SPLINE Um ução s( é deomd sple de gru m com ós os potos, se stsz s segutes codções: em cd subtervlo [ -, ],,...,, s ( é um polómo de gru m; s( é cotíu e tem dervd cotíu té à ordem (m- em [,b]. DEFINIÇÃO ( FUNÇÃO SPLINE INTERPOLADORA Fução sple que verc: s( (,,..., Acetto 8- Iterpolção Poloml

19 SPLINES LINEARES: A ução sple ler terpolte de ( pode ser escrt em cd subtervlo [ -, ],,..., como s [, ] ( ( (, - EXEMPLO: Clcule ução sple ler que terpol ução tbeld. 5 7 y.5 s ( ( (, [, ] s ( ( 4, [,5 ]; s ( (.5 8.5, [ 5,7] Desvtgem: prmer dervd descotíu os ós SPLINES DE ORDEM SUPERIOR ( QUADRÁTICOS E CÚBICOS Acetto 9- Iterpolção Poloml

20 SPLINES QUADRÁTICOS A ução sple qudrátc terpolte de ( pode ser escrt em cd subtervlo como s ( b c,,..., ( potos subtervlos costtes descohecds As equções pr determr s costtes são: O vlor ds sples qudrátcs tem que ser gul os ós terores, s ( (,,..., - (- codções s ( ( A prmer e últm sple têm que pssr os ós s, s ( ( e s ( ( codções A prmer dervd os ós terores tem de ser gul, s ( s (,,..., - (- codções Escolh rbtrár um cojuto de opções. Cosderemos que segud dervd é ul o prmero poto: s ( codção EXEMPLO: Clculr sples qudrátcos que terpolm ução tbeld y Acetto - Iterpolção Poloml

21 SPLINES CÚBICOS A ução sple cúbc terpolte de ( pode ser escrt em cd subtervlo como s ( b c d,,..., ( potos subtervlos 4 costtes descohecds As 4 equções pr determr s 4 costtes são: O vlor ds sples cúbcs tem que ser gul os ós terores; A prmer e últm sple têm que pssr os ós s; (- codções codções A prmer dervd os ós terores tem de ser gul; (- codções A segud dervd os ós terores tem de ser gul; (- codções A segud dervd é ul os ós s (sple turl. codções Acetto - Iterpolção Poloml

22 Outr técc - resolução de (- equções: Cd sple cúbco pode ser escrto em cd subtervlo [ -, ],,..., como equção ( ( s ( 6( ( 6( ( ( ( ( ( 6 ( ( ( ( 6 ( Est equção cotém dos prâmetros descohecdos (ª dervd o l de cd subtervlo, que podem ser determdos usdo equção: ( - ( ( ( ( ( 6 6 ( ( ( ( ( ( equção (4 Pr todos os ós terores, temos (- codções com (- cógts EXEMPLO: Ajustr sples cúbcos os ddos. Utlzr os resultdos pr estmr o vlor em y Acetto - Iterpolção Poloml

23 Acetto - Iterpolção Poloml.469(.6667( ( - ( 6 ( ( ( ( 6 ( ( ( ( 6( ( ( 6( ( ( s ( -.996(7 4.5.( -.9(7 - ( 6 ( ( ( ( 6 ( ( ( ( 6( ( ( 6( ( ( s 7.5( -.76(9 -.78(9 - - ( 6 ( ( ( ( 6 ( ( ( ( 6( ( ( 6( ( ( s

24 s(.866( ( ( s( s (.9(7 -.( (7.688( s ( -.78(9 -.76(9 -.5( - 7 Acetto 4- Iterpolção Poloml