Problema geral de interpolação

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1 Problema geral de terpolação Ecotrar p() que verfque as codções: f j ( ) y,,,,,, j,,, m ( j) ( ) dervada de ordem j ós valores odas Eemplo: ecotrar p() que verfque:, f () 4 3, f( 3) 3, f'(3) 4 3 p() 3 se todos os m = (ão há formação de dervadas) se m, m todos guas Iterpolação de Lagrage Iterpolação de Hermte o caso cotráro Iterpolação de Brkhoff Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

2 Defções Norma do mámo (ou orma do fto): f ( ) ma f ( ) [ a, b] f ( ) f() f ( ) a f() b f( ) a f() f() b a b Polómo: combação lear de moómos p( ) a a a a o Cálculo com úmero fto de operações elemetares (+,,, /) grau do polómo, deg ( ) ma, p a Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

3 Forma de potêcas smples p( ) a aa a... a 3 3 Eemplo: p ( ) grau 3; a ; a 3; a 5; a Cálculo de p() para =: p () flops (9 operações em FP) É possível reduzr o úmeros de operações: algortmo de Horer p ( ) p () flops 3 (6 operações em FP) algortmo de Horer: para grau flops Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

4 Forma de potêcas cetradas p( ) a a ( c) a ( c) a ( c )... a ( c) 3 3 cetro Eemplo: p ( ) 4( ) 3( ) Forma de potêcas cetradas com c = grau ; ; 4; 3 a a a p ( ) 4 4 3( ) p ( ) p ( ) 33 Forma de potêcas smples grau ; a 3; a ; a 3 Os coefcetes (a ) da forma de potêcas smples são dferetes dos coefcetes (a ) da forma de potêcas cetradas ecepto o coefcete de maor grau (a ) que é gual Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

5 Forma de Newto p( ) a a ( c ) a ( c )( c ) a ( c )( c )( c )... a ( c )( c )...( c ) 3 3 Eemplo: p ( ) 3( 4) 7( 4)( Forma de Newto com c = 4 e c = ) grau ; a ; a 3; a 7 Cálculo de p() para =: 5 8 flops p () 3 ( 4) 7 ( 4) ( ) 5 3 (8 operações em FP) Algortmo de Horer com cetros p ( ) 7( 4)( ) 3( 4) p () flops (6 operações em FP) algortmo de Horer: para grau 3 flops Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

6 Algortmo de Horer com cetros p( ) a a c a c c a c c c 3 3 p ( ) a c a c a c a 3 3 y y y y Algortmo: y a Para até fazer Fm do cclo p ( ) y yy c a Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

7 Teoremas Teorema de Weerstrass: tervalo fto, f ( ) C( ), p: f ( ) p ( ) ou seja, para qualquer fução cotíua este um polómo tão prómo quato se quera Teorema: Se z, z,, z k forem zeros dsttos do polómo p() etão p( ) ( z ) ( z ) ( z ) r( ) Se o grau de p() for etão o grau de r() será k k Eemplo: 3 p ( ) tem raz z pelo que, p ( ) ( ) r ( ) ( ) (3 5 ) grau 3 grau Teorema da ucdade: p() e q() (de grau ) terpolam os potos (,y ), (,y ),, (,y ), etão p() q() =, ou seja p() = q() ou seja, o polómo de grau que terpola os potos (,y ), (,y ),, (,y ) é úco Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

8 Teoremas Defção: Dz se que z é um zero de multplcdade m se pz p z p z p z p z ( m) ( m) (), '(), ''(),, (), () Se m= o zero dz se smples, se m= o zero dz se duplo, etc. Teorema: Se z, z,, z k etão forem respectvamete zeros de multplcdade m, m,, m k p z z z r m m m ( ) ( ) ( ) ( ) k ( ) k Se o grau de p() for etão o grau de r() será (m + m + + m k ) Teorema da ucdade: p() e q() (de grau ) verfcam as segutes codções (+ codções para os k+ potos): f y f y f y j m k I I ( j) ( j) ( ), ( ),..., ( ),,...,,,,...,, etão p() q() =, ou seja p() = q() k ou seja, o polómo de grau que terpola as + codções dcadas é úco Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer m ( + codções)

9 Método de Vadermode Eemplo: Obter polómo que passa os potos (, ), (, 4) e (4, ) y 4 4 (, y ) (,) (, y ) (,4) (, y ) (4,) y p() 4 Temos 3 codções, ou seja, o polómo tem de passar em 3 potos permte os determar 3 cógtas Polómo (de meor grau, completo) a determar: p( ) a a a a, a e a são as cógtas a determar Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

10 Método de Vadermode (, y ) (, ), (, y ) (, 4), (, y ) ( 4,) p( ) a a a Impodo as codções resulta: p ( ) y p ( ) y p ( ) y a a a ( ) y a a a y a a a y ( ) ( ) p() p() 4 p(4) a a a a a a a a a a aa a a4a 4 a 4a6a que se pode escrever a forma matrcal ( ) a y ( ) a y ( ) a y a 4 a a resolução a a 5 a Verfcação: p() 5 p() 5 4 p( ) OK OK OK resultado: p( ) 5 Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

11 Método de Vadermode A matrz que se obtêm por este método desga se por matrz de Vadermode ( ) ( ) ( ) Com o aumeto do valor de, a matrz de Vadermode tora se cada vez mas mal codcoada 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) O sstema de equações a resolver possu uma matrz chea resolução do sstema com úmero de operações da ordem de 3 flops Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

12 Formula de Lagrage Ecotrar p() que verfque as codções: p( ) y, p( ) y Polómos de Lagrage: L ( ) ( ) ( ) L ( ) ( ) ( ) y y p() y L () y L () Propredade: Lk( ) se k Lk( ) k Lk( ) se k L () L () Polómo terpolador: p ( ) y ( ) ( ) y ( ) ( ) y L ( ) y L ( ) Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

13 Formula de Lagrage Ecotrar p() que verfque as codções: p( ) y, p( ) y, p( ) y Polómos de Lagrage: ( )( ) L ( ) ( )( ) ( )( ) L ( ) ( )( ) L ( ) ( )( ) ( )( ) y y y y L () y L () p() y L () Propredade: Lk( ) k Lk( ) se k Lk( ) se k L L () () L () Polómo terpolador: p( ) y y ( )( ) ( )( ) y ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) y L ( ) y L ( ) y L ( ) Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

14 Formula de Lagrage Ecotrar p() que verfque as codções: p( ) y, p( ) y,..., p( ) y Polómos de Lagrage: L ( ) k ( )... ( )( )... ( ) k k ( )... ( )( )... ( ) k k k k k k L ( ) k k k ( ) ( ) k Propredade: Lk( ) se k Lk( ) k Lk( ) se k Polómo terpolador: p( ) y L ( ) y L ( )... y L ( ) p( ) y L ( ) k k k Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

15 Método de Vadermode (, ), (, ), (, ),..., (, ) y y y y p( ) a aa a... a 3 3 O cálculo dos coefcetes a resulta a resolução dum sstema de equações p( ) a a a ( )... a ( ) y p( ) a a a ( )... a ( ) y p( ) a a a ( )... a ( ) y... p a a a a y ( ) ( )... ( ) que se pode escrever a forma matrcal ( ) ( ) ( ) a y 3 3 ( ) ( ) ( ) a y 3 ( ) ( ) ( ) a y 3 ( ) ( ) ( ) a y Nota: Com o aumeto do valor de, a matrz de Vadermode tora se cada vez mas mal codcoada Sstema com matrz chea resolução com úmero de operações da ordem de 3 Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

16 (, ), (, ), (, ),..., (, ) y y y y Forma de Newto p( ) a a ( ) a ( )( ) a ( )( )( )... 3 W ( ) W ( ) W ( )... a ( )( )( )...( ) W ( ) W k () desga se por polómo odal W 4 () W ( ) ( )( )( )...( ) k k 3 4 Nota: W k () tem grau k+ Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

17 (, ), (, ), (, ),..., (, ) y y y y Forma de Newto p( ) a a ( ) a ( )( ) a ( )( )( )... 3 W ( ) W ( ) W ( )... a ( )( )( )...( ) W ( ) O cálculo dos coefcetes a resulta a resolução dum sstema de equações p( ) a a ( ) a( )( )... a( )( )( )...( ) y p( ) a a ( ) a ( )( )... a ( )( )( )...( ) y p( ) a a ( ) a ( )( )... a ( )( )( )...( ) y... p( ) a a ( ) a ( )( )... a ( )( )( )... ( ) y Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

18 p( ) a y p( ) a a ( ) y p( ) a a ( ) a ( )( ) y Forma de Newto Ou seja, resulta a resolução do sstema de equações... p( ) a a ( ) a ( )( )... a ( )( )( )... ( ) y que se pode escrever a forma matrcal a y ( ) a y ( ) ( )( ) a y ( ) ( )( ) ( )( )...( ) a y Sstema tragular feror resolução com úmero de operações da ordem de Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

19 Forma de Newto a y ( ) a y ( ) ( )( ) a y ( ) ( )( ) ( )( )...( ) a y Resolução do sstema tragular feror substução descedete Lha : a y a y[ ] y dfereça dvdda de ordem Lha : a a ( ) y y y y a a( ) y a y[, ] y [ ] y [ ] dfereça dvdda de ordem Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

20 Forma de Newto a y ( ) a y ( ) ( )( ) a y ( ) ( )( ) ( )( )...( ) a y Resolução do sstema tragular feror substução descedete Lha 3: a a( ) a( )( ) y y y y ( ) ( )( ) a y y yy ( ) ( )( ) a y a ( y y)( ) ( yy)( ) ( )( ) Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

21 Forma de Newto a ( yy)( ) ( yy)( ) ( )( ) a ( y y) ( ) ( yy)( ) ( y y) ( ) ( )( ) a ( y y )( ) ( y y )( ) y y y y a ( )( ) a y[,, ] y [, ] y [, ] dfereça dvdda de ordem Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

22 Geeralzado Forma de Newto Lha : a a( ) a( )( )... a ( )( )...( ) y y y y y y y y ( ) ( )( ) a ( )( )...( ) y Desevolvedo é possível coclur que o coefcete a é a dfereça dvdda de ordem ordem y [,..., ] y [,..., ] a y[,,..., ] dfereça dvdda de ordem, calculada recorredo a dfereças dvddas de ordem ordem Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

23 Forma de Newto As dfereças dvddas podem ser obtdas por recorrêca através de y [ ] y ordem y [,,..., ] k y [,..., k] y [,..., k ] k Para se obter as dfereças dvddas é usual costrur uma tabela de dfereças dvddas y[ ] y y [ ] y [ ] y [, ] y [, ] y [, ] y[ ] y y[,, ] y [,,, 3] y [ ] y [ ] y [, ] y [,, 3] y [,, ] 3 y [, 3] y [, ] y[ ] y y[,, 3] 3 y [ 3] y [ ] y [, 3] 3 y[ ] y Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

24 Forma de Newto p( ) a a( ) a( )( ) a3( )( )( )... W ( ) W ( ) W ( ) poto grau p ( ) a (, y ) codção: p( ) y a y y[ ] y p () p y[ ] Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

25 potos grau (, y ), (, y ) Forma de Newto p ( ) a a( ) W ( ) codções: p ( ) y a a( ) y a y y[ ] p ( ) p ( ) a ( ) y [ ] p ( ) y p ( ) a ( ) y y y y y [ ] y [ ] a y[, ] p ( ) p ( ) y[, ]( ) p () y y[ ] y y [ ] y y [, ] y [ ] y [ ] y p () Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

26 Forma de Newto 3 potos grau (, y ), (, y ), (, y ) p ( ) a a( ) a( )( ) W ( ) W ( ) codções: p ( ) y a a( ) a( )( ) y a y y[ ] p ( ) y a a ( ) a( )( ) y y y y a y[, ] p ( ) p ( ) a ( )( ) y [ ] y [, ]( ) Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

27 3 potos grau (, y ), (, y ), (, y ) codções: p ( ) y p ( ) a ( )( ) y y[ ] y y [ ] y [ ] y [, ] Forma de Newto y [,, ] y[ ] y y [, ] y [, ] y [ ] y[ ] y [, ] y[ ] y p ( ) p ( ) a ( )( ) y [ ] y [, ]( ) y y y y y[, ] y[, ]... a y[,, ] y y y ( ) a ( )( ) y p ( ) p ( ) y[,, ]( )( ) y y y p () p () Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

28 Forma de Newto Geeralzado + potos grau (, y ),(, y ),...,(, y ) p ( ) a a ( )... a ( )( )...( ) p ( ) W ( ) p( ) p ( ) a( )( )...( ) W ( ) o coefcete a é a dfereça dvdda de ordem ordem y [,..., ] y [,..., ] a y[,,..., ] dfereça dvdda de ordem, calculada recorredo a dfereças dvddas de ordem ordem Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

29 Forma de Newto Geeralzado + potos grau (, y ),(, y ),...,(, y ) p( ) a a ( )... a ( )( )...( ) p ( ) W ( ) y[ ] y y [ ] y [ ] y [, ] y [, ] y [, ] y[ ] y y[,, ] y[ ] y y[ ] y y [ ] y [ ] y [, ] y 3 y 3 y [ 3] y [ ] y [, 3] 3 p( ) p ( ) a( )( )...( ) y [, 3] y[, ] y [,, 3] 3 W ( ) y [,,, ] [,, ] [,, ] Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

30 Forma de Newto p( ) a a( ) a( )( ) a3( )( )( )... W ( ) W ( ) W ( ) Dspodo duma terpolação p () um cojuto de potos, se pretedermos adcoar mas um poto à terpolação, o ovo termo de ordem que se adcoa à epressão é um termo que se aula em todos os ós calmete estetes. Etão, o ovo polómo (que terpola os + potos) correspode a adcoar um ovo termo ao polómo aterormete estete, p () Eemplo: polómo que terpola os potos (,y )=(,), (,y )=(3,), (,y )=(5,) é: p ( ) a a( ) a( )( ) ( ) *( )( 3) W ( ) W ( ) Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

31 Forma de Newto Se pretedermos adcoar à lsta o poto ( 3,y 3 )=(6,) resulta: p ( ) a a ( ) a ( )( ) a 3 3 W ( ) W ( ) W ( ) a a( ) a ( )( 3) a3 ( )( 3)( 5) W ( ) W( ) W( ) p ( ) O termo W ()=( )( 3)( 5) aula se em todos os ós calmete estetes, = =, = =3, = =5, pelo que para o polómo p 3 () terpolar estes ós, os coefcetes a, a e a defdos aterormete matêm se guas, bastado determar o ovo coefcete a 3 p3( ) a a( ) a ( )( 3) a3( )( 3)( 5) W ( ) W ( ) W ( ) ( )( )( ) ( ) *( )( 3) a3( )( 3)( 5) p( ) a3 ( )( 3) ( 5) W ( ) W ( ) p ( 3 ) p ( ) a3 ( )( 3) ( 5) W ( ) Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

32 Iterpolação Iversa ós valores odas y = f( ) y = f( ) y = f( ) ou seja, y f( ) p ( ) Se f ( ) possur versa (em ter(,,..., )) etão podemos escrever, gy ( ) p( y) ós valores odas y = g(y ) y = g(y ) y = g(y ) ou seja, trocamos o papel de com o de y f ( y) Iterpolação versa Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

33 Iterpolação Iversa Se pretedermos determar a solução da equação y f( ), ou seja se pretedermos ecotrar o poto z tal que f( z), etão podemos estmar a solução z calculado py ( ) gy ( ) e tomar para estmatva da solução o valor z p( y) g( y) z y p( y) g( y) y f() y y z z y y y y Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

34 Teoremas Teorema: k ( k) f ( ) C( ),,,..., k (ós dsttos), : f [,,..., k ] f ( ) k! Demostração: cosdere se a fução, E k () = f() p k (), ode p k é o polómo de grau k que terpola os k+ ós dsttos,,,, k. A fução E ( ) possu (pelo meos) k zeros o tervalo, k a dervada E' ( ) possu k zeros em, a seguda dervada k possu k zeros e assm sucessvamete. A dervada de ordem k possu um zero o tervalo. Desgado por esse zero resulta, p() f() ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) Ek ( ) f ( ) pk ( ) pelo que f ( ) p k ( ) ( ) Atededo que p k ( ) ka! ky! [,,... ] k k k E() 3 ( k) resulta f ( ) k! y[,,..., k ] Notar que para k=, o teorema correspode ao teorema do valor termédo. Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

35 Teorema: Teoremas f ( ) C ( ), p( ) (de grau ) que terpola,,..., (ós dsttos) ( ), : E( ) f( ) p( ) f ( ) W( ) ( )! Demostração:, p ( ) terpola os ós,,...,, p ( ) p( ) f [,,...,, ] W( ) f( ) p ( ), porque é ó de terpolação de p ( ) f( ) p ( ) p ( ) f[,,...,, ] W ( ) E ( ) f( ) p ( ) p ( ) p ( ) f[,,...,, ] W ( ) Tedo em ateção o teorema ateror ( ) E( ) f[,,...,, ] W( ) f ( ) W( ) ( )! E f W ( )! ( ) Como é um poto qualquer do tervalo resulta, ( ) ( ) ( ) Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

36 Teoremas E f W ( )! ( ) ( ) ( ) ( ), ter(,,... ) W 4 () Majorado, E f W ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 Prova se que,! W( ) h, h mah ma 4,..., h é o espaçameto mámo dos ós pelo que, h ( ) ( ) f ( ) E 4( ) Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

37 Rgdez dos polómos Questão: Será que quado, E ( ) f( ) p ( )? Resposta:???? f ( ) s ep( ) =4 =7 Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

38 Rgdez dos polómos Questão: Será que quado, E ( ) f( ) p ( )? Resposta: Nem sempre Por vezes os polómos desevolvem osclações, que se podem torar mas acetuadas com o aumeto do grau do polómo E: Fução de Ruge f ( ) 5 = =6 Nota: Iterpolações com ós equdstates Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

39 Rgdez dos polómos Questão: Será que quado, E ( ) f( ) p ( )? Resposta: Nem sempre Por vezes os polómos desevolvem osclações, que se podem torar mas acetuadas com o aumeto do grau do polómo =8 Não utlzar elevado outras téccas: por eemplo, sples, mímos quadrados, Cotradção com Teo. de Weerstrass? Não. O teorema de Weerstrass ão dz que o polómo (que aproma a fução) é obtdo por terpolação Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

40 Nós de Chebyshev Majorate do erro de terpolação, E f W ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) majorate do erro da terpolação depede do comportameto da fução depede da posção dos ós Para ós equdstates, W () atge maores valores absolutos juto das etremdades (e meores valores juto do cetro) W 6 () com ós equdstates Idea: poscoar os ós de modo a mmzar o mámo absoluto de W () => Jutar os ós a etremdade (e cosequetemete afastar o cetro) Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

41 Nós de Chebyshev Demostra se que o meor valor para W ( ) ocorre se os ós forem poscoados os zeros dos polómos de Chebyshev. W 6 () com ós equdstates W 6 () com ós de Chebyshev Para o tervalo [, ], os zeros dos polómos de Chebyshev são dados por, (k ) k=cos, k,,..., N N Nesta epressão, N represeta o úmero de potos Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

42 Nós de Chebyshev Demostra se que, o tervalo [, ], utlzado ós de Chebyshev, W ( ) E f W ( )! ( ) pelo que ( ) ( ) ( ) E( ) ( )! f ( ) Para o tervalo geérco [ a, b] podemos efectuar uma trasformação de coordeadas de [, ] para [ a, b] () + a b ( ) a b Para um tervalo geérco [ ab, ] a epressão do majorate do erro de terpolação utlzado ós de Chebyshev toma a forma E ( ) ( b a) ( )! f ( ) Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

43 Nós de Chebyshev E: Fução de Ruge f ( ) 5 Iterpolação com ós de Chebyshev =6 = Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

44 Nós equdstates E: Fução de Ruge f ( ) 5 Iterpolação com ós equdstates =6 = Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

45 Teorema: Dfereças dvddas cofluetes f C f f k! k ( k) ( ) ( ),,,..., k, : [,,..., k] ( ) k, f[, ] f'( ), ter(, ) f( ) f( o ) tervalo que cotém o, lm f [, ] f [, ] f'( ) df. dvdda cofluete f ''( ) k, f[,, ], ter(,, ) lm f [,, ] f [,, ], f''( ) Assm, caso haja formação das dervadas, podemos serr essa formação a tabela de dfereças dvddas através de dfereças dvddas cofluetes Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

46 Iterpolação de Hermte No caso de, em todos os ós, estr formação da fução e da(s) dervada(s) Iterpolação de Hermte Neste(s) caso(s) há formulas específcas para a terpolação,, p L L y L y k ós Teorema: O polómo de grau que os ós dsttos,,..., terpola os,,, valores y, y,..., y e as dervadas y, y,..., y é: ( ) k( ) k k( ) k k k( ) k Nota: L k () são os polómos de Lagrage Para o caso da terpolação de Hermte (fução e prmera dervada) em + ós, o erro assocado à terpolação é: E () f ( ) ( ) f( ) p ( ) W( ), ( )! Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

47 Sples Sples: Troços de polómos assegurado uma certa cotudade a trasção dos troços Sple lear Sple lear troços de rectas com cotudade da fução a trasção dos troços equação duma recta cotudade a fução Sple quadrátco troços de parábolas com cotudade da fução e da ª dervada a trasção dos troços S () S () S 3 () Sple cúbco troços de cúbcas com cotudade da fução, da ª dervada e da ª dervada a trasção dos troços troço troço troço 3 h 3 h h 3 h, h ma h,..., Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

48 Sple quadrátco Sple quadrátco: Troços de polómos de grau, que se uem de modo cotíuo e com tagete também cotíua cotudade a fução e equação a tagete duma h, h ma h,..., parábola S () S () S 3 () Troços de parábolas Codções a mpor: Iterpolar os potos troço troço troço 3 (=> cotudade a fução) 3 Coudade a dervada h h h 3 (a trasção dos troços) Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

49 troço, Sple quadrátco S () S( ) a a a S '( ) a a Reescrevedo a equação da recta a forma de Lagrage, troço, ( ) S m m h h, ( ) S m m h h h, S ( ) m, S'( ) m S ( ) m Eemplo:, S ( ) m, S' ( ) 3 ( ) m S as dervadas à esquerda e à dreta do ó são guas evalemm m é a dervada do sple o ó m tagete com declve m S () S 3 () troço troço 3 3 Ou seja, escrevedo a equação da dervada do sple a forma de Lagrage, garatmos desde logo a cotudade a dervada a trasção etre os troços Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

50 Sple quadrátco Desevolvedo a epressão da dervada, podemos reescrevê la a forma de Newto, h, ( ) S m m, ( ) S m m h h h h Prmtvado a epressão, m m S m C ( ) h Impodo a codção do sple passar o poto da esquerda do tervalo S ( ) y,,..., m m m C y h pelo que,, ( ) S m m h h C y m m m S ( ) m m y h, m ( ) m S m h S () y troço Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

51 Reescrevedo a epressão ateror, Sple quadrátco m m S ( ) y m,,..., h Nesta epressão os m são cógtas m, m,, m + cógtas Impodo a codção do sple passar o poto da dreta do tervalo S ( ) y,,..., y m m y m y h h h S () troço m m m m y mh h y h y y m m y y h y y m m,,..., h Esta epressão represeta equações Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

52 Sple quadrátco Resumdo, a epressão do sple quadrátco é m m S ( ) y m,,..., h ode os m são cógtas + cógtas Para determarmos as cógtas recorremos à codção y y m m equações,,..., h equações a + cógtas ecessáro forecer codção suplemetar forecer o valor de um dos m vulgar forecer m (uma estmatva de f ( )) Resulta o sstema forecer m y y m m,,..., h forecer m y y m m,,..., h Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

53 Sple quadrátco O sstema pode ser colocado a forma matrcal (com duas dagoas ão ulas), m y m y y h m y y h m 3 y3 y h3 m y y h m y y h m y y h 3 Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

54 Sple cúbco Sple cúbco: Troços de polómos de grau 3, que se uem de modo cotíuo, com tagete cotíua e com curvatura também cotíua cotudade a fução, a tagete e a curvatura S () equação duma cúbca h, h ma h,..., S () S 3 () Troços de cúbcas Codções a mpor: Iterpolar os potos troço troço troço 3 h 3 h h 3 (=> cotudade a fução) Coudade a ª dervada (a trasção dos troços) Coudade a ª dervada (a trasção dos troços) Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

55 troço, Sple cúbco S( ) a a a a 3 3 S () S a a a3 3, ( ) 3 S,, ( ) a 6 a Reescrevedo a equação da recta a forma de Lagrage, troço,, ( ) S M M h h,, ( ) S M M h h h,, S ( ) M,,,, S ( ) M S ( ) M Eemplo:,, S ( ) M,, S ( ) M 3,, S ( as ª dervadas à esquerda e à dreta do ó são guas evalemm M é a ª dervada do sple o ó ) M ª dervada com valor M S () S 3 () troço troço 3 3 Ou seja, escrevedo a equação da ª dervada do sple a forma de Lagrage, garatmos desde logo a cotudade a ª dervada a trasção etre os troços Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

56 Sple cúbco Prmtvado vezes a epressão,,, ( ) S M M h h, S ( ) M M h h 3 3 S( ) M M 6h 6h O termo + pode ser escrto a forma de Lagrage, 3 3 ( ) 6h 6h S M M c d h h com d c c d ; h h Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

57 Impodo as codções de terpolação S( ) y S( ) y,,..., Sple cúbco 3 3 ( ) 6h 6h h h S M M c d M M h ( ) 6h ( 3 M ( 6h pelo que, para o troço, a equação do sple é, h ) ( ) M 6h 6h 3 3 ) 3 c c h h h d d h h h y y y y S () troço cy M h d y M h h 6h 6h 6 h 6 h S ( ) M M y M y M,,..., h 6 Nesta epressão os M são cógtas M, M,, M + cógtas Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

58 Sple cúbco Dervado a epressão ateror (epressão do sple) resulta,, ( ) h h h h h 6 h 6 S M M y M y M S M M M M Impodo a cotudade a prmera dervada,, S ( ) S ( ) h, ( ) ( S ( ) ) y y h M M M M h h h 6 S, ( ) y y h h h h 6, ( ) y y h 6 S M M M M h h h, ( ) M h ( ) h M ( ) y y h M M h 6 h S (), S ( ), S ( ) 3 troço troço 3 S 3 () 3 Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

59 S, ( ) M pelo que a cotudade a dervada resulta,,, S ( ) S ( ) h ( ) h M Sple cúbco h, ( ) ( S ( ) ) y y h M M M M h h h 6 ( ) y y h M M h 6 h y y h S M M M h, ( ) h 6 h y y h S M M M h, ( ) 6 h y y h h y y M M M M M M h 6 h 6 h h h h h y y y M M y,,..., M h h Esta epressão represeta equações Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

60 Resumdo, a epressão do sple cúbco é Sple cúbco 3 3 h h 6h 6h 6 h 6 h S ( ) M M y M y M,,..., ode os M são cógtas + cógtas Para determarmos as cógtas recorremos à codção h h h h y y y y M M M,,..., h h equações equações a + cógtas ecessáro forecer codções suplemetares Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

61 Sple cúbco Hpótese : Sple atural Na ausêca de outra formação cosderar,, S ( ) M,, S ( ) M ou seja, o sstema a resolver é M h h h h y y y y M M M,,..., h h M No caso de espaçameto uforme resulta (h = h ; =,,, ) M h h h y y h M y y y y M M M M 4M M 6 M M Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer h

62 Sple cúbco O sstema pode ser colocado a forma matrcal (sstema trdagoal) y y y 6 h 4 M3 4 M 3 4 M y y y 6 4 M M y y y 6 h M h 4 M y3yy 6 4 M 3 h Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

63 Sple cúbco Hpótese : Sple completo Caso as as dervadas as etremdades sejam cohecdas cosderar, ( ) y y h 6 S M M M M h h h,, S ( ) y,, S ( ) y h, ( ) S ( ) M h ( ) y y h, M MM y h h 6 h, ( S ( ) M ) ( ), y y h M M M y h h h 6 h h, y y M M y 3 6 h h h, y y M M y 6 3 h Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

64 Sple cúbco ou seja, para sple completo o sstema a resolver é h h y y, M M y 3 6 h h h h h y y y y M M M,,..., h h h h, y y M M y 6 3 h Hpótese 3: sple peródco (cosultar referêcas) Hpótese 3: cotudade da 3ª dervada em e, (cosultar referêcas) Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

65 Sples cúbcos Teorema (Holladay): [ ab, ] Nós:,,..., Valores odas: y, y,..., y a b De todas as fuções com cotudade até à seguda dervada ( fc ( )) que terpolam os aterores valores, o sple cúbco atural é a fução que mmza o valor b Jf ( ) f''( ) d e é uma fução úca. a Iterpretação: De todas as curvas terpoladoras com cotudade até à seguda dervada, o sple cúbco atural é a curva mas dreta possível (porque o valor médo da curvatura é mímo) Nota: J(f) é proporcoal à eerga de deformação duma vga elástca Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer

66 Erros da terpolação por sples cúbcos f S C D f h C f' S' C D f h C h f'' S'' C D f h C 3 h 4 f''' S''' C3 D f h C3 h h hma h hm h Matemátca Computacoal, MEMec, LEAN, MEAer