Sumário. Mecânica. Sistemas de partículas

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1 umáro Udade I MECÂNICA 2- Cetro de massa e mometo lear de um sstema de partículas - stemas de partículas e corpo rígdo. - Cetro de massa. - Como determar o cetro de massa dum sstema de partículas. - Vetor posção, vetor velocdade e vetor aceleração do cetro de massa. APA 13 Cetro de massa stemas de partículas No estudo que temos vdo a fazer tratámos os objetos, como, por exemplo, blocos de madera, automóves, etc. como partículas. Neste capítulo remos estudar sstemas de partículas (a) e as razões pelas quas, em determadas codções, se podem estudar os seus movmetos pelo respetvo cetro de massa (b). 1

2 Movmeto dos corpos Um corpo, em geral, ão é propramete uma partícula, mas sm, um sstema de partículas que pode ter város tpos de movmeto. Vejamos quas os tpos de movmeto que os corpos podem ter: - movmeto de traslação; - movmeto de rotação; - movmetos combados de traslação e de rotação (maora dos movmetos). Movmeto dos corpos No movmeto de traslação dos corpos as suas partículas têm todas a mesma velocdade. No movmeto de rotação dos corpos as suas partículas têm velocdades dferetes, exceto as que se matêm sobre o exo de rotação, cuja velocdade de rotação é ula. Neste caso, as partículas têm trajetóras crculares de raos dferetes (rotação pura). 2

3 Movmeto dos corpos No caso do movmeto de traslação, este poderá ser de traslação retlíea; Ou, de traslação curvlíea. Corpo rígdo e sstema dscreto de partículas Corpo rígdo ou corpo deformável é um sstema de partículas cujas posções relatvas permaecem costate, depedetemete do movmeto ou da teração a que o corpo está sujeto. Por exemplo uma molécula poderá ser cosderada um sstema rígdo se desprezarmos as pequeas osclações dos seus átomos. stema dscreto de partículas é um cojuto costtuído por um úmero fto de partículas cujas dstâcas relatvas varam o decurso do movmeto. 3

4 Cetro de massa de um sstema de partículas Quado um corpo só tem movmeto de traslação ão é ecessáro estudar cada partícula, pos todas elas têm a mesma velocdade, descrevedo a mesma trajetóra, sedo portato, acetável tratá-lo como uma partícula. Dz-se que o sstema é redutível a uma partícula. Um corpo que teha apeas movmeto de traslação pode ser represetado pelo seu Cetro de Massa (). gfcado de cetro de massa O Cetro de Massa () de um sstema de partículas, é um poto ode se supõe estar cocetrada toda a massa do corpo e ode se cosdera aplcada a resultate das forças que atuam esse sstema. 4

5 Cetro de massa de um sstema de partículas Num sstema de partículas o movmeto de cada partícula é, em geral, complcado. Porém, há um poto, assocado a cada sstema de partículas, que possu, quase sempre, um movmeto smples: É o Cetro de Massa () do sstema. Cetro de massa de um sstema de partículas Neste caso complcado de movmeto, o Cetro de Massa,, descreve smplesmete uma parábola. O, tem o movmeto que tera uma partícula com a massa da saltadora e ode atuasse a resultate das forças exterores exercdas sobre a saltadora. 5

6 Como se determa expermetalmete o de corpos rígdos sem smetra? Pedura-se o objeto por um poto qualquer (poto A, por exemplo) e marca-se o objeto uma lha vertcal que passe por esse poto. Pedura-se depos o objeto por um outro poto, B, por exemplo, e, de ovo, marca-se a lha vertcal que passa agora por B. A tersecção das duas lhas dca a posção do cetro de massa (claro que o cetro de massa está o teror do objeto e ão a sua superfíce!). de corpos rígdos com smetra e o corpo for homogéeo e apresetar smetra, o cetro de massa stuar-se-á sobre esse elemeto de smetra. O de uma chapa retagular, homogéea, cocde com o cetro geométrco. O de uma esfera homogéea stua-se o cetro geométrco da esfera. O de um ael está o cetro geométrco e ão pertece ao corpo. 6

7 Como calcular o de duas partículas? Expermetalmete, verfca-se que o está à dstâca l 1 e l 2 das partículas de massas m 1 e m 2, de tal modo, que dstâcas e massas satsfazem a segute codção: m 1 l 1 = m 2 l 2 m 1 > m 2 l 1 < l 2 Como calcular o de duas partículas? Vamos determar a posção do um referecal em que o exo dos xx passa pelas duas partículas: 7

8 Como calcular o de duas partículas? Da relação m 1 l 1 = m 2 l 2 e substtudo as relações aterores vem: Geeralzado para um sstema de partículas 8

9 Como calcular o vetor de posção, r, do? e tvermos um sstema formado por partículas de massas m 1, m 2,..., m, localzadas pelos vetores posção, r, a posção do seu 1 r r,,..., 2 cetro de massa é obtda a partr da segute expressão: r m1r1 m2r2... m r m m... m m r m Em que r = x e x + y e y + z e z Velocdade do cetro de massa Cosderemos o vetor posção do de um sstema. r m1r1 m2r2... m r m m... m 1 e dervarmos em ordem ao tempo a expressão ateror vem: 2 1 m r m v m1v 1 m2v 2... mv m m... m m v m que é a expressão da velocdade do cetro de massa. 9

10 Aceleração do cetro de massa e dervarmos ovamete em ordem ao tempo, vem: a m1a 1 m2a2... ma m m... m m a m que é a expressão da aceleração do cetro de massa. umáro Udade I MECÂNICA 2- Cetro de massa e mometo lear de um sstema de partículas Coclusão da APA 13 Cetro de massa. - Mometo lear de uma partícula e de um sstema de partículas. - Le fudametal da dâmca para um sstema de partículas. - Impulso de uma força. - Le da coservação do mometo lear. 10

11 Mometo Lear duma partícula upoha que um camão e um automóvel à mesma velocdade coldem com um muro, será que os efetos materas devdo à colsão são os mesmos? É ecessáro defr uma ova gradeza para exprmr o efeto provocado, essa ova gradeza chama-se mometo lear. p = m v Udade I de mometo lear: Kg m s -1 Mometo Lear duma partícula p mv O mometo lear é uma gradeza vetoral que tem a mesma dreção e setdo da velocdade. Tedo em cota o mometo lear duma partícula, a 2ª Le de Newto pode escrever-se do segute modo: dv d( mv ) dp F ma m dt dt dt A resultate das forças aplcadas é gual à taxa de varação temporal do mometo lear. 11

12 Impulso de uma força Quado ocorrem colsões, atuam forças que ão são costates. ão forças geralmete muto tesas e que duram tervalos de tempo muto curtos, por ex.: colsões etre carros ou bolas de blhar. Podemos defr a gradeza mpulso de uma força costate: dp p F F méda I Fmédat p dt t I p Udade I de mpulso: N.s O mpulso da resultate das forças aplcadas a uma partícula durate um tervalo de tempo, é gual à varação do mometo lear ocorrdo esse mesmo tervalo. Mometo Lear do cetro de massa Como v m v 1 m v m m v 1 1 p p p p O segudo membro da equação é o mometo lear do sstema, uma vez que o mometo lear, de cada partícula é: p m v Etão: m v p p p O mometo lear do cetro de massa, é gual ao mometo lear do sstema, se cosderarmos o como uma partícula de massa m. 12

13 Le Fudametal de Newto para um sstema de partículas e dervarmos em ordem ao tempo a expressão: p m v dp dt m dv dt m a 1 F ext 1 F t em que a resultate das forças terores é ula porque atuam aos pares, sedo cada par formado por forças smétrcas, logo têm resultate ula, o que quer dzer que as forças exterores determam o movmeto do. Le Fudametal de Newto para um sstema de partículas 1 F ext m a Esta Le é cohecda por: Le do movmeto do. Que se pode eucar da segute forma: O dum sstema de potos materas desloca-se como se ele estvesse cocetrada toda a massa do sstema e ele estvessem aplcadas todas as forças exterores ao sstema. 13

14 Le da coservação do mometo lear para um sstema de partículas Deduzmos aterormete a Le do movmeto do : F R F 1 ext m a dp dt Quado a resultate das forças exterores é ula, o mometo lear do sstema é costate. dp,, p k p p pst. p dt 0 st. Le da coservação do mometo lear Num sstema solado, há coservação do mometo lear, sto é, se a resultate das forças exterores for ula, o mometo lear do sstema permaece costate e a velocdade do matém-se costate. TPC Exercícos da APA 14 que que fcarem por fazer. 14