Forma padrão do modelo de Programação Linear

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1 POGAMAÇÃO LINEA. Forma Padrão do Modelo de Programação Lear 2. elações de Equvalêca 3. Suposções da Programação Lear 4. Eemplos de Modelos de PPL 5. Suposções da Programação Lear 6. Solução Gráfca e Iterpretação 7. Propredades dos PPL s 8. Método Smple 9. Solução Algébrca 0. Método Smple a Forma ableau. Método das Duas Fases 2. Método Smple a Forma ableau 3. Dualdade em Programação Lear 4. Algortmo SIMPLEX Prmal-Dual 5. Aálse de Pós-otmaldade

2 Forma padrão do modelo de Programação Lear Ma z c + c c s.a: a + a a b a2 + a a2 b2 a + a a b m m2 0,..., 2 m m Suposções da Programação Lear. Proporcoaldade 2. Adtvdade 3. Dvsbldade 4. Certeza 5. Perspectva das suposções elações de Equvalêca Qualquer que sea a estrutura do PPL, sempre é possível trasformá-lo o formato padrão apresetado acma. Para tato, utlzam-se as segutes relações de equvalêca:

3 a) elação etre equações e equações + S b S a b a 0 S b S a b a 0 b) elação etre mamzação e mmzação c z M c z Ma ) ( ) ( c) ratameto de lmtes de varáves + 0 Substtução : 0 l l l 0 Substtução : l l l 0 0 e

4 Eemplo - Empresa WYNDO GLASS CO. Plata Produtos Capacdade Jaelas Portas Dspoível Lucro Ut. $3 $5 Ma Z 3 X + 5 X2 S.a: X 4 2 X2 2 3 X + 2 X2 8 X, X2 0 X X

5 Propredades dos PPL s (a) Se este eatamete uma solução ótma, etão deve ser uma solução factível em um vértce; (b) Se estem soluções ótmas múltplas, etão ao meos duas delas devem ser soluções factíves em vértces adacetes; (c) Este um úmero fto de soluções factíves em vértces; (d) Se uma solução factível em um vértce é gual ou melhor (segudo o valor de Z) que todas as soluções factíves os vértces adacetes a ela, etão é gual ou melhor que todas as demas soluções factíves estetes os vértces, sto é, é uma solução ótma. Método Smple. Passo cal: car com uma solução factível em um vértce; 2. este de otmaldade: se ão este solução factível em um vértce adacete, melhor que a solução atual, etão PAE. A solução atual é ótma. Em caso cotráro, vá ao passo 3; 3. Passo teratvo: movmete em dreção de uma solução factível melhor, em um vértce adacete; volte ao passo 2.

6 Solução Algébrca Modelo Orgal (Wydor Glass Co.) Ma Z 3 X + 5 X2 s.a: X 4 2 X2 2 3 X + 2 X2 8 X,X2 0 Forma padrão equvalete Ma Z s.a: Z 3 X 5 X2 0 X + S 4 2 X2 + S2 2 3 X + 2 X2 + S3 8 X,X2,S,S2,S3 0 Solução aumetada Solução básca Solução básca vável Vértce Soluções adacetes

7 Z 3 X 5 X2 0 X + S 4 2 X2 + S2 2 3 X + 2 X2 + S3 8 Solução: Z,X,X2,S,S2,S3)(0,0,0,4,2,8) O que fazer para melhorar a solução? Que varável sa da base? Como represetar o sstema de equações leares? Nova represetação do sstema de equações leares Z 3 X + + 5/2 S2 30 X + S 4 X2 + /2 S2 6 3 X - S2 + S3 6 Solução: (Z,X,X2,S,S2,S3)(30,0,6,4,0,6) O que fazer para melhorar a solução? Que varável sa da base? Como represetar o sstema de equações leares? Nova represetação do sstema de equações leares Z + 3/2 S2 + S3 36 S + /3 S2 /3 S3 2 X2 + /2 S2 6 X - /3 S2 + /3 S3 2

8 Solução: (Z,X,X2,S,S2,S3)(36,2,6,2,0,0) O que fazer para melhorar a solução? Método Smple a Forma ableau Varável Coefcetes Lado ásca Z X X2 S S2 S3 Dreto Z S S S Varável Coefcetes Lado ásca Z X X2 S S2 S3 Dreto Z / S X /2 0 6 S Varável Coefcetes Lado ásca Z X X2 S S2 S3 Dreto Z /2 36 S /3 -/3 2 X /2 0 6 X /3 /3 2 Como escolher a varável que etra a base o caso de empate? Como escolher a varável que sa da base o caso de empate? E se ão este varável que possa sar da base? Como descobrr se estem soluções ótmas múltplas?

9 Método das Duas Fases Sea o PPL geérco em sua forma padrão, deomado de P, ode b 0,, para o qual ão é possível obter uma solução básca cal trval: (P) Ma z c s.a: a b,..., m 0,..., Etão, sempre é possível costrur o PPL abao, deomado de P2, cludo varáves artfcas: (P2) Ma z c s.a: a + d b,..., m 0,..., d 0,..., m O problema P2 sempre tem uma solução básca vável trval: d b,,..., m 0,,...,

10 Equvalêca etre os problemas P e P2 P P2 d 0,,..., m Cosdere o PPL abao, deomado de P3: m d (P3) M w s.a: a + d b,..., m 0,..., d 0,..., m Etão: ) toda solução de P3 é também solução de P2; ) se a solução ótma de P3 tver w 0, etão também será uma solução básca vável para o P. Algortmo. Se P tem solução básca vável trval, vá para 4; 2. Formule P3, e resolva-o; 3. Se a solução ótma de P3 as varáves artfcas forem ulas, etão uma solução básca vável para P fo ecotrada; vá para 4. Em caso cotráro, PAE; P ão tem solução vável; 4. esolva P, cosderado a solução básca vável cohecda.

11 Eemplo M Z 3 X + 2 X2 + 4 X3 s.a: 2 X + X2 + 3 X X + 3 X2 + 5 X3 20 X,X2,X3 0 Forma Equvalete Z (-Z) -3 X - 2 X2-4 X3 Ma Z Z + 3 X + 2 X2 + 4 X3 0 2 X + X2 + 3 X X + 3 X2 + 5 X3 S2 20 X,X2,X3,S2 0 Icludo Varáves Artfcas Ma Z Z + 3 X + 2 X2 + 4 X3 0 2 X + X2 + 3 X3 + d 60 3 X + 3 X2 + 5 X3 S2 + d2 20 X,X2,X3,S2,d,d2 0

12 Problema da Prmera Fase M W d + d2 ou Ma W (-W) - d d2 W + d + d2 0 Z + 3 X + 2 X2 + 4 X3 0 2 X + X2 + 3 X3 + d 60 3 X + 3 X2 + 5 X3 S2 + d2 20 X,X2,X3,S2,d,d2 0 Problema Fase Forma ableau Iteração 0 V.. W' Z' X X2 X3 S2 d d2 Valor W' Z' a a Iteração V.. W' Z' X X2 X3 S2 d d2 Valor W' 0 /3-4/3 0 8/ Z' 0 /3 2/ / X /3 /3 0 / a /3 4/ /3 20

13 Iteração 2 V.. W' Z' X X2 X3 S2 d d2 Valor W' Z' 0 /2 0 0 /2 -/2 -/2-90 X /3 0 3/4 /3 -/4 5 X /4 0-3/4-5/4 3/4 5 Problema Fase 2 Forma ableau Iteração 0 V.. Z' X X2 X3 S2 Valor Z' /2 0 0 /2-90 X3 0 2/3 0 3/4 5 X2 0 -/4 0-3/4 5 Solução do Problema X 0 X2 5 X3 5 S2 0 Z -90 Z 90

14 Método Smple a Forma Matrcal Ma s.a: z c (.a) A b (.b) 0 (.c) ode c,,0, posto m. Obteção de uma Solução m b e A é uma matrz m de No sstema de equações leares (.b), para que uma solução sea determada, é ecessáro, cosderado que m, arbtrar o valor de m varáves. Partcoado o vetor de varáves de modo a caraterzar as varáves que serão arbtradas e aquelas que serão calculadas, e segudo esta partção para os demas elemetos do PPL, tem-se: c c c [ ] m A (2) m ode c,, c,, é uma matrz m m ão-sgular, e é uma matrz m ( m).

15 Com sto o PPL poderá ser re-escrto a forma: Ma s.a: z c + c (3.a) + b (3.b) 0 e 0 (3.c) Arbtrado o valor das m compoetes do vetor de varáves, os valores das compoetes do vetor poderão ser obtdo a partr da equação (3.b): b ( b ) b (4) No caso partcular em que se arbtra 0, tem-se uma solução básca, e o valor das compoetes do vetor poderá ser obtdo através de: ˆ b (5) Cosdere que a solução assm obtda satsfaz as codções de ão-egatvdade das varáves báscas, apresetadas em (3.c), sto é, que ˆ 0. Neste caso, dz-se que esta solução é uma solução básca vável. Os vetores e são deomados de vetor de varáves báscas e vetor de varáves ão-báscas, respectvamete.

16 Cálculo do valor da fução obetvo O valor da fução obetvo, que poderá ser calculado através da equação (3.a), o caso partcular de uma solução básca resume-se a: zˆ c ˆ (6) Até agora, mostrou-se como o valor das varáves pode ser obtdo a partr do arbítro das varáves. Varado-se o valor destas, obtém-se dferetes soluções para. Substtudo (4) a epressão (3.a), obtém-se: z c z c z c ( b ) ˆ b c + + c + c ( c c ) z ( c c ) zˆ + (7) Com esta epressão, pode-se calcular o valor da fução obetvo de ovas soluções, como fução dos valores arbtrados para. Portato, dferete valores de produzem dferetes valores para a fução obetvo.

17 Codção de otmaldade Cosderado que desea-se obter uma solução com valor da fução obetvo maor do que o valor atual zˆ, sto é, que z > zˆ, a segute codção deve ser satsfeta: ( c ) < 0 c (8) Dado que a solução básca correte 0, e que a codção de ão-egatvdade deve ser matda, para satsfazer a codção (8) é ecessáro aumetar as compoetes de assocadas a compoetes egatvas do vetor c c (9) Obvamete, se ão estrem compoetes egatvas em, sto é, se / < 0, ão será possível aumetar o valor de z. Neste caso, dz-se que a solução básca vável correte é a solução ótma do PPL.

18 roca de base Mesmo que esta mas do que uma compoete, o Método Smple cosdera que apeas uma < 0 compoete de é aumetada a cada vez. Neste caso, dversas estratégas de escolha poderão ser adotadas. eorcamete, a úca codção para que se obteha uma solução melhor, é que se escolha uma compoete < 0. Na prátca, a escolha da compoete egatva de meor valor, sto é: m { < 0} k (0) é uma boa estratéga para aumetar o valor da fução obetvo, pos é a que produz o maor cremeto em z com o aumeto utáro da respectva compoete em. Determada a varável ão-básca que será aumetada, assocada a uma compoete k < 0, e deotada por, deve-se determar o valor do cremeto. k Em prcípo, quato maor o valor do cremeto, maor será o valor de z. A fm de mater a vabldade da solução, é ecessáro que a ova solução, que poderá ser calculada pela epressão (4), satsfaça a segute codção: b 0 ()

19 Cosderado que apeas um compoete do vetor de varáves ão-báscas é cremetado por vez, esta epressão resume-se a: ˆ a 0 (2) k k ou ada, cosderado as váras lhas desta codção vetoral: ˆ ak 0,..., m (3) ode a k é a -ésma compoete de k a k. Cosderado que a varável ão-básca será aumetada (postva), é ecessáro verfcar a codção (3) somete para a k > 0. Com sto o cremeto da varável ão-básca será lmtado em: ˆ θ r m{ θ } m ak > 0 (4) ak Não estdo a k > 0, ão haverá lmtes para o cremeto da varável ão-básca. Neste caso, dz-se que ão este solução ótma fta, ou que a solução é lmtada, pos o valor da fução obetvo z.

20 Por outro lado, ecotrado um lmte θ r para o cremeto da varável ão-básca, uma ova solução poderá ser obtda fazedo-se: k θ (5) r Com sto, 0 e o valor da fução obetvo aumeta para r z zˆ + θ. k r Esta ova solução poderá ser represetada por uma ova partção o vetor de varáves, a qual a varável básca que fo aulada passa a fazer parte do vetor de varáves ão-báscas, e a varável ão-básca que fo cremetada passa a fazer parte do vetor de varáves báscas. A esta operação, dá-se o ome de troca de base. Efetuada a re-defção dos vetores e, todas as etapas do processo são repetdas até que se obteha uma solução ótma ou uma solução lmtada.

21 Dualdade em Programação Lear Sea o PPL apresetado a forma abao: (PIMAL) Ma c s.a: (I.a) A b (I.b) 0 (I.c) Etão sempre é possível costrur o PPL que se segue: (DUAL) M b π (II.a) s.a: A π c (II.b) 0 π (II.c) O PPL Prmal relacoa-se com o PPL Dual através das segutes proposções: Proposção * * ) Sea a solução ótma do PPL Prmal. Sea π a * * solução ótma do PPL Dual. Etão c b π. ) Se o PPL Prmal tem solução lmtada, etão o PPL Dual ão tem solução, e vce-versa. Proposção 2 * Sea a solução básca ótma do PPL Prmal, e a * base correspodete. Etão π c c é a solução ótma do PPL Dual.

22 Algortmo SIMPLEX Prmal-Dual (G.. DANZIG, 956) P0 Mote o PPL em sua forma padrão. Escolha um couto de m varáves báscas quasquer, e partcoe o problema como segue: Ma s.a: c + c + b P Calcule Calcule. ˆ b e z c c. P2 Determe Determe ˆ m ˆ. r z m z. k Se z k ˆ e zk < 0, etão vá a P3. r Se ˆ < z e ˆ < 0 r k, etão vá a P4. r Se 0 e z 0, etão PAE. A solução ˆ r atual é ótma. k a. Se 0 P3 Iteração Prmal. Calcule k k / a k >, etão PAE. O problema tem solução lmtada. Em caso cotráro, determe a varável que deverá sar da base: ˆ θ r m θ m ak > 0 ak Vá para P5. a

23 P4 Iteração Dual. Calcule ar er, ode e r é o r-ésmo vetor lha utáro. Se a < 0, etão / r PAE. O problema ão tem solução vável. Em caso cotráro, determe a varável que deverá etrar a base: z α k ma α ma ar < 0 ar P5 roca de base. Efetue a troca de base etre as varáves. Determe a ova partção r k para o PPL e retore a P.

24 Eemplo de Aplcação do Algortmo Smple Prmal-Dual Ma s.a: , 2, 3 0 Motado o problema a forma padrão, obtém-se as segutes matrzes e vetores: X 3 X2 2 X X3 C 4 S 0 S2 0 S A b

25 Iteração S Xb S S X 2 2 Xr X2 0 4 X3 Cb' Cr' S Xb S2 0-0 * 2-2 S dz * 0-0 * dz Observado os resultados verfca-se que as codções de otmaldade e vabldade ão são satsfetas e que a realzação de uma teração dual é recomedada, escolhedo-se a seguda varável básca para sar da base a2 0 0 * 0-0 * Alfa 3? e portato a prmera varável ão-básca etra a base.

26 Iteração 2 S Xb X S S2 0 2 Xr X2-0 4 X3 0 Cb' Cr' S Xb X 0 0 * 2 2 S dz * 0 0 * dz Observado os resultados verfca-se que a solução é vável e que as codções de otmaldade ão são satsfetas e portato a realzação de uma teração prmal é recomedada, com a escolha da prmera varável ão-básca para etrar a base a 0 0 * eta?? 4 e portato a tercera varável básca sa da base.

27 Iteração 3 S Xb X S S3 0 2 Xr X X3 Cb' Cr' S Xb X 0 0 * 2 6 S dz * 0 0 * dz 3 - Verfca-se que as codções de vabldade cotuam sedo satsfetas, o que ada ão acotece com as codções de otmaldade. Portato, é recomedada uma teração prmal, escolhedo-se a tercera varável ão-básca para etrar a base a 0 0 * eta? 6? e a seguda varável básca é escolhda para sar da base.

28 Iteração 4 S Xb X S S3 0 2 Xr X2 0 0 X Cb' Cr' S Xb X3 0 0 * 2 6 S dz * 0 0 * dz 4 2 e a solução é ótma. O valor da fução obetvo poderá ser calculado por: 22 Z *

29 Iterpretação dos esultados Ma (Lucro) s.a: (Subproduto ) (Subproduto 2) (Mão de Obra) 2 3, 2, 3 0 X, X2, X3 são quatdades dos processos de produção Var. Valor dz X 0 X2 0 2 X3 6 0 S 22 0 S S3 0 4 Z 64

30 Aálse de Pós-otmaldade Sea o PPL a forma padrão Ma s.a: * e sea ( ) *, A b c 0 a sua solução básca ótma. Se algum parâmetro do modelo sofrer alteração, uma ova solução deverá ser determada. Etre as alterações mas sgfcatvas, tem-se:. Alteração de um coefcete do vetor b 2. Alteração de um coefcete do vetor c a) assocado a uma varável ão-básca b) assocado a uma varável básca 3. Iclusão e eclusão de restrção a) restrções ão-atvas b) restrções atvas 4. Iclusão e eclusão de varável a) varáves báscas b) varáves ão-báscas Obs. Em algus sstemas computacoas (Ldo, MPSX, Ecel) este a opção de efetuar a aálse sobre os coefcetes de b e de c.

31 Caso - Alteração de um coefcete do vetor b Os valores das varáves báscas a solução ótma do PPL é dada, a partr dos valores por: * ( b ) * Dado que um coefcete do vetor b sofreu alteração, sto é, dado que o ovo vetor b é dado por b b + r e r, ode e r é o r-ésmo vetor colua utáro tem-se: * * * * ( b ) [( b + r er ) ] * * ( b ) + r er + r er Para que esta ova solução cotue sedo ótma é ecessáro que: ou * * * * + + r r r e r 0 * 0,,..., m Desta epressão obtém-se os lmtes r para varação de cada compoete do vetor b, a forma apresetada abao.

32 r r * r r r * * r se se r r Caso 2 - Alteração de um coefcete do vetor Para a solução ótma de um PPL, tem-se: > 0 < 0 c Z c c 0, se ˆ 0 No caso do -ésmo coefcete do vetor c modfcar, sto é, se c c +, tem-se para o caso da solução básca permaecer ótma: Z c c c + c 0 Z + Z 0, ou Z

33 Caso 3 - Alteração de um coefcete do vetor No caso do k-ésmo coefcete do vetor k k c c modfcar, sto é, se c c + k e, ode e é o k-ésmo vetor lha utáro, tem-se, para o caso da solução básca permaecer ótma: ode Z Z c c c ( c + e ) 0 k k Z Z 0, k k e k k Z k k k k k e Z k Z k k se se k k 0 > 0 < 0