Distribuições Amostrais. Estatística. 8 - Distribuições Amostrais UNESP FEG DPD

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1 Dstrbuções Amostras Estatístca 8 - Dstrbuções Amostras 08-

2 Dstrbuções Amostras Dstrbução Amostral de Objetvo: Estudar a dstrbução da população costtuída de todos os valores que se pode obter para, em fução de todas as amostras possíves de serem obtdas da população orgal. Eemplo: População {,3,6,8,} Amostra de (dos) elemetos com reposção. Solução: Amostras possíves: N 5 com reposção Etão: 5 5 amostras (,),0 (,3),5 (,6) 4,0 (,8) 5,0 (,) 6,5 (3,),5 (3,3) 3,0 (3,6) 4,5 (3,8) 5,5 (3,) 7,0 (6,) 4,0 (6,3) 4,5 (6,6) 6,0 (6,8) 7,0 (6,) 8,5 (8,) 5,0 (8,3) 5,5 (8,6) 7,0 (8,8) 8,0 (8,) 9,5 (,) 6,5 (,3) 7,0 (,6) 8,5 (,8) 9,5 (,),0 Determar: µ,, µ, µ, POPULAÇÃO µ, DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE 08-

3 Etão: Dstrbuções Amostras µ 6,0 N 5 ( µ ) N 5 [( 6) + (3 6) + (6 6) + (8 6) + ( 6) ] 0,8 3,9 µ E( ) N,0 +, ,0 5 ( µ ) ( 6,0) N 5 5,40,3 6,0 Geeralzado: Amostragem com reposção: µ µ ( ) eposção tas: µ µ ( ) N N Ode: N tamaho da população; tamaho da amostra 08-3

4 Dstrbuções Amostras Eemplo: Dados aterores. Amostragem sem reposção. Há amostras. Calcular: 5 µ Solução: Amostras (,3),5 (,6) 4,0 (,8) 5,0 (,) 6,5 (3,6) 4,5 (3,8) 5,5 (3,) 7,0 (6,8) 7,0 (6,) 8,5 (8,) 9,5 ou µ N 0, ,5 6,0 0 [(,5 6) + (4,0 6) (9,5 6) ] 4, 05 N N 0, ,

5 Dstrbuções Amostras Eemplo: Admte-se que a altura de aluos do seo masculo de um uversdade são ormal. Dstrbudas com µ 7,7 cm e 7,6 cm. Se forem obtdas 80 amostras de 5 aluos cada, quas serão a méda e o desvo-padrão da dstrbução das médas se a amostragem for feta; Com reposção; Sem reposção. Solução: O úmero de amostras de 5 aluos que podem ser obtdos dos aluos é: (3.000) 5 com reposção sem reposção Etão: µ Com reposção: µ 7,7 7,6 5,54 µ Sem reposção: µ 7,7 N N 7, ,

6 Dstrbuções Amostras Tpo de Dstrbução amostral de Quato à forma da dstrbução de : Teoremas mportates:. Teorema das Combações Leares de Varáves Aleatóras Normas Idepedetes.. Teorema do Lmte Cetral. Assm pode-se trar: Se a população for Normal Dstrbução Amostral de é Normal para qualquer tamaho da amostra devdo a () pos é Combação Lear de Varáves Normas Idepedetes Dstrbução Amostral de Dstr. Probab. da População µ, Se a população ão for ormal, mas a amostra for sufcetemete grade devdo a (), o caso de população fta ou amostragem com reposção a Dstrbução Amostral de apromadamete Normal. Dstrbução Amostral de será Dstr. Probab. da População µ, 08-6

7 Dstrbuções Amostras Eemplo: Dados do eercíco ateror. Em quatas amostras pode-se esperar que a méda se ecotre: a. etre 69,67 cm e 73,48 cm b. abao de 69,5 cm? Solução: N( µ ) N(7,7;,54) a. P(69,67 < < 73,48)? z z 69,67 7,7,0,54 73,48 7,7 0,5,54 Etão: P(-,0 <z <0,5) P(0 < z <0,5) + P(0 < z <,0) 0, ,95 0,6687 Dstrbução Amostral de f e p Sedo que: f: freqüêca com que fo observada alguma característca a amostra. f é determada em fução dos elemetos da amostra é um varável aleatóra é uma estatístca. Dstrbução de f: Para cada elemeto da amostra f {S,F} sucesso: quado a característca fo observada fracasso: caso cotráro p p(s) costate se a amostra for aleatóra população fta 08-7

8 f: # sucessos a amostra (detre ) f: bormal com parâmetro e p. µ f E( f ) p Para amostra com reposção: Dstrbuções Amostras ( f ) f pq Para amostra sem reposção: f N ( f ) pq N e q -p. Dstrbução de p : p : proporção amostral (freqüêca relatva): µ E( p p ) p Para amostra com reposção: Para amostra sem reposção: ( p p ) p ( p ) p q p q N N Observação: Amostras sufcetemete grades, garatem que as dstrbuções de f e p podem ser apromados pela Dstrbução Normal de mesma méda e varâca. Em termos gráfcos, p 5 e q 5, garatem uma boa apromação 08-8

9 Dstrbuções Amostras Dstrbução Amostral de s Varâca da amostra: Sedo: -? s ( ) ( ) Varâca da população: ( µ ( ) ) ª Justfcatva do - :Graus de lberdade, (,,.., ) R ( µ ( ) ν ( ) ) R R ν( ) s ( ) ( )? Sedo que: R, R, R, e R ν( S ) Observação: ν: úmero de graus de lberdade úmero de dreções lvres 08-9

10 Dstrbuções Amostras Dstrbução χ : Qu-quadrado Sejam : valores aleatóros depedetes; retrados de uma população ormal de méda µ e o desvo-padrão. A estatístca χ ν ν ν µ z ode z N(0,) tem Dstrbução Qu-Quadrada com ν graus de lberdade. Soma dos quadrados de ν valores depedetes da varável ormal reduzda χ ν ν ν 3 ν 6 ν 0 χ ν 08-0

11 Dstrbuções Amostras Propredades da Dstrbução χ : Qu-quadrado E ( ) ( ) ν ν χ E z E(z ) νe(z ) ν ν Pode-se mostrar também que: ν ( χ ) ν χ ν Normal quado ν (Teorema do Lmte Cetral) ν ν ν ν χ + χ χ + Dstrbução Amostral de s ( ) ( ) Pearso demostrou que tem Dstr. χ com - graus de lberdade χ ( ) s s ( ) χ Logo, s () tem Dstr. χ a meos de uma costate 08-

12 Dstrbuções Amostras Propredades de s ( ) χ Es [ ( )] E E[ ] χ χ 4 4 [ s ( )] χ [ χ ] ( ) Eemplo: Retrada uma amostra de elemetos, obteve-se s ( ) 7,08. Determar um tervalo que coteha a varâca da população com 90 % de probabldade (supor amostra aleatóra). Solução: χ P(a s b) 0,90 ( ) ( ) 70,8 () 7,08 70, 8 χ 70,8 P(a χ Da tabela Logo: b) 0,90 70,8 P( b b7,9 a3,83 χ 70,8 ) a χ P(3,940 χ 8,307) 0, 90 70,8 3,940 b 70,8 8,307 a 0,90 P(3,83 7,9) 0,90 08-

13 Dstrbuções Amostras Dstrbução t de Studet A partr de uma amostra aleatóra de valores retrados de uma população N(µ, ), obtemos a estatístca: z µ z N(,0), po µ µ e Com (ou ) descohecdo e substtudo por ( ) s ( ) s( ) µ t s ( ) /, tem-se: N(0,), coforme mostrou GOSSET. Obs.: W.S.GOSSET: matemátco glês, que publcou seus trabalhos com o pseudômo de Studet. observe que t tem - graus de lberdade, pos s() o tem; observe que quado, s() e t N(0,). Normal t-studet 0 t, z 08-3

14 Observação: t µ z s µ s ( ) ( ) s ( ) de s t Dstrbuções Amostras ( ) s, ( ) χ χ z χ ou t ν z χ ν Eemplo: O desvo-padrão dos pesos de uma população muto grade de estudates é 5 kg. Tram-se dessa população, amostras de 00 estudates cada uma e calculam-se os desvospadrão dos pesos, em cada amostra. Determe: a. A méda; b. O desvo-padrão; c. Que porcetagem das amostras tera desvo-padrão superor a 5,5 kg? E feror a 4,4 kg? Solução: Hpótese: Amostra aleatóra, população fta, 5 kg Tese: µ s?, s?, p(s > 5,5)?, p(s > 4,4)? Dstrbução Amostral do desvo-padrão s(): µ s() 5 kg 5 00 s( ), 05 kg. p(s > 5,5) p(z >,0),3 % p(s > 4,4) p(z < -,4) 0,8 % 08-4

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