3 Experimento com Mistura com Respostas Não-Normais

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1 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 5 Epermeto com Mstura com Respostas Não-Normas Neste capítulo é apresetado o plaejameto e aálse de um EM com respostas ão ormas, que está detalhado em Dal Bello (5) e cuja sítese está em Vera & Dal Bello (6) e Dal Bello & Vera ()... Eemplo O objetvo do epermeto é ecotrar a formulação deal de um msto químco de forma que o seu tempo de quema (resposta) seja de 8 segudos. O msto é composto por uma mstura de Zarfesl ( ), Vdro Moído ( ) e Ntrocelulose ( ). As restrções as proporções dos três compoetes são as segutes: + +,79,87,8,6,5,7 Com essas restrções, fo utlzado o software Desg-Epert para a escolha dos potos caddatos e seleção dos potos epermetas segudo o crtéro D- otmzação. Cosderado a sugestão de Myers & Motgomery () para a seleção dos potos caddatos a regão epermetal resultate e sabedo que o modelo adotado calmete é o quadrátco, o software sugere um total de potos, dos quas 6 são ecessáros para o ajuste do modelo quadrátco e 4 potos adcoas são para testar a falta de ajuste do modelo. Ademas, 4 dos potos são replcados para estmar o desvo-padrão da resposta, perfazedo um total de 4 observações. Com sso, o Desg-Epert gera um projeto de epermeto D- ótmo coforme a Tabela, ode também se observam as respostas. Na Fgura 9 tem-se a represetação gráfca do projeto de epermeto e potos epermetas.

2 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 6 Tabela - Epermeto do msto de retardo D-ótmo com as respostas Ru Tempo (s),79,6,5 9,7,79,6,5 9,4,8,,5 4,7 4,87,8,5,85 5,87,8,5,59 6,875,75,55 9,5 7,8475,975,55,9 8,79,5,6, 9,86,8,6,4,79,4,7,77,79,4,7,89,8,,7,,85,8,7,5 4,85,8,7, Fgura 9 - Epermeto do msto de retardo D-ótmo com respostas ão-ormas Aplcado o teste t-studet a um ível de cofaça de 95% fo ajustado o segute modelo: yˆ 8, , + 87, 565, ,65 494, 7459,55 ( ) + (.)

3 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 7 Adequação do Modelo Para verfcar a suposção de ormaldade tem-se o gráfco de probabldade ormal dos resíduos studetzed (Fgura ). Para verfcar a suposção de depedêca, tem-se o gráfco de resíduos studetzed das observações a ordem em que foram realzados os epermetos (Fgura ). Para verfcar se o valor esperado do erro é gual a zero, tem-se o gráfco dos resíduos studetzed versus valores ajustados (Fgura ). Em ehum desses três gráfcos houve dcação que essas suposções ão devam ser acetas. Para verfcar se a varâca é costate, Cook & Wesberg (999) y y cotêm propuseram um teste. Os quadrados dos resíduos ( ) e ˆ formação sobre a fução de varâca. Procede-se etão à regressão de e sobre ŷ, pelo método dos mímos quadrados. A estatístca de teste (ET) é calculada dvddo-se SS R eˆ e pelo fator de escala ( e ) ( e ) ET SS R. (.) Cook & Wesberg (999) asseguram que ET tem dstrbução qu-quadrado com um grau de lberdade (úmero de termos da regressão de e sobre ŷ ), caso a varâca seja costate. Para o caso do msto de retardo, fazedo a regressão de e sobre ŷ, utlzado a plalha Ecel, obtém-se SS R e o fator de escala. Em seguda, utlzado a Equação (.), tem-se que ET 4,8. Na dstrbução ququadrado com um grau de lberdade, ET 4,8 correspode a um p-valor de,8. Etão, se rejeta a hpótese de que a varâca ão aumete quado a méda aumeta. Esta coclusão é cofrmada pelo gráfco do valor absoluto dos resíduos studetzed versus valores ajustados, apresetado a Fgura. Nele se observa a dcação do crescmeto da varâca com o aumeto da méda.

4 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 8 99 % Probabldade Normal Resídos Studetzed Fgura - Gráfco de probabldade ormal dos resíduos studetzed. Resíduos Studetzed Ru Number Fgura - Gráfco de resíduos studetzed versus ru umber

5 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 9. Resíduos Studetzed Valor Ajustado Fgura - Gráfco de resíduos studetzed versus valor ajustado Fgura - Gráfco para verfcação de ão costâca da varâca

6 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 4... Modelos Leares Geeralzados No modelo lear clássco, três codções são pressupostas: a resposta tem dstrbução ormal, a varâca da resposta é costate e os efetos dos fatores sobre a varável resposta se combam adtvamete. Essas codções são ecotradas em mutas aplcações dustras, porém em sempre sso ocorre, como o presete caso. Caso um ou mas dos três pressupostos ão possam ser acetos, uma alteratva é alterar a escala da varável resposta, trasformado-a e usado o modelo lear e o método dos mímos quadrados com os dados trasformados. A trasformação da resposta mutas vezes pode ser satsfatóra, levado ao atedmeto dos três pressupostos. Etretato, quado ão se cosegue sso, devese recorrer aos Modelos Leares Geeralzados (MLG). Ademas, Lews et al. (a) e (b) cocluíram que os MLG devem ser preferdos à trasformação da resposta, uma vez que, em todos os casos estudados pelos autores, os MLG apresetaram melhor desempeho a estmatva da resposta, pos propcaram tervalos de cofaça meores. Com os MLG, é possível cosderar outras dstrbuções além da ormal, ão é ecessáro cosderar a varâca costate (ela pode ser fução da méda) e pode-se cosegur leardade por meo de uma fução que faz a lgação etre a méda da varável resposta e o polômo lear das varáves depedetes. Nos MLG, usam-se as dstrbuções da famíla epoecal e a estmatva dos coefcetes do modelo é obtda com a mamzação da fução de logverossmlhaça. No caso de dstrbução ormal, efetos adtvos e varâca costate, a mamzação da fução de log-verossmlhaça leva aos estmadores de mímos quadrados, de modo que os modelos leares ordáros podem ser cosderados um caso partcular dos MLG. Para uma descrção dos MLG, ver McCullagh & Nelder (989) e Myers et al. (). Estrutura dos MLG Cosdere um epermeto com os dados da Tabela 4, com respostas depedetes y.

7 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 4 Tabela 4 - Dados para o modelo... k y... k y... k y k y Tem-se:. Sejam y, y, K, y as varáves de resposta com médas µ, µ, K, µ.. A dstrbução de probabldade de y é um dos membros da famíla epoecal.,. A porção sstemátca do modelo é composta pelas varáves de regressão,, K k. 4. O modelo é costruído com um predtor lear η β + β + β + L + β k k. Cabe regstrar que uma varável pode represetar um termo de um grau mas elevado. Por eemplo l m. 5. A fução de lgação g(µ ) faz a lgação etre a méda µ e o predtor lear. A fução de lgação defe a forma com que os efetos sstemátcos de,, K, k são trasmtdos para a méda. ( µ ) ( β + β + β + β ) η g L + k k. 6. Para os membros da famíla epoecal, a varâca da resposta tem a segute epressão: var( ) ( ) y φ V µ. Ode V µ ) é a parte da varâca da resposta y que depede da méda e φ é o parâmetro de dspersão que ão depede da méda e é costate. A relação da fução de varâca V ( µ ) com a méda pode ser represetada t por uma fução de potêca, ou seja, V ( µ ) µ. Para testar a sgfcâca dos coefcetes, Atkso & Ra (), Ldsey (997) e McCullagh & Nelder (989) recomedam usar a fução desvo (devace). A fução desvo está para os MLG como a soma dos quadrados dos resíduos está para o caso partcular de modelos leares clásscos. A fução desvo de um modelo qualquer é defda como sedo o desvo deste modelo em relação ao (

8 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 4 modelo saturado, coforme a defção (Ldsey, 997): D l[ ] L Mod L Sat, ode L Mod é a fução de verossmlhaça do modelo em questão e L Sat é a fução de verossmlhaça do modelo saturado, que é o modelo para o qual os valores ajustados µˆ são guas às respostas observadas y. Com sso, D ( y, ˆ µ ) l[ L( y, ˆ µ ) L( y, y )] [ l L( y, ˆ µ ) l L( y, y )] (.) Ldsey (997) propõe o procedmeto de aálse da fução desvo para testar a sgfcâca dos coefcetes. Este procedmeto está para os MLG assm como a aálse de varâca está para os modelos leares clásscos. Quase-Verossmlhaça Mutas vezes, os membros da famíla epoecal ão são dstrbuções adequadas para represetar a varável resposta. Para os casos em que um dos membros da famíla epoecal ão são dstrbuções adequadas para represetar a varável resposta há um método que estma os coefcetes mamzado a fução de Quase-Verossmlhaça (QV). No método da QV, defe-se apeas a relação da varâca da resposta com a méda da resposta, ão sedo ecessáro defr a dstrbução de probabldade. McCullagh & Nelder (989) defem a fução de QV como a segur: Para uma observação, tem-se: Q Para observações, tem-se: Com V ( µ ) µ, tem-se:, y u φv ( u) (.4) ( y µ ) du (, µ ) Q ( y, µ ) µ y µ y u φv ( u) y Q y du (.5) y (, µ ) [ l( µ ) ] Q y µ (.6) Omte-se o parâmetro φ porque ão flu a estmatva dos coefcetes, sedo ele estmado após o ajuste do modelo.

9 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 4 Como fo vsto, a relação da fução de varâca com a méda pode ser represetada por uma fução de potêca V ( µ ) µ. Vera (4) mostra que, para t,, e, as fuções de QV são guas, respectvamete, às fuções de Log-Verossmlhaça (LV) das dstrbuções ormal, de Posso, gama e ormal versa, e que, para V ( µ ) µ ( µ ) t, que é a fução de varâca da bomal, a fução de QV correspode à fução de LV da bomal. Portato, a mamzação da fução de QV, para estas fuções de varâca, produz as mesmas estmatvas dos coefcetes que a fução de LV os MLG, podedo-se etão usar o mesmo algortmo de estmatva dos coefcetes que os MLG, e coseqüetemete, qualquer software comercal que teha a opção dos MLG. Usado esta opção os MLG, pode-se obter as estmatvas dos coefcetes. Para o caso em aálse, a varâca possu uma tedêca de crescmeto com o aumeto da méda. Portato, cosderado, em prcípo, t, ou seja, V ( µ ) µ, tem-se que a dstrbução correspodete da famíla epoecal é a dstrbução de Posso. Etretato, esta é uma dstrbução de varável dscreta, o que ão é o caso do msto de retardo, cuja resposta é uma varável cotíua. Ademas, o parâmetro de dspersão φ é gual a para o caso da dstrbução de Posso. Será vsto mas adate que φˆ, para o caso em questão, dferete, portato, de. Para testar a sgfcâca dos coefcetes, Davso () recomeda a estatístca quas-devace. A quas-devace está para a modelagem pela fução de quase-verossmlhaça como a fução desvo para os MLG. Por aaloga, a quas-devace de um modelo qualquer é defda como sedo o desvo deste modelo em relação ao modelo saturado: ode Q ( µˆ ) y ( y y ) D ( y, ˆ µ ) φ [ Q ( y, ˆ µ ) Q ( y, y )] φ [ Q ( y, ˆ µ )] y µ y V u ( u) du (.7), é a fução quase-verossmlhaça do modelo em questão e Q, é a fução de quase-verossmlhaça do modelo saturado. Para V(u) u tem-se: D ( y ˆ µ ) y y u du l V ( u) µ [ y ( y µ ) ( y µ )], (.8)

10 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 44 Para observações, tem-se: (, µ ˆ ) (, ˆ µ ) D y D y (.9) Vera (4) mostra que, para t,, e, e para V ( µ ) µ ( µ ) estatístcas quas-devace são guas, respectvamete, às fuções desvo das dstrbuções ormal, de Posso, gama, ormal versa e bomal, também forecdas por qualquer software comercal que teha a opção de MLG. Cosderado calmete o modelo quadrátco, obtvemos as estmatvas dos coefcetes. Observamos que a predção do tempo em um dos potos epermetas é egatva, o que dca que o modelo quadrátco ão é adequado para este caso. Com sso, vamos adcoar ao modelo quadrátco, seqüecalmete, os termos do modelo cúbco. A Tabela 5 mostra os valores da quas-devace com a adção seqüecal de cada um dos termos, ( ), ( ) e ( ) ao modelo quadrátco. Tabela 5 - Quas-Devace Termo Adcoado Quas-Devace,84 ( ),5 ( ),6 ( ),6, as Será escolhdo, portato, o termo ( ) para ser adcoado ao modelo quadrátco, já que este é o que proporcoa a meor quas-devace, coforme apresetado a Tabela 4. Procede-se etão com uma aálse de quas-devace para a adção de ovos termos ao modelo base, o qual possu sete termos (,,,,, e ( )). Cosdere o Modelo como sedo o saturado, o Modelo com (p + ) parâmetros e o Modelo, ahado o Modelo, com p parâmetros. Etão, a () () dfereça etre as quas-devace dos Modelos e é D ( y ˆ ) D ( y, µ ) ˆ, µ. Para testar o termo adcoal do modelo maor, Davso () recomeda o teste da dstrbução F. A estatístca de teste é: F () () ( D ( y, ˆ ) D ( y, ˆ µ ) ˆ φ, sedo que ˆ φ é a estmatva parâmetro de µ dspersão do Modelo :

11 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 45 ode X () () ( ˆ ) V µ µ. ˆ ( p) () ( y ˆ µ ) X () V ( ˆ µ ) ( p) ˆ φ (.) é a estatístca geeralzada de Pearso e, para o presete caso, Portato, para acetar o Modelo como sedo correto, comparamos F com a dstrbução F, -p. Os resultados da aálse de quas-devace são apresetados a Tabela 6. Tabela 6 - Aálse de Quas-Devace Termo Adcoado Quas- Devace Dfereça a Quas- Devace ˆ φ F p-valor ( ),6,6,7,,7, ( ),56,7,6,7,6 ( ),6,7,,7, Aalsado a colua p-valor da Tabela 6, coclu-se que os demas termos cúbcos ão são sgfcatvos quado adcoados ao modelo base, já que todos os p-valores são maores que,5. Com sso, tem-se o modelo: yˆ 5, , , , , 77, 6647, 6 ( ) + (.) Para verfcar a adequação do modelo obtdo pelo método de QV, são utlzados os resíduos. Para cada resposta y pode-se defr a quas-devace ( y, ) d D µˆ, que é usada como medda de dscrepâca. Cada resposta cotrbu com uma quatdade d, de tal modo que d D( y, µˆ ) etão o resíduo quas-devace correspodete a cada resposta: ( y ˆ µ ) ( y ˆ µ ) r < r D D d d. Defe-se (.) McCullagh & Nelder (998) recomedam os resíduos quas-devace studetzed para verfcar a adequação do modelo, os quas são defdos como sedo r φˆ r D ( h ) (.)

12 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 46 ode φˆ é a estmatva do parâmetro de dspersão e h é o -ésmo elemeto da H dagoal da matrz chapéu H, que é dada por: W X( X WX) X W, ode a matrz W é uma matrz dagoal, com os elemetos da dagoal prcpal dados por: w [ V ( µ )][ dµ dη ]. No presete caso, tem-se que ˆ, fução de lgação é a detdade. Logo, φ e ( ) w µ. V µ µ, dµ dη, pos a A adequação do modelo e o comportameto dos resíduos com valores etremos podem ser observados com o gráfco de probabldade ormal dos resíduos quas-devace studetzed (Lee & Nelder, 998). O gráfco para o caso em questão, é mostrado a Fgura 4. Fgura 4 - Gráfco de probabldade ormal Nesse gráfco, pode-se observar que ão há potos muto fora do alhameto, ão havedo, portato, a dcação de que o modelo seja adequado. A fução de lgação pode ser verfcada com o gráfco dos resíduos quasdevace studetzed versus valor ajustado (Lee & Nelder, 998). Esse gráfco é mostrado a Fgura 5. Pode-se observar que os resíduos, aleatoramete dstrbuídos, ão apresetam uma tedêca de crescmeto ou decrescmeto em relação à méda. A lha resultate do amortecmeto (lowess) fca stuada as promdades da

13 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 47 reta horzotal de ordeada zero, ão havedo dcação de que a fução de lgação ão seja correta. Fgura 5 - Resíduos quase-devace studetzed valor ajustado A fução de varâca pode ser verfcada com o gráfco do valor absoluto dos resíduos quas-devace studetzed versus valor ajustado (Lee & Nelder, 998). Esse gráfco é mostrado a Fgura 6. Fgura 6 - Resíduos quase-devace studetzed valor ajustado No gráfco da Fgura 6 pode-se observar que o valor absoluto dos resíduos quas-devace studetzed ão apreseta tedêca de crescmeto em relação à méda, ão havedo, portato, a dcação de fução de varâca correta.

14 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 48 Com sso, pode-se coclur que o modelo ajustado pelo método da quaseverossmlhaça é adequado para represetar a resposta.... Otmzação da Resposta No epermeto do msto de retardo, é desejável a obteção de um valor de 8 segudos para a resposta. Váras formulações podem resultar em uma méda de futuras prevsões da resposta gual a 8 segudos. Por cosegute, um objetvo desejável é mmzar a varâca de uma futura resposta etre as formulações que resultam em 8 segudos de prevsão. Supodo, um poto qualquer o espaço dos compoetes da mstura, [ ( )] varâca de uma futura prevsão é (Davso, ): Etão, var var [ y ( )] var{ E[ y( )]} + E [ y( )] var { [ y( )]} var yˆ ( ). Pode-se mostrar que a { } (.4) [ ] var( βˆ ) var( β) E (.5) ˆ Davso () demostra que, se a fução de varâca é corretamete especfcada, tem-se que: ( ˆ ) ( X WX) Substtudo (.6) em (.5) obtém-se: var No modelo escolhdo, tem-se que: Etão, varβ φ (.6) { [ y( )]} φ( X WX) E (.7) [ ( )] φµ ( ) var y (.8) { var [ y( )]} E[ φµ ( )] φ β E (.9) Substtudo (.7) e (.9) em (.4) obtém-se: [ ( )] φ ( X WX) + φ β var y (.) Pode-se etão formular o problema da segute forma:

15 Modelagem em Epermetos Mstura-Processo para Otmzação de Processos Idustras 49 m var [ y( )],79,8,5 [ y( )] φ ( X WX) sujeto a : E β 8 + +,87,6,7 + φ β Utlzado uma rota de busca eaustva, a regão das restrções dos compoetes da mstura, codfcada a lguagem do Matlab, fo ecotrada a segute solução: [ y(,, )] [ y(,, )] 8, var E,84;,;,9,554. A estmatva do desvo-padrão de uma futura resposta é etão gual a ˆ σ,9, 468. Respostas fora do tervalo 8 ± ou 8 ±,4 ˆ σ da méda resultam em produtos fora da especfcação. Como ão se cohece a dstrbução de probabldade da resposta, ão se pode estmar a probabldade de um poto fora da especfcação. Etretato, por eperêca própra e dos usuáros de estatístca aplcada, pode-se afrmar que a probabldade de respostas além de 8 ±,4 ˆ σ é ão desprezível, qualquer que seja a dstrbução de probabldade da resposta a prátca. Portato, há evdêcas de que a solução atual resultara em um processo produtvo de qualdade adequada.