MEDIDAS DE DISPERSÃO:

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1 MEDID DE DIPERÃO: fução dessas meddas é avalar o quato estão dspersos os valores observados uma dstrbução de freqüêca ou de probabldades, ou seja, o grau de afastameto ou de cocetração etre os valores. Como prcpas meddas de dspersão temos: mpltude Total ou Rage de uma dstrbução Desvo Médo bsoluto Varâca Desvo Padrão Varâca Relatva Coefcete de Varação prmera medda ctada, mpltude Total ou Rage, já vmos aterormete e podemos dzer que ão é uma boa medda, pos sedo apeas a dfereça etre o maor e o meor valor observado, ão dá a oção de quato os valores termedáros estão afastados ou cocetrados. Podemos dar um exemplo elemetar dsto. upohamos duas dstrbuções e B: ; 3; 4; 3; 8 > R 8 6 B ; 4; 7; 9; 8 > R B 8 6 mbas as dstrbuções tem a mesma mpltude Total, mas em qual delas a dspersão é maor? Prmeramete vamos ecotrar uma medda de posção que já cohecemos: a Méda B B B B 8 Costrudo uma tabela para cada uma das dstrbuções, vamos crar uma colua para o desvo (ou dstâca) dos valores observados em relação à Méda ( ). Dstrbução Dstrbução B ( ) I ( ) Σ 40 0 Σ 40 0 Vemos etão, que em ambas as dstrbuções, o somatóro dos desvos em relação à méda artmétca é gual a zero. Isto acotecerá em toda e qualquer sére de observações, pos a soma dos desvos em relação à méda artmétca sempre será ula. Como avalar etão a dspersão etre os valores observados? Uma das formas de resolvermos este problema é somado em módulo todos os desvos. Este somatóro, dvddo pelo úmero de observações, os dará a seguda medda ctada o íco, o Desvo Médo bsoluto (DM), que ada mas é do que a méda artmétca dos desvos cosderados em módulos (valor absoluto). ETTÍTIC BÁIC Pedro Bello Pága

2 Teremos etão para as duas dstrbuções: Dstrbução Dstrbução B Σ Σ 40 DM 30 6 DM B 4, 4 Como o Desvo Médo bsoluto da Dstrbução B é meor do que o da Dstrbução, podemos afrmar que a dspersão etre os valores de B é meor. Observação: e tvermos uma dstrbução para dados agrupados teremos de multplcar cada módulo pela respectva freqüêca e dvdr pela soma das freqüêcas. ssm, a fórmula para cálculo do DM será: DM Lembrado ada que, se os dados se apresetarem em tervalos de classe, cosderaremos como o poto médo do tervalo de classe. outra maera de elmarmos o problema do somatóro ulo dos desvos em relação à Méda, é elevado-os ao quadrado. O somatóro destes quadrados dvddo pelo úmero de observações, os dará a tercera medda ctada o íco, a Varâca (absoluta). Teremos etão para as duas dstrbuções: Dstrbução Dstrbução B ( ) ( ) ( 6) 36 ( 6) 36 3 ( ) 4 ( 4) ( 4) ( ) 4 3 () 4 9 () 8 (0) 00 8 (0) 00 Σ 40 0 Σ 40 4 Valores obtdos para as Varâcas ( ): ( ) 0 ( ) 4 40, 4 e 30, 8 B ETTÍTIC BÁIC Pedro Bello Pága

3 Novamete lembramos que, se tvermos uma dstrbução para dados agrupados, teremos de multplcar o quadrado de cada desvo pela respectva freqüêca, dvddo a segur pela soma das freqüêcas e se os dados se apresetarem em tervalos de classe, será o poto médo do tervalo de classe. ssm, a fórmula para cálculo da Varâca será: ( ) Para o exemplo dado, pudemos costatar também pela Varâca, que a dspersão é meor etre os valores da dstrbução B. No exemplo aqu ctado, a Méda é um valor exato e temos apeas valores observados. Em outros casos, será mas trabalhoso calcularmos a Varâca através dessa forma, prcpalmete se a Méda for uma dízma peródca. Por exemplo: se 40/9 4, Neste caso, além de trabalhoso, teremos mprecsão devdo ao ecessáro arredodameto dos valores. outra fórmula para o cálculo da Varâca e bem mas utlzada do que a prmera é: ( ) ( ) para o cálculo da Varâca Populacoal ou: se qusermos calcular a Varâca mostral Observe que, se estvermos trabalhado com uma mostra, basta subtrarmos (grau de lberdade) do deomador da fração /. Esta regra vale também para os cálculos pelo processo ateror, ou seja, se usássemos o processo ateror (somatóro dos quadrados dos desvos) para uma amostra, ao vés de dvdrmos por, dvdremos por, etão: ( ) ou ( ) para dados agrupados No exemplo dado, obteremos para as dstrbuções os mesmos valores de Varâca, tato pela prmera como pela seguda fórmula (mas utlzada). Vamos ovamete costrur as tabelas, crado além da colua dos valores observados ( ) uma colua para os quadrados desses valores a fm de obtermos o somatóro para usar a fórmula: Dstrbução Dstrbução B Σ 40 Σ ETTÍTIC BÁIC Pedro Bello Pága 3

4 Valores obtdos para as Varâcas: 40 ( ) ( 30) 40, 4 ( ) ( ) 30, 8 B Ou seja, os mesmos valores obtdos pela fórmula ateror. Para dados agrupados cosderaremos a freqüêca o cálculo da Varâca e quado os dados se apresetarem em tervalos de classe, será o poto médo do tervalo de classe. Logo, a fórmula será: ( ) ( ) para a Varâca Populacoal e para a Varâca mostral gora, racocado logcamete e observado as fórmulas para cálculo da Varâca, otamos tratar-se de uma soma de quadrados. Portato, se a udade de medda da varável for, por exemplo, metro, teremos como resultado para a Varâca metros quadrados. Para voltarmos à udade orgal, precsamos defr outra medda de dspersão, a mas utlzada das meddas ctadas: o Desvo Padrão, que ada mas é do que a raz quadrada postva da Varâca. ssm, temos: que é o Desvo Padrão para a população e; que é o Desvo Padrão para uma amostra Logo, para ecotrarmos o Desvo Padrão, deveremos prmero calcular o valor da Varâca e depos extrar a raz quadrada postva deste resultado. No exemplo dado, teremos: 40,4 6,36 e 30,8, quta medda de dspersão que veremos é a Varâca Relatva (VR), que é relatva porque leva em cosderação o seu cálculo o quadrado da Méda. Portato, essa varâca será mas dretamete fluecada pelo valor da Méda e em sempre a dstrbução que apreseta a maor (ou meor) Varâca bsoluta, ecessaramete apresetará a maor (ou meor) Varâca Relatva, pos depederá do valor da Méda. Eteda por quê: VR ou seja, é o resultado da dvsão da Varâca pelo quadrado da Méda. No exemplo que demos aqu, as Médas das dstrbuções e B são guas (8), etão se a Varâca de é maor do que a de B, a VR também será maor. No caso VR 40,4/64 0,63 e VR B 30,8/64 0,48 Mas vamos magar outro exemplo: ETTÍTIC BÁIC Pedro Bello Pága 4 B B

5 upohamos agora uma dstrbução Y com Méda 0 e Varâca gual a 6. Varâca Relatva será gual a: 6/00 0,6. upohamos agora uma dstrbução Z com Méda 3 e Varâca gual a 4. Varâca Relatva será gual a: 4/9 0, seguda dstrbução tem uma Varâca bem meor (% da varâca de Y), mas o etato a sua Méda ão é meor a mesma proporção (30% da Méda de Y), estado bem mas próxma da varâca do que a prmera. Logo, embora a seguda dstrbução teha uma Varâca (absoluta) meor, terá uma Varâca Relatva maor. últma medda de dspersão que veremos é o Coefcete de Varação (CV), que ada mas é do que smplesmete o valor postvo da raz quadrada da Varâca Relatva. Logo: CV VR Etão, o CV também pode ser expresso como sedo o resultado da dvsão do Desvo Padrão pela Méda. Vemos que se trata gualmete de uma medda relatva de dspersão, útl para a comparação em termos relatvos do grau de cocetração em toro da méda de séres dsttas. Portato, é uma medda que serve para avalar a homogeedade de séres estatístcas e pode ser expresso a forma utára ou percetual. Exemplo: Numa empresa, o aláro Médo dos homes é de R$ 400,00 com Desvo Padrão de R$ 0,00, equato a Méda do saláro das mulheres é R$ 300,00 com Desvo Padrão de R$ 0,00. Qual dos grupos apreseta a maor dspersão relatva? Podemos otar que, embora haja maor dspersão absoluta para o saláro dos homes, a dspersão relatva será maor para o saláro das mulheres, pos: CV H 0/400 0,37 ou 37,% CV M 0/300 0,40 ou 40% Cosdera-se que um CV superor a 0% dca alto grau de dspersão e coseqüetemete pequea represetatvdade da méda, equato para um CV feror a 0% a méda será tato mas represetatva quato meor for o valor do CV, ou seja, quato meor for o CV mas homogêea será cosderada a sére e quato maor for o CV, mas heterogêea. ETTÍTIC BÁIC Pedro Bello Pága