CAPÍTULO 3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E VARIABILIDADE PPGEP Medidas de Tendência Central Média Aritmética para Dados Agrupados

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1 3.1. Meddas de Tedêca Cetral CAPÍTULO 3 MEDIDA DE TENDÊNCIA CENTRAL E VARIABILIDADE UFRG 1 Há váras meddas de tedêca cetral. Etre elas ctamos a méda artmétca, a medaa, a méda harmôca, etc. Cada uma dessas meddas apreseta vatages e desvatages, e a escolha depede dos objetvos desejados Méda Artmétca Méda Artmétca para Dados Agrupados A méda artmétca, ou smplesmete méda, de um cojuto de valores x 1,..., x é defda como: x x x 1 As letras gregas são usadas para represetar parâmetros populacoas e as letras comus parâmetros amostras. A méda de uma amostra é represetada por e méda de uma população é represetada pela letra grega µ. Exemplo: A méda artmétca de 7,5 7,9 8,1 8, 8,7 é 75, + 79, + 81, + 8, + 87, 808, 5 3 É calculada quado a formação dspoível é o valor médo do tervalo ( ) e a freqüêca do tervalo (f ): f fk f f 1 K K K f 1 K f 1 4

2 Exemplo Méda Artmétca Poderada Para os dados da Tabela.1. resulta: 1,58 1,97 13,45 13,53 13,59 13,61 13,6 13,78 13,97 14,1 14,47 14,51 14,53 14,58 14,65 14,78 14,83 14,97 15,06 15,13 15,17 15,3 15,9 15,37 15,40 15,45 15,51 15,6 15,67 15,73 15,83 15,98 16,01 16,11 16,17 16,3 16,35 16,43 16,49 16,5 16,67 16,83 16,97 17,05 17,13 17, 17,3 17,48 17,8 18,47 Itervalos de classe 3( 13) + 8( 14) + 15( 15) + 13( 16) + 9( 17) + ( 18) 15, Freqüêca absoluta 1,50 a 13, ,51 a 14, ,51 a 15, ,51 a 16, ,51 a 17, ,51 a 18,50 5 Algumas vezes assoca-se a cada observação um peso W, ode esse peso represeta a mportâca atrbuída a cada observação. Nesse caso a méda poderada é calculada como: w x wx wx w w w 1 Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de três provas ode as duas prmeras tem peso 1 e a tercera tem peso. Um caddato com otas e 90 terá méda fal: 170 ( ) ( ) + 90 ( ) 81, Medaa Moda Dado um cojuto de valores em ordem crescete, a medaa é defda como: e é mpar, o valor cetral; e é par, a méda smples dos dos valores cetras. Exemplos Exemplo 1: Na amostra a medaa é Exemplo : Na amostra a medaa é ~ ( ) x 74,5 ~ x 6 7 A moda é o valor que ocorre com maor freqüêca, ou seja, é o valor mas comum. Exemplos Exemplo 1: A amostra tem moda 6. Exemplo : A amostra tem moda 73 e 77. Nota: A moda pode ser múltpla ou pode ão exstr. 8

3 Relações Empírcas etre Méda, Moda e Medaa Relações Empírcas etre Méda, Moda e Medaa Para dstrbuções smétrcas a méda, a medaa e a moda cocdem aproxmadamete. Para dstrbuções assmétrcas observa-se o segute: 9 Exemplo A relação etre méda e medaa para as amostras a segur é A Dstrbução smétrca x 14 ~ x 14 B Dstrbução assmétrca à dreta x 15 > ~ x 14 C Dstrbução assmétrca à esquerda x 13 < ~ x Méda Geométrca (G) Méda Harmôca (H) É a raz de ordem do produto dos valores da amostra: G 1... Exemplo A méda geométrca de é: 3 G , É o verso da méda artmétca dos versos das observações. Exemplo 1 H A méda harmôca de é: 3 H 13,

4 Relação etre Méda Artmétca, Geométrca e Harmôca: A méda geométrca e a méda harmôca são meores, ou o máxmo gual, à méda artmétca (ver eq. 3.11). A gualdade só ocorre o caso em que todos os valores da amostra são dêtcos. Quato maor a varabldade, maor será a dfereça etre as médas harmôca e geométrca e a méda artmétca. Exemplo: Para a amostra tem-se H 13,81 < G 13,90 < H G 14,00 13 e um cojuto de dados é orgazado em ordem crescete, o valor cetral é a medaa. Valores que dvdem o cojuto em quatro partes guas são represetados por Q 1, Q, Q 3 e deomam-se prmero, segudo e tercero quarts, respectvamete. O segudo quartl (Q ) é a medaa. O prmero e o tercero quarts são calculados usadose o segute procedmeto: 14 (1) partdo de uma amostra de tamaho, colocar os valores em ordem crescete e detfcar a ordem (1,, 3,, ) e o percetl p() (-0,5)/ assocado a cada valor. () detfcar os valores assocados aos percets medatamete acma e abaxo de 0,5; esses valores são chamados respectvamete de x(f), assocado ao percetl p(f), e x(sup), assocado ao percetl p(sup). (3) e etão calcular o prmero quartl usado: [ p(sup) 0,5] x(f) + [0,5 p(f)] x(sup) Q1 p(sup) p(f) 15 (4) smlarmete, para o tercero quartl, detfca-se os valores assocados aos percets medatamete acma e abaxo de 0,75; esses valores são chamados respectvamete de x(f), assocado ao percetl p(f), e x(sup), assocado ao percetl p(sup). E etão calcula-se o tercero quartl usado: Q 3 [p(sup) 0,75] x(f) + [0,75 p(f)] x(sup) p(sup) p(f) 16

5 Exemplo: Para a amostra a segur calcular o prmero e tercero quarts: 13,3 13,5 17, 13,8 1,3 1,7 13,0 14,5 14,9 15,8 13,1 13,3 14,1 x() p() (-0,5)/ 1,3 1 0,038 1,7 0,115 13,0 3 0,19 13,1 4 0,69 13,3 5 0,346 13,3 6 0,43 13,5 7 0,500 13,8 8 0,577 14,1 9 0,654 14,5 10 0,731 14,9 11 0,808 15,8 1 0,885 17, 13 0,96 17 () valores medatamete acma e abaxo de 0,5: x(f) 13,0 e x(sup) 13,1 assocados com p(f) 0,19 e p(sup) 0,69 [0,69 0,5] (13,0) + [0,5 0,19] 13,1 Q1 13,08 0,69 0,19 (4) valores medatamete acma e abaxo de 0,75: x(f) 14,5 e x(sup) 14,9 assocados com p(f) 0,731 e p(sup) 0,808 [0,808 0,75] (14,5) + [0,75 0,731] 14,9 Q3 14,60 0,808 0, Meddas de Varabldade Ampltude Total Ivaravelmete as observações dvduas rão apresetar alguma dspersão em toro do valor médo. Isso é chamado de varabldade ou dspersão dos dados. Há mutas meddas de varabldade, como por exemplo, a ampltude total, o desvo padrão ou a dstâca ter-quartílca. 19 A ampltude total é defda como a dfereça etre o maor e o meor valor das observações. Exemplo : 8,5 8,7 8,9 10,1 10,5 10,7 11,5 11,9 A ampltude é: R 11,9-8,5 3,4 A ampltude é fácl de calcular e forece uma déa da magtude da faxa de varação dos dados. Não forma a respeto da dspersão dos valores que caem etre os dos extremos. Quado < 10 pode resultar em uma medda de varação bastate satsfatóra. 0

6 3... Desvo Padrão 3... Desvo Padrão Para uma amostra de observações, x 1,..., x, o desvo padrão é defdo como: ( ) x x amostra pequea ( < 30) 1 A vatagem do desvo padrão é que trata-se de uma medda de varabldade que leva em cota toda a formação cotda a amostra. A desvatagem é que seu cálculo é mas trabalhoso. Quado a amostra é grade ( > 30) ou quado tratase da população usa-se o deomador. O desvo-padrão de uma população é represetado por σ. 1 Exemplo: para a amostra A méda é x 14 e o desvo-padrão é calculado : Os desvos de cada valor em relação à méda totalzam zero pos a méda é o valor cetral: (10 14) + (1 14) + (14 14) + (16 14) + (18 14) 1 3, Varâca Ampltude Iter-quartílca A varâca é defda como o quadrado do desvo padrão. ( x x) x [( x ) 1 1 / ] A varâca de uma população é represetada pela letra grega σ. A varâca é o quadrado do desvo padrão, ou seja, σ σ 3,16 9,98 3 É defda como a ampltude do tervalo etre o prmero e o tercero quarts, ou seja: Q Q Q 3 1 As vezes também é usada a sem-ampltude terquartílca, que é a metade da ateror. Trata-se de uma medda de varabldade bastate robusta, que é pouco afetada pela preseça de dados atípcos. A ampltude ter-quartílca guarda a segute relação aproxmada com o desvo padrão: Q (4/3) x desvo padrão 4

7 3..5. Coefcete de Varação Coefcete de Varação É defdo como o quocete etre o desvo padrão e a méda e, em geral, é expresso em percetual. CV 100 O coefcete de varação é uma medda admesoal, útl para comparar resultados de amostras cujas udades podem ser dferetes. Uma desvatagem do coefcete de varação é que ele dexa de ser útl quado a méda é próxma de zero. 5 EEMPLO: O resultado de dos grupos obtveram os segutes resultados: Grupo 1: Méda,49 mm, Desvo Padrão0,1 mm Grupo : Méda3,75 cm, Desvo Padrão0,15 cm Qual dos dos grupos é relatvamete mas precso? CV10,1/,49*100 4,8% CV0,15/3,75*100 4,0% O segudo é mas precso Varável Reduzda ou Padrozada Z Ela mede a magtude do desvo em relação à méda, em udades do desvo padrão. Z 1,5 sgfca uma observação desvada 1,5 desvos padrão para cma da méda. A varável reduzda é muto útl para comparar dstrbuções e detectar dados atípcos. Dados são cosderados atípcos quado Z > 3. 7 Exemplo: O egehero está aalsado as espessuras de peças fabrcadas em duas máquas de corte. O operador medu uma peça da máq. A com espessura de 90 mm e outra peça da máq. B com espessura de 100 mm. O egehero deve cosderar esses dados reas ou atípcos? A máq. A possu méda 51mm e desvo-padrão de 1mm. Máq.. A Z Z , ,75 16 Como Z > 3 é dado atípco A máq. B possu méda 7mm e desvo-padrão de 16mm. Máq.. B Como Z < 3 ão é dado atípco 8

8 Exemplo: upodo que 51 fosse a méda em uma prova de glês, ode o desvo padrão é 1, para um caddato que obtvesse 90 acertos tem-se: Z 3,5 1 Coclu-se que a prova de glês este caddato está 3,5 desvos-padrão acma da méda Para os dados do exercíco.1, calcule a méda artmétca e a medaa e verfque a relação méda > medaa, válda para dstrbuções assmétrcas à dreta. 3.. Ada em relação aos dados do exercíco.1, calcule a méda artmétca usado a fórmula para dados agrupados e a tabela de freqüêca que você costruu Para os dados do exercíco.3., calcule a méda e a medaa e verfque a relação méda medaa para dstrbuções smétrcas A partr dos dados do exercíco.6., use a fórmula para o cálculo da méda de dados agrupados e calcule a méda para: 1: Característca dmesoal de uma peça; : Tempo de uso (horas/semaa) de um produto; 3: Tempo até a falha de um produto As amostras a segur represetam valores de rugosdade meddos sobre superfíce de peças produzdas por três máquas dferetes. M A 0, 4,7 5,7 1,7 19,,3 3,0 3,1 1,3 6,8 0,7 3,6 5,4 4,6,5 M B 1,3,7,5 3,8 0,4 3,3 3,7 3,4 5,5,4 3,1 1,7 4,3 4,7, M C,1 4,4 4,0 1,5 3,,0 5,4 7,8 3,5 3,0 0,6 3,6,5,8 1,4 Para cada máqua, calcule a ampltude total, o desvo padrão e a ampltude ter-quartílca. Após, coclua a respeto de dfereças de varabldade etre essas máquas. 3

9 3.6. Calcule o valor da varável reduzda Z para os potos extremos das amostras que aparecem o exercíco ateror. Após dque se há evdêca de dados atípcos em alguma dessas amostras (obs: para 15, um valor de Z >,5 já sera evdêca de dado atípco) Caso haja dícos de dados atípcos, elme esse resultado e refaça os cálculos da ampltude total, desvo padrão e ampltude ter-quartílca para a amostra correspodete. e ecessáro, revse as coclusões do exercíco Para a amostra a segur, calcule a méda, o desvo padrão e o coefcete de varação. Calcule também os valores de Z para cada observação. Aalse os valores de Z e dque se a amostra vem de uma população com dstrbução smétrca, assmétrca à dreta ou assmétrca à esquerda. Tempos de uso (horas/semaa) de um produto 4,5 7,0 9, Idem ao ateror Tempos de uso (horas/semaa) de um produto cocorrete: 0, 0, 0,3 0,4 0,6 0,6 0,8 1,0 1,0 1, 1, 1,3 1,4 1,5 1,5 1,7 1,8,0,,5,5,7 3,3 3,5 3,8 4,3 5,1 1,0 1, 15,0 35