? Isso é, d i= ( x i. . Percebeu que

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1 Estatístca - Desvo Padrão e Varâca Preparado pelo Prof. Atoo Sales,00 Supoha que tehamos acompahado as otas de quatro aluos, com méda 6,0. Aluo A: 4,0; 6,0; 8,0; méda 6,0 Aluo B:,0; 8,0; 8,0; méda 6,0 Aluo C: 5,0; 6,0;,0; méda 6,0 Aluo D: 1,0; 8,0; 9,0; méda 6,0 Verfquemos agora os desvos de cada ota desses aluos em relação à meda. É fácl observar que há otas abaxo da méda e há otas acma da méda. Dessa forma temos: Aluo A: Prmera ota: 4,0 fazedo 4-6=- percebemos que 4 está potos abaxo da méda, porque deve um desvo de - em relação à méda.. Seguda ota: 6,0 fazedo 6-6=0, desvo zero em relação à méda. Tercera ota: 8,0 fazedo 8-6=, está cma da méda porque tem desvo postvo em relação à méda. Agora some os três desvos: -+0+=0 A soma dos desvos sempre será gual a zero *. Faça o mesmo com as otas dos aluos B, C e D. Observe que os aluos B e D ão têm ehuma ota com desvo zero mas, mesmo assm, a soma dos desvos será zero. Você percebeu que troduzmos aqu um coceto ovo, o coceto de desvo em relação à méda que se dca por d ou ( x x)? Isso é, d = ( x x). Percebeu que d 0 ou, se desejar, ( x x) 0? Volte a olhar as otas dos três aluos. Qual deles tem maores desvos em relação à méda? Qual deles tem as otas mas homogêeas, sto é, mas próxmas etre s? As otas do aluo C parecem estar detro de um padrão, sto é, ão estão muto dstates da méda. Os seus desvos são pequeos. Será que a ota,0 do aluo B está detro de algum padrão esperado ou está fora dos padrões? Alás, será que exste um padrão para os desvos em relação à méda ou qualquer desvo será cosderado ormal? Exste sm um padrão, um tervalo de ormaldade ou zoa de ormaldade. Os valores que se afastarem desse tervalo estão fora dos padrões, sto é, estão muto baxo ou muto acma do esperado. São valores que despertam a ateção e requerem cudados especas. Por que o aluo B trou,0 e depos pulou para 8,0? Isso ão desperta a ateção? O que dzer das otas do aluo D? É para aalsar essas questões que exste o DESVIO PADRÃO. O desvo padrão é a medda mas usada a comparação etre grupo, por ser a mas precsa. Ele determa a dspersão dos valores em relação à méda (NAZARETH, 199,p.114). Poderíamos acrescetar que o desvo padrão determa a dspersão acetável em relação à méda. * Quado ocorrem arredodametos, se ão forem fetas compesações, pode acotecer da soma dos desvos ser dferete de zero, porém sempre será um úmero próxmo de zero. De qualquer forma cosdera-se essa soma como sedo zero tedo em vsta que a dfereça ocorre devdo aos arredodametos. De uma dstrbução ormal (umodal, smétrca, de afulameto médo) podemos dzer o segute: 68% dos valores ecotram-se a uma dstâca da méda feror ao desvo padrão da méda. 95% dos valores ecotram-se a uma dstâca da méda feror a duas vezes o desvo padrão da méda.

2 Aqu vão duas fórmulas para calcular o desvo padrão. O uso de uma ou de outra é optatvo, mas a seguda é cosderada mas precsa por ão ecesstar do uso de mutos arredodametos. a) f ( d ) f ( x s s x) ode = f b) s ( f ( ) x ) f x Obs.Desvo Padrão defe um tervalo ou zoa de ormaldade. Exemplo: Um fsoterapeuta observou que, em sua Clíca, os pacetes portadores de certa patologa, eram recuperados com um determado úmero de sessões. Es o úmero de sessões em 16 pacetes:,, 3, 8, 5, 0, 35,, 9, 4, 31, 3, 3, 5, 30, 1. Ele deseja saber o tervalo de ormaldade do úmero de sessões para o tratameto dessa patologa. Não esqueça de orgazar os dados (fazer o rol) ates de prossegur. Resolução: 1. Rol: 0, 1,, 3, 3, 4, 5, 5,,, 8, 9, 30, 31, 3, 35.. Podemos motar uma dstrbução de freqüêca com tervalo h=4. a) Pela prmera fórmula: Nº de seções x f fx d=x- x (d) f(d) 1 0 I I I I f=16 fx=48 f(d) =64 Méda=48/16=6,5 ou 64 Desvo padrão: s= 16, A zoa de ormaldade é de 3 a 31 ( -4 a +4), sto é, x s até x s São cosderados ormas os tratametos que duram de 3 a 31 sessões. b) pela seguda fórmula Nº de seções x f fx (x) f(x) 1 0 I I I ,% dos valores ecotram-se a uma dstâca da méda feror a três vezes o desvo padrão da méda. Esta fórmula ormalmete é usada para o desvo padrão da população. Desvo padrão populacoal é detfcado pela letra grega. Para o desvo padrão amostral substtu-se o por -1 e é detfcado pela letra s. Como há autores que usam a fórmula acma dsttamete, estamos usado também, durate o processo de apredzagem. Quado se faz -1 se está trabalhado com o grau de lberdade (gl). Nesse caso, a fórmula correta sera: s f ( d ) 1 s f ( x 1 x) 4

3 4 3 I f=16 fx=48 f(x) =111 Méda: 6,5 (méda) = Desvo padrão: s Quato meor o desvo padrão, meor a dspersão etre os dados ou da seqüêca estatístca. VARIÂNCIA. Uma medda de dspersão amplamete usada é a varâca, que é o quadrado do desvo padrão. Exemplo: Seja a seqüêca ou cojuto D={5,6,6,,8,8,9} 1x5 x6 1x x8 1x x = (5 ) (6 ) (6 ) ( ) (8 ) (8 ) V= ( ) ( 1) ( 1) V= V= 1, 1 Em fórmulas: (9 ) ) ( x V= x s ou s [ f ( ) ] = x fx É usada para medr a dspersão dos valores da varável em relação à méda. Uma varâca grade dca grade dspersão e uma varâca pequea dca pouca dspersão. É uma medda muto sesível ao grau de varação da seqüêca estatístca, em relação à méda. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO s CV=. 100, ode s é o desvo padrão. x Exemplo: o caso do problema ateror, qual o coefcete de varação o úmero de sessões? Quato meor for o valor do CV, mas homogêea será o cojuto de dados. O coefcete de varação relacoa o desvo padrão com a méda e ormalmete cosdera-se: a) 0<CV<10 como ótmo, sto é, cosdera-se que a méda é represetatva, ão há dspersão ou que os dados são homogêeos. 5

4 b) 10 CV<0 como bom e, esse caso, cosdera-se ada que a méda é represetatva, que há pouca dspersão. c) 0 CV<30 como regular, sedo que a méda já NÃO é mas represetatva, que a dspersão é cosderável, sto é, relatvamete alta. d) CV 30 como péssmo e a méda também NÃO é represetatva. O cojuto de dados tem uma dspersão muto grade. DISPERSÃO OU VARIABILIDADE O dcoáro tem as segutes defções: Dspersão, s.f. Separação de pessoas ou cosas em dferetes setdos. Dsperso, adj. Espalhado; separado; desordeado; posto em debadada. Varabldade, s.f. Qualdade do que é varável; volubldade; costâca. Varado, adj. Váro; dverso,.... Em Estatístca usa-se dspersão e varabldade como sômos e referem-se ao afastameto de uma varável em relação à méda. Exemplos: a) A seqüêca:,,,,,, tem méda e a dspersão ou afastameto de qualquer valor em relação à méda é zero. Portato, esta seqüêca tem dspersão ula. Dz-se também que ela é homogêea. b) A seqüêca: 6,,8, tem méda mas a dspersão ou afastameto de qualquer valor em relação à méda já ão é mas, ecessaramete, zero. Portato, esta seqüêca tem dspersão ão ula e já ão se pode dzer que seja homogêea, embora possa ser mas homogêea ou possur meor varabldade do que a próxma. c) A seqüêca: 1,,13, tem méda mas a dspersão ou afastameto de qualquer valor em relação à méda já ão é mas, ecessaramete, zero e é maor do que a seqüêca ateror. Portato, esta seqüêca também tem dspersão ão ula e é meos homogêea ou possu maor varabldade do que a ateror. 1. O que dzer da seqüêca 0,, 14?. Verfque a ampltude total em todos os casos aterores e compare as dfereças etre elas. 3. Verfque o desvo padrão de todos os casos aterores e compare as dfereças etre eles. 4. Verfque o coefcete de varação de todos os casos aterores e compare as dfereças etre eles. 5. Verfque a varâca de todos os casos aterores e compare as dfereças etre elas. O desvo em relação à méda, o desvo padrão, o coefcete de varação e a ampltude total (AT) são meddas de dspersão ou varabldade. Sedo que a AT é a mas frágl de todas. Atvdade (os dados são fctícos)* : 1.Costrua a tabela cotedo: tervalos de classe de 5 taxas, freqüêca smples, freqüêca relatva, classe modal, classe medaa e a méda, o desvo padrão e o tervalo de ormaldade, usado os valores obtdos a determação da taxa de colesterol em um grupo de 50 pacetes(mg/dl).. 154, 155, 156, 15, 158, 158, 159, 159, 159, 159, 160, 160, 160, 161, 161, 161, 16, 16, 16, 164, 164, 164, 164, 164, 164, 165, 165, 165, 165, 165, 166, 166, 166, 16, 16, 168, 168, 168, 169, 169, 10, 10, 11, 1, 1, 13, 13, 14, 16, 1. 6

5 . A tabela abaxo represeta o peso das craças que compareceram ao cosultóro de um pedatra um determado da. 14,1,11,13,14,13,1,14,13,14,11,1,1,14,10,13,15,11,15,13,16,1,14,14 Forme uma dstrbução de freqüêca sem tervalos de classe. Determe méda, moda, medaa, desvo padrão e tervalo de ormaldade. Aplque o teste do coefcete de varação e verfque se a méda é represetatva ou ão. 3 Taxa de glcose saguíea dos aluos da turma C de Efermagem, em 0/11/06-8h da mahã. ( dados reas) Idetfcação do (a) acadêmco(a) A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Sexo F F F M M F F F F F F F F F F F F F F F F F F Mg/dl de glcose *Não precsa ser etregue. É apeas uma revsão. Trabalhar com uma casa decmal e, os resultados fas, arredodar para o tero mas próxmo. BUENO, Fracsco da Slvera. Dcoáro Escolar da Lígua Portuguesa. 11.ed. Ro de Jaero:MEC/FNME, 198 NAZARETH, Helealda. Curso Básco de Estatístca. São Paulo: Átca, 199. Outras fotes de cosulta: CRESPO, Atoo Arot. Estatístca Fácl. 14.ed. São Paulo: Sarava,1996. LEVIN, J., FOX, J.A. Estatístca para Cêcas Humaas. 9.ed. São Paulo: Pretce Hall, 004. Respostas 1. Classes Itervalos x f fx (x) f(x) fr F 1 154I , ,0 449, ,50 0, I , ,5 608, ,5 0, I , ,5,5 56,5 0, I , ,5 941,5 6410,5 0, I ,5 3 59,5 3115, ,5 0, , ,50 1,00 Classe modal: 3 Classe medaa: A medaa (que é 5) está a classe 3 Méda: 165,5 Desvo padrão: 5,9 ou 5,3 Itervalo de ormaldade: 160, (ou 160) a 10,8 (ou 11). Fazedo o rol e depos a dstrbução de freqüêca 10,11,11,11, 1, 1, 1,1, 13, 13, 13, 13, 13,14, 14, 14, 14, 14, 14,14,15,15, 16,1, x f F fx (x) f(x)

6 Méda: 13, Kg Moda: 14 Kg Medaa: 13 Kg Desvo Padrão= 1,63 Itervalo de ormaldade: 11,5 a 14,83 CV= 1,3% Não é uma alta dspersão e a méda é represetatva. 8