Descritiva. Francisco Cysneiros DE - UFPE

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1 Noções de Estatístca Descrtva Dr. Fracsco Cyseros Profº. Adjuto do Departameto de Estatístca-CCEN/UFPE E-mal: web-page: Foe: (8) 6 74 Fracsco Cyseros DE - UFPE

2 Recursos Computacoas Ecel MINITAB R (software gratuto SAS Splus SPSS Verfque se a Ferrameta de Aálse está stalada. Fracsco Cyseros DE - UFPE

3 Para que cohecer a Estatístca? Para saber como apresetar e descrever formações de maera adequada; Para saber trar coclusões para população a partr de uma amostra; Para obter prevsões. Fracsco Cyseros DE - UFPE 3

4 Estatístca em Pesqusa de Mercado Qual o tpo de embalagem preferda para o produto y? Qual o ível de rejeção do caddato? Qual a marca de carro mas cohecda? Qual empresa de telefoa mas usada? Fracsco Cyseros DE - UFPE 4

5 Estatístca tí t em Ecooma Prevsão de flação Mudaça as eportações Dstrbução de reda Evolução do preço de uma ação. Como avalar se uma opção está cara ou barata. Eercíco : Descreva Estatístca em Farmáca Fracsco Cyseros DE - UFPE 5

6 Estatístca Descrtva Aálse Prelmar: Costrução de Tabelas e Gráfcos para uma Varável Meddas-Resumo: Posção e Dspersão Coclusões Específcas ao Cojuto de Dados Fracsco Cyseros DE - UFPE 6

7 Teora das Probabldades bld d Modelo matemátco para estudar stuações de certeza Cohecemos tato a dstrbução dos dados como parâmetros População Possível fazer geeralzações Fracsco Cyseros DE - UFPE 7

8 Tabela. Iformações sobre 36 fucoáro de um empresa fctíca Fote : lvro teto Fracsco Cyseros DE - UFPE 8

9 Tabela. Plalha Ecel 3 C E.F. 5, C 4 S E.M. - 5, O 5 S E.F. - 6, O 6 C E.F. 0 6, I 7 S E.F. - 6, I 8 S E.F. - 7, C 9 C E.M. 7, C 0 S EM E.M , O C E.M. 8, 33 6 I S E.F. - 8,46 7 C 3 S E.M. - 8, O 4 C E.F. 3 8,95 44 O 5 C E.M. 0 9, I 6 S E.M. - 9, O 7 C E.M. 9, C 8 C E.F. 9, O 9 S S - 0, I 0 S E.M. - 0, I C E.M., O S E.M. -,59 34 C 3 S E.F. -, O 4 C S 0,79 6 O 5 C E.M. 3,3 3 5 I 6 C E.M. 3, O 7 S EF E.F. - 3, O 8 C E.M. 0 4, I 9 C E.M. 5 4, I 30 C E.M. 5, C 3 S S - 6, 3 5 O 3 C E.M. 6, I 33 C S 3 7, C 34 S S - 8, C 35 C E.M. 9,40 48 C 36 C S 3 3,30 4 I Fracsco Cyseros DE - UFPE 9

10 Tabela 3. Plalha em R Fracsco Cyseros DE - UFPE 0

11 Tpo de Varáves (revsão) Classfcação das varáves pela sua atureza: Qualtatva Quattatva Fracsco Cyseros DE - UFPE

12 Tpo de Varáves (revsão) Qualtatva (categórca) Os dados qualtatvos podem ser meddos em duas escalas: Escala Nomal Escala Ordal Fracsco Cyseros DE - UFPE

13 Escala Nomal Freqüetemete, relacoa a ausêca ou preseça de um atrbuto t (ão este ordeação etre as categoras) Eemplos :Seo (Masculo / Femo), Estado Cvl (Casado / Soltero) Algus casos requerem mas de duas categoras. Eemplos : Estado cvl :casado / soltero /dvorcado / vúvo / separado Regão de procedêca : Iteror / Captal / Outro Fracsco Cyseros DE - UFPE 3

14 Escala Ordal Este tpo é mas usado quado os dvíduos são detfcados como dferetes e também são colocados em uma ordem em relação aos outros. Eemplos são: Comportameto em relação ao fumo: ão fumate / e-fumate / fumate leve / fumate alterado. Grau de strução: eso fudametal/ eso médo / superor Fracsco Cyseros DE - UFPE 4

15 Tpo de Varáves (revsão) Quattatva Os dados quattatvos podem ser ada subdvddos em dos tpos: Dscretos Cotíuos Fracsco Cyseros DE - UFPE 5

16 Dados Dscretos Surgem quado as observações em questão podem assumr apeas algus valores umércos assocados ao cojuto dos úmeros teros ou eumerável. Eemplos: Número de flhos: 0,,,... Número de letos em um hosptal: 0,,,... Fracsco Cyseros DE - UFPE 6

17 Dados Cotíuos Surgem quado a observação em questão assume valores em tervalos da reta (mesuráves). Eemplo: Peso Altura Taa de batmeto cardíaco. Idade Fracsco Cyseros DE - UFPE 7

18 Estatístca Descrtva Como sumarzar dados - métodos gráfcos Dstrbução de freqüêca Dstrbução acumulada Fracsco Cyseros DE - UFPE 8

19 Dstrbução de Freqüêca Estado Cvl Tabela 4. Dstrbução b de Frequêca da varável Estado Cvl l Estado Frequêca Frequêca Percetagem Frequêca Absoluta Relatva (f) (00f) Acumulada Cvl () (00f) Casado 6 0,44 44,44 6 Soltero 0 0,56 55, total 36,00 00,00 - Fracsco Cyseros DE - UFPE 9

20 Gáf Gráfco de Barras Fgura - Gráfco de Barras para Frequêca do Estado Cívl 0 Frequ uêca Soltero Casado Estado Cívl > barplot(table(dados$est_civ), lab"estado Cívl", ylab"freqüêca", + ma"gráfco de Barras para Freqüêca do Estado Cívl",col"darkgree") >able(0,0) 0) Fracsco Cyseros DE - UFPE 0

21 Gráfco em Setores Escolardade d Fgura. Gráfco de Setores para Escolardade Eso Fudametal Eso Médo Superor > pe(table(dados$instruc), labelslevels(dados$instruc), ma"gráfco de Setores + para Escolardade", colc("darkgree","grey","blue") Fracsco Cyseros DE - UFPE

22 Dstrbução de Frequêca Escolardade Fgura 3. Gráfco de Barras para Frequêca da Escolardade 0 5 Freq ueca 0 5 Eso Fudametal Eso Médo Superor Escolardade > barplot(table(dados$instruc), ma"gráfco de Barras para Frequêca da + Escolardade", lab"escolardade", ylab"frequeca, col darkgree ) > able(0,0) Fracsco Cyseros DE - UFPE

23 Dstrbução de Frequêca para Varável Cotíua Dvdr os dados em classes; Ampltude guas; Cotar quatas observações em cada classe - frequêca absoluta; Dvdr pelo úmero total de observações - frequêca relatva; Fracsco Cyseros DE - UFPE 3

24 Como Determar o Tamaho das Classes Mámo 3,30 Mímo 4,0 Ampltude de varação ma m 3,30 4,0 0 Número de classes 5,6 ou 7 Escolhdo 5 classes Ampltude das classes 0/54 Fracsco Cyseros DE - UFPE 4

25 Como Defr a Classe Para ão haver superposção usar tervalos [a,b) obs. Últma classe Lmte SUP > Mámo Fracsco Cyseros DE - UFPE 5

26 Tabela de Frequêca Tabela 5. Dstrbução de frequêca para varável Saláro Frequêca Poto Frequêca Percetagem Frequêca Classes Absoluta médo Relatva (f) (00f) Acumulada () (s) (Fac) /36 7,78% /36 33,33% /36,% /36 3,89% /36 78%,78% 36 Total ,00 00,00% - Fracsco Cyseros DE - UFPE 6

27 Represetatvo da Classe Hpótese - dados gualmete dstrbuídos s- poto médo do tervalo. Fracsco Cyseros DE - UFPE 7

28 Fgura 4. Hstograma para varável saláro 0 Freq queca classes Fracsco Cyseros DE - UFPE 8

29 Agrupameto de Dados Perda da formação orgal E se classes tem tamaho dferete defr o hstograma pela desdade. Não apresetar classes com frequeca ula Fracsco Cyseros DE - UFPE 9

30 Perda de Iformação - Ramos e Folha > stem(dados$salario,scale) Fgura 5. Ramo e Folha para varável Reda The decmal pot s at the Fracsco Cyseros DE - UFPE

31 Fgura 6. DotPlot da varável saláro Fracsco Cyseros DE - UFPE 3

32 Hstograma da Percetagem Acumulatva Fgura 7. Hstograma da varável saláro Perceta agem ac cumulada a Classes 0 4 Fracsco Cyseros DE - UFPE 3

33 Classes de Tamaho Dferete - Desdade Tabela 6. Dstrbução de freqüêca de classes desguas Empregados Freqüêca Ampltude A Desdade N/A Proporção f Desdade F/A ,50 0,0 0, ,00 0,08 0, ,50 0,4 0, ,00 0,6 0, ,50 0,0 0, ,50 0, 0, ,00 0,08 0, ,50 0,08 0, ,38 0,06 0, ,9 0,06 0,0008 TOTAL ,00 - Fote: Lvro teto 50 empresas classfcado segudo o úmero de empregados Fracsco Cyseros DE - UFPE 33

34 Hstograma para classes dferetes Fgura 8. Hstograma de 50 empresas Desdade 0,60 6% 0,40 4% 0,0 0,00 0,080 0,060 0,040 0,00 0% 8% % 8% % 8% 6% 6% Fracsco Cyseros DE - UFPE Nº de empregados 34

35 Meddas Resumo : Posção e Dspersão Meddas de Posção: MÉDIA ARITMÉTICA - méda de todas as observações. MEDIANA - o valor de dea 50% dos potos abao e acma. MODA - valor mas freqüete. P-ÉSIMO PERCENTIL - o valor que dea p% abao. QUARTIS - os valores que deam 5% (Q), 50% (Q) e 75% (Q3) dos potos abao. Fracsco Cyseros DE - UFPE 35

36 Méda Artmétca Dados Não Agrupados Para dados ão agrupados o cálculo é feto por As observações têm gual peso. É uma medda de posção ótma se a fução perda for méda dos desvos ao quadrado. Fracsco Cyseros DE - UFPE 36

37 Méda Artmétca Dados Agrupados Agora em vez de observações (dsttas ou ão) temos para, para,..., k para k, sto é os dados estão agrupados. O cálculo é feto por k k k Fracsco Cyseros DE - UFPE 37

38 Méda Artmétca Dados Agrupados Como a freqüêca relatva para a observação é dada por, temos etão f k k k f é substtuído pelo poto médo ( s ) Fracsco Cyseros DE - UFPE 38

39 Saláro Médo Usado os dados desagregados temos que o saláro médo é dado por: 4, , L + 3, , 40 36, Fracsco Cyseros DE - UFPE 39

40 Saláro Médo A méda pode ser calculada o Ecel de duas formas: sum(dados!e3:e38)/cout(dados!e3:e38) soma(dados!e3:e38)/cot.úm(dados!e3:e38) ( ) Average(dados!E3:E38) méda(dados!e3:e38) d E38) Ou o R > c(4.00,...,3.30) > mea() Fracsco Cyseros DE - UFPE 40

41 Saláro Médo Dados Agrupados Usado os dados agrupados em classes de tamaho 4 (quatro) temos que o saláro médo é dado d por: 6 * * + 4 * * 5 + * 36 6* 0, * 0, * 0, + 8* 089, + * 0, 078, Fracsco Cyseros DE - UFPE 4

42 Medaa Ordee os dados em forma crescete; Se o úmero de observações for ímpar a [ ] medaa será: + ode represeta o maor tero cotdo. por eemplo 5 [ ] Se o úmero de observações for par a medaa será a méda artmétca dos potos [ ] + e [ ] Fracsco Cyseros DE - UFPE 4

43 Saláro Medao Para ordear os dados de forma crescete podemos usar o comado do Ecel, após marcar as células DATA SORT - ASCENDING DADOS CLASSIFICAR - CRESCENTE Como 36, temos que o saláro medao será a méda artmétca de 8 9, 80 e 0, 53 que dá 0,7. 9 Este cálculo pode ser feto dretamete usado o comado do Ecel MEDIAN(DADOS!E3:E38) MED(DADOS!E3:E38) Ou o R: > meda(dados$salario, a.rmtrue) Fracsco Cyseros DE - UFPE 43

44 Moda A Moda é o valor mas freqüete. No Ecel esta medda de posção é obtda usado o segute comado: MODE(DADOS!E3:E38) MODO(DADOS!E3:E38) Na tabela para os dados de saláros como ão há valor repetdo o Ecel retorará um erro #N/A #N/D Podemos ter stuações em que os dados têm mas de uma moda. O Ecel retorará uma das modas. Fracsco Cyseros DE - UFPE 44

45 Percetl Ordee os dados de forma crescete deotado do por Calcule o ídce 0, 5 p ode é o úmero de observações e,..., Fracsco Cyseros DE - UFPE 45

46 Percetl Defa o p-ésmo percetl por: q ( p) ( ) ( ) ( ) ( ) se p p 0,5 36,,L, q p + q p + se p < p < p + f f p se se p < p p > p Ode, f p p + p p Fracsco Cyseros DE - UFPE 46

47 Percetl dos Saláros Fracsco Cyseros DE - UFPE 47

48 Percetl usado o Ecel No Ecel esta medda de posção é obtda usado o segute comado: PERCENTILE(DADOS!E3:E38,k) PERCENTIL(DADOS!E3:E38,k) Ode k 0,;0,...;0,9 No R quatle(,k) Fracsco Cyseros DE - UFPE 48

49 Quarts Amostra ordeada 5% meores observações 50% - observações cetras 5% maores observações Q : prmero quartl Q M d Q Q 3 Q : segudo quartl (medaa) Q 3 : tercero quartl Fracsco Cyseros DE - UFPE 49

50 Decs Amostra ordeada 0% meores observações 50% - observações cetras 90% maores observações D D5M d Q D 9 D : prmero decl D 5 : 5º. decl (medaa) D 9 : 9º. decl Fracsco Cyseros DE - UFPE 50

51 Percetl usado o Ecel Percetl Valor-Ecel Valor empírco 0% 5,9950 5,7830 0% 7,3900 7,30 30% 8,900 8,0 40% 9,300 9,0 50% 0,650 0,650 60%,5900,630 70% 3,450 3, % 4,700 5, % 6,9350 7,950 00% 3,3000 3,300 Fracsco Cyseros DE - UFPE 5

52 Quartl Como o prmero quartl dea ¼ das observações abao, é também o 5-ésmo percetl. Aalogamete Q50-ésmo percetl medaa. Q3 75-ésmo percetl. Fracsco Cyseros DE - UFPE 5

53 Quarts para Saláros quatle(dados$salario, c(0,.5,.5,.75,) 0% 5% 50% 75% 00% summary(dados$salario) M. st Qu. Meda Mea 3rd Qu. Ma Fracsco Cyseros DE - UFPE 53

54 Estatístca Descrtva Meddas de Varabldade São meddas que dão déa da dspersão dos dados. Estão relacoadas a alguma medda de posção. Fracsco Cyseros DE - UFPE 54

55 Meddas de Varabldade Itervalo de Varação Mámo - Mímo. Itervalo terquartl IQR Q3 - Q Varâca - méda dos desvos em relação a méda ao quadrado. Desvo Padrão - raz quadrada da Varâca. Coefcete de Varação - medda de dspersão (desvo padrão) sem efeto de escala (em relação a méda artmétca) Desvo Absoluto Medao med dm j med ( ) j j Fracsco Cyseros DE - UFPE 55

56 Algumas Propredades do Somatóro I. ( + y ) + y. a a para qualquer costate a a. Fracsco Cyseros DE - UFPE 56

57 Algumas Propredades 3. ( ) 0 ( ) pela propredade pela propredade Fracsco Cyseros DE - UFPE

58 Algumas propredades 4. ( ) ( ) ) ( propredade pela ) ( propredade pela 58 Fracsco Cyseros DE - UFPE

59 Algumas propredadesp Cotuação + porque é costate + + Fracsco Cyseros DE - UFPE 59

60 Algumas propredades k k 5. ( ) f f k k ( ) ( ) f f k k + ( ) ( ) propredade pela ) ( f f f f f k k k propredade pela f f f k k k + é costate porque f f f k k k k k k + e porque f f f f k k k k + + f f k + 60 Fracsco Cyseros DE - UFPE

61 Itervalo de Varação (IV) Itervalo de Varação Mámo - Mímo. Dá uma déa da ampltude dos dados. d Quato maor o IV maor a varabldade. Comado o Ecel para Calcular o Itervalo de Varação: IVMAX(DADOS!E3:E38)-MIN(DADOS!E3:E38) ( ) IV MÁXIMO DADOS!E3:E38)-MÍNIMO(DADOS!E3:E38) Fracsco Cyseros DE - UFPE 6

62 Itervalo Iterquartl Itervalo Iterquartl IQR Q3 Q. IQR cotém 50% dos dados. Pouco afetado por valores etremos. Cálculo o Ecel IQRQUARTILE(E3:E38,3)- QUARTILE(E3:E38,) IQRQUARTIL(E3:E38,3)- QUARTIL(E3:E38,) IV MÁXIMO DADOS!E3:E38)-MÍNIMO(DADOS!E3:E38) No R, IQRquatle(,0.75)-quatle(,0.5) ( 0 Fracsco Cyseros DE - UFPE 6

63 Varâca o Varâca para Dados Não Agrupados ( ) Var ( X ) o Varâca para Dados Agrupados k ( ) k f f Var ( X ) f Fracsco Cyseros DE - UFPE 63

64 Cálculo da Varâca usado Ecel Varâca usado Var( X ) ( ) SUMXMY(K3:K38,L3:L38)/COUNT(K3:K38) Ode a colua F todas as etradas são guas a méda SOMAXMY(K3:K38,L3:L38)/COUNT(K3:K38) Varâca usado Var( X ) SUMSQ(K3:K38)/COUNT(K3:K38)-(AVERAGE(K3:K38)^) SOMAQUAD(K3:K38)/COUNT(K3:K38)-(MÉDIA(K3:K38)^) ( ) ( ( ) ) Usado a fução VARP VARXVARP(K3:K38) VARXVARP(K3:K38) Fracsco Cyseros DE - UFPE 64

65 Cálculo da Varâca usado Ecel ν Varâca usado ν ν ν Var( X ) ( ) SUMXMY(K3:K38,L3:L38)/COUNT(K3:K38) Ode a colua L todas as etradas são guas a méda SOMAXMY(K3:K38,L3:L38)/COUNT(K3:K38) ν Varâca usado Var( X ) ν ν ν SUMSQ(K3:K38)/COUNT(K3:K38)-(AVERAGE(K3:K38)^) SOMAQUAD(K3:K38)/COUNT(K3:K38)-(MÉDIA(K3:K38)^) Usado a fução VARP ν ν VARXVARP(K3:K38) VARXVARP(K3:K38) Fracsco Cyseros DE - UFPE 65

66 ν Desvo Padrão Desvo Padrão usado ν ν ν Var ( X ) ( ) (SUMXMY(K3:K38,L3:L38)/COUNT(K3:K38))^0.5 Ode a colua L todas as etradas são guas a méda (SOMAXMY(K3:K38,L3:L38)/COUNT(K3:k38))^0.5 Var( X ) ν Desvo Padrão usado ν ν (SUMSQ(E3:E38)/COUNT(E3:E38)-(AVERAGE(E3:E38)^))^0.5 ν (SOMAQUAD(E3:E38)/COUNT(E3:E38)-(MÉDIA(E3:E38)^))^0.5 (MÉDIA(E3:E38) Usado a fução ν ν DPXSTDEVP(K3:K38) DPXDESVPADP(K3:K38) Fracsco Cyseros DE - UFPE 66

67 Ecel Saláro Saláro Meda 4,00, 4,56, 5,5, 573 5,73, 6,6, 6,66, 6,86, 7,39, 7,44, 759 7,59, 8,, 8,46, 8,74, 8,95, 9,3, 9,35, 9,77, 9,80, 0,53, 0,76,,06,,59,,00,,79, 3,3, 3,60, 3,85, 4,69, No R sd(dados$salario) [] ,7, var(dados$salario) [] ,99, 6,, 6,6, 7,6, 8,75, 9,40, 3,30,, 0,9 0,460 0,460 0,460 Fracsco Cyseros DE - UFPE 67

68 Coefcete de Varação ( ) desvo padrão CV méda Permtecomparar a varabldade de dos cojutos meddosem escala dferete. Comadoo Ecel CV (STDEVP(K3:K38)/AVERAGE(K3:K38))*00 CV (DESVPADP(K3:K38)/MÉDIA(K3:K38))*00 Fracsco Cyseros DE - UFPE 68

69 Desvo Absoluto Medao No Desvo Padrão a medda de posção utlzada para se calcular os desvos é a méda artmétca que é sesível a potos etremos. Melhor trocar méda artmétca por medaa. Desvo Absoluto Medao dam med med ( ) j j Fracsco Cyseros DE - UFPE 69

70 Eemplo Grupo A: ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 (varável X) Grupo B: ; 3 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 (varável Y) Grupo C: 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 (varável Z) Grupo D: 3 ; 5 ; 5 ; 7 (varável W) Grupo E: 3,5 ; 6,5 (varável V) Me(X)Me(Y)Me(Z)Me(W)Me(V)5,0 Var(X), Var(Y)8, Var(Z)0,Var(W),Var(W),5 Fracsco Cyseros DE - UFPE 70

71 Eemplo Grupo A: 00 ; 00 ; 00 ; 00 ; 00 ; 00 (varável X) Grupo B: 0 ; 0; 0; 0 ; 40 (varável Y) Me(X)Me(Y)00 Medaa(X)00, Medaa(Y)0 Fracsco Cyseros DE - UFPE 7

72 OUTRAS MEDIDAS E REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS Outras meddas de forma smetra e curtose. Como caracterzar valores etremos. Bo-Plot. Fracsco Cyseros DE - UFPE 7

73 Eemplo Cosderado o Eemplo, Respoda a perguta se o Saláro depede do grau de strução Eso Fudametal : 4,00 4,56 5,5 6,6 6,66 6,86 7,39 8,46 8,95 9,80,00 3,85 Eso Médo : 5,73 7,59 7,44 8, 8,74 9,3 9,35 9,77 0,76,06,59 3,3 3,60 4,69 4,7 5,99 6,6 9,40 Superor : 0,53,79 6, 7,6 8,75 3,30 Fracsco Cyseros DE - UFPE 73

74 Tabela 7- Meddas de Posção Medda EF E.F. EM E.M Superor 8 6 Mímo 4,00 5,73 0,53 Q 6,0 8,83 3,65 Medaa 7, 0,9 6,74 Méda 7,84,53 6,47 Q3 9,6 4,4 8,38 Mámo 3,85 9,40 3,00 Fracsco Cyseros DE - UFPE 74

75 Tabela 8. Meddas de dspersão Medda E.F. E.M Superor Varâca 8,0 3,03 6,89 Desvo- Padrão,83 3,6 4, C.V. 36,09% 3,30% 4,95% IQR 3,5 5,58 4,73 Assmetra 075 0, ,5-0,9 09 Curtose 0, 0,3 0,5 Fracsco Cyseros DE - UFPE 75

76 Como Caracterzar Valores etremos Valores etremos são aqueles que estão muto afastados do cetro da dstrbução. Uma forma de caracterzá-los é através do Bo-Plot Fracsco Cyseros DE - UFPE 76

77 Bo-Plot Caa que cotém 50% da dstrbução. Parte superor é Q3 e o feror é Q. Medaa Q está detro da caa. Lmte Superor Q3+,5 IQR Lmte Iferor Q,5 IQR Poto Etremo se acma de L.S. ou abao de L.I. Fracsco Cyseros DE - UFPE 77

78 Dagrama de caa - Bo-plot Poto Eteror (Solto) LS Q 3 Q Q LI Méda * * * 3 IQR IQR IQR 3 Poto Eteror (Solto) Fracsco Cyseros DE - UFPE IQR Q Poto Etremo Superor - Q 3 Q Poto Etremo Iferor 78

79 Fgura 9. Bo-plot da varável saláro segudo ível de strução 5 0 SALARI O 5 0 Eso Fudametal Eso Médo Superor INSTRUC Fracsco Cyseros DE - UFPE 79

80 Meddas de Assmetra. Assmetra smétrca, a méda e a moda cocdem; assmétrca à esquerda ou egatva, a méda é meor que a moda; assmétrca à dreta ou postva, a méda é maor que a moda Ass ode m 3 3 s m 3 ( y y) e s ( dp ( y )) 80 Fracsco Cyseros DE - UFPE

81 Meddas de Assmetra Meddas de Curtose Md Mo moda medaa méda Mo < Md < < Md < Mo Fracsco Cyseros DE - UFPE 8

82 Meddas de Assmetra Meddas de Curtose Se Baseado-se essas relações etre a méda e a moda, podemos empregá-las para determar o tpo de assmetra. Assm calculado o valor da dfereça: Mo Mo 0 assmetra ula ou dstrbução smétrca; Mo < 0 assmetra egatva ou à esquerda; Mo > 0 assmetra postva ou à dreta Fracsco Cyseros DE - UFPE 8

83 Meddas de Assmetra Meddas de Curtose Dstrbução de A Dstrbução de B Dstrbução de C Pesos (kg) f [;6) 6 [6;0) [0;4) 4 Pesos (kg) f [;6) 6 [6;0) [0;4) 4 [4;8) [4;8) 30 [8;) 6 [8;) 6 Total 60 Total 78 Pesos (kg) f [;6) 6 [6;0) 30 [0;4) 4 [4;8) [8;) 6 Total 78 Fracsco Cyseros DE - UFPE 83

84 Temos: Para A Para B Kg,9 Kg Md Kg Md 3,5 Kg Mo Kg Mo 4,8 Kg s 4,4 Kg s 4,0 Kg Logo, Para C Md Mo s, Kg 0,5 Kg 9, Kg 4,0 Kg A. - 0 a dstrbuç ão é smétrca; B.,9-4,8 -,9 Kg a dstrbuç ão é assmétrca egatva; C., - 9 9, 9Kg.9 a dstrbuç ão é assmétrca postva. Fracsco Cyseros DE - UFPE 84

85 Coefcete de Assmetra O Coefcete de Assmetra de Pearso é dado por: As ( Md) 3 s Se 0,5 < As <, a assmetra é cosderada Se As >, a assmetra é cosderada forte. moderada; Fracsco Cyseros DE - UFPE 85

86 Coefcete de Assmetra Eemplo: Cosderado as dstrbuções de A, B e C dadas aterormete, temos: As A As B As C ( ) 3 4,4 0 ( 3,5) 3,9 4,0 ( 0,5) 3, 4,0 smetra 0,49 assmetra egatva 0,49 assmetra postva Fracsco Cyseros DE - UFPE 86

87 Coefcete de Assmetra Eercíco. Cosdere os segutes resultados relatvos a três dstrbuções de freqüêca: A 5 5 Dstrbução Mo B C Determe o tpo de assmetra de cada uma delas. Fracsco Cyseros DE - UFPE 87

88 Coefcete de Assmetra Eercíco. Uma dstrbução de freqüêca apreseta as segutes meddas: 48,; Md 47,9; s, Calcule l o coefcete de assmetra. Fracsco Cyseros DE - UFPE 88

89 Coefcete de Assmetra Eercíco 3. Em uma dstrbução de freqüêca foram ecotradas a segutes meddas: 33,8; Mo 7,50; Md 3,67; s,45 a. Classfque o tpo de assmetra; b. Calcule o coefcete de assmetra. Fracsco Cyseros DE - UFPE 89

90 Curtose O grau de achatameto de uma dstrbução em relação a uma dstrbução padrão, deomada curva da ormal (curva correspodete a uma dstrbução teórca de probabldade). Fracsco Cyseros DE - UFPE 90

91 Ecesso de curtose Na dstrbução Normal esta medda vale 3. Logo O ecesso de curtoses é defdo por: E. Cur m s ( y y) 4 ode m 4 e s ( Var( y)) 4 9 Fracsco Cyseros DE - UFPE

92 Curva Mesocúrtca (curva ormal) Curva Leptocúrtca Curva Platcúrtca Fracsco Cyseros DE - UFPE 9

93 Coefcete de Curtose Uma fórmula para a medda da curtose é: Q - Q C 3 ( P - P ) 90 P 0 Essa fórmula é cohecda como coefcete percetílco de curtose. Fracsco Cyseros DE - UFPE 93

94 Coefcete de Curtose Relatvamete à curva ormal, temos: C 0,63 C 0,63 curva mesocúrtca C < 0,63 curva leptocúrtca C > 0,63 curva platcúrtca Fracsco Cyseros DE - UFPE 94

95 Coefcete de Curtose Eemplo: Sabedo-se que uma dstrbução b ção apreseta as segutes meddas: Q P 0 4,4 cm; Q 3 0, cm; P 90 4, cm; 49,5 cm Temos: 4, 4,4 6,8 C 0,866 C 49,5 0, 58,6 ( ) 0,87 Cocluímos que a dstrbução é platcúrtca, em relação à ormal Fracsco Cyseros DE - UFPE 95

96 Coefcete de Curtose Eercícos. Cosdere as segutes meddas, relatvas a três dstrbuções de freqüêca: Dstrbução Q Q 3 P 0 P 90 A B 63,7 80,3 55,0 86,6 C 8,8 45,6 0,5 49,8 a. Calcule os respectvos graus de curtose. b. Classfque cada uma das dstrbuções em relação à curva ormal. Fracsco Cyseros DE - UFPE 96

97 Coefcete de Curtose Eercícos. Determe o grau de curtose e classfque a dstrbução em relação à curva ormal: Fracsco Cyseros DE - UFPE 97

98 Aálse Bdmesoal Aálse o comportameto cojuto de mas de uma varável Tato para varáves qualtatvas e quattatvas Verfcar se há relaçao etre as varáves estudadas Fracsco Cyseros DE - UFPE 98

99 Tabela 9. Comportameto t do cojuto das varáves graus de strução (X) e regão de procedêca (Y) X Eso Eso Superor Total Y Fudametal Médo Captal 4 5 Iteror 3 7 Outra Total Fracsco Cyseros DE - UFPE 99

100 Tabela 0. Dstrbução cojuta das proporções em relação ao total geral (%) Y X Eso Eso Fudametal Médo Superor Total Captal Iteror Outra Total Fracsco Cyseros DE - UFPE 00

101 Tabela. Dstrbução cojuta das proporções em relação aos totas de cada colua (%) Y X Eso Eso Fudametal Médo Superor Total Captal Iteror Outra Total Fracsco Cyseros DE - UFPE 0

102 Tabela. Dstrbução cojuta das proporções em relação aos totas de cada lha (%) Y X Eso Eso Fudametal Médo Superor Total Captal Iteror Outra Total Fracsco Cyseros DE - UFPE 0

103 A cração de uma determada cooperatva está assocada ada a algum fator regoal? Tabela 3. dstrbução de frequeca das cooperatvas segudo estado Coop Estado Cosumdor Produtor Escola Outros Total SP 4 (33%) 37 (37%) 78 (%) 9 (8%) 648 (00%) PR 5 (7%) 0 (34%) 6 (4%) (7%) 30 (00%) RS (8%) 304 (5%) 39 (3%) 48 (8%) 60 (00%) Total (4%) (4%) (%) (%) (00%) Fracsco Cyseros DE - UFPE 03

104 Tabela 4. Valores esperados a Tabela 3 assumdo depedêca etre as varáves Coop Estado SP Cosumdor Produtor Escola Outros Total e (4%) PR 5 (4%) RS Total e e e e 648 e (4%) e 3 (%) e 4 (%) (00%) e 5 e 6 e 7 e (4%) 7 (%) 8 (%) (00%) e 9 e 0 e e 60 (4%) (4%) (%) (%) (00%) (4%) (4%) (%) (%) (00%) Fracsco Cyseros DE - UFPE 04

105 Cálculo Esperado 4% cosumdores Esperado 4% produtores Esperado % escolas Esperado % outros Eemplo e 6480,456 ou /55 e 7 300,66 ou 30343/55 Fracsco Cyseros DE - UFPE 05

106 Desvo etre o observado e o esperado O j é o valor observado, E j é o valor esperado Casela Escola-SP: maor desvo -64 Espera-se 4 e temos observado 78 Casela Escola- PR 60, valor esperado 66 Cosdere o desvo Relatvo ( ) O j E j e j Escola-São Paulo (-64) /48,8484 Escola-Paraá (-60) /6654,54 Fracsco Cyseros DE - UFPE 06

107 Tabela 5. Desvo etre o observado e esperado Estado SP PR RGS Cosumdor Produtor Escola Outros (,56 (4,50) (8,84) (,55) (6,) (4,9) (54,54) (5,44) (7,56) (9,84) (0,37) (8,00) Fracsco Cyseros DE - UFPE 07

108 Desvo etre o observado e esperado χ k j ( o e ) o e j j e j Quato maor o valor de χ, maor será o grau de assocação. Coefcete de cotgêca C χ χ + Propredade: 0 C < o eemplo C0,3 08