Estatística Notas de Aulas ESTATÍSTICA. Notas de Aulas. Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc. Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.

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1 Estatístca Notas de Aulas ESTATÍSTICA Notas de Aulas Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

2 Estatístca Notas de Aulas SUMÁRIO CONCEITOS BÁSICOS 5. Estatístca. Estatístca Descrtva.3 Estatístca Iferecal.4 População.5 Amostra.6 Varável.7 Séres Estatístcas APRESENTAÇÃO DE DADOS 7. Apresetação Tabular. Apresetação Gráfca 3 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 3. Dados Brutos 3. Rol 3.3 Ampltude Total 3.4 Número de Classes 3.5 Ampltude de Classe 3.6 Itervalo de Classe 3.7 Freqüêca Smples 3.8 Freqüêca Acumulada 3.9 Freqüêca Relatva 3.0 Poto Médo de Classe 3. Represetações Gráfcas 4 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO 7 4. Méda Artmétca 4. Medaa 4.3 Moda Relação etre Méda, Medaa e Moda 4.5 Percetl 4.6 Decl 4.7 Quartl 5 MEDIDAS DE DISPERSÃO 6 5. Ampltude 5. Desvo Médo 5.3 Varâca 5.4 Desvo Padrão 5.5 Coefcete de Varação 6 ASSIMETRIA E CURTOSE 3 6. Coefcete de Assmetra 6. Coefcete de Curtose 7 TEORIA DA PROBABILIDADE Teora dos Cojutos 7. Téccas de Cotagem 7.3 Itrodução à Probabldade 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Tpos de Varáves Aleatóras 8. Fução de Probabldade 8.3 Fução Desdade de Probabldade 8.4 Epectâca 8.5 Varâca Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

3 Estatístca Notas de Aulas Dstrbução Cojuta 8.7 Idepedêca 8.8 Fução Dstrbução Acumulada 9 MODELOS DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS DISCRETAS Dstrbução Uforme 9. Dstrbução de Beroull 9.3 Dstrbução Bomal 9.4 Dstrbução Geométrca 9.5 Dstrbução de Pascal 9.6 Dstrbução de Posso 9.7 Dstrbução Hpergeométrca 9.8 Dstrbução Multomal 0 MODELOS DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS CONTÍNUAS 6 0. Dstrbução Uforme 0. Dstrbução Normal 0.3 Dstrbução Gama 0.4 Dstrbução Epoecal 0.5 Dstrbução de Webull 0.6 Dstrbução Qu-Quadrado 0.7 Dstrbução t, de Studet 0.8 Dstrbução F, de Fsher 0.9 Apromação da Dstrbução Bomal pela Normal INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 67. Estmadores e Estatístcas. Estmadores Efcetes.3 Estatístcas Sufcetes.4 Famíla Epoecal.5 Método da Máma Verossmlhaça.6 Dstrbução Amostral da Méda INTERVALOS DE CONFIANÇA 74. Itervalo de Cofaça para a Méda. Itervalo de Cofaça para a Dfereça de Médas.3 Itervalo de Cofaça para a Proporção.4 Itervalo de Cofaça para a Dfereça de Proporções.5 Itervalo de Cofaça para a Varâca.6 Determação do Tamaho de uma Amostra 3 CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO (CEP) 8 3. Cocetos 3. Dagrama de Pareto 3.3 Dagrama de Ishawa 3.4 Gráfco de Cotrole para Méda e Ampltude 3.5 Capabldade 3.6 Gráfcos de Cotrole para Ampltudes Móves 3.7 Gráfcos de Cotrole por Atrbutos 4 TEORIA DA DECISÃO ESTATÍSTICA Teste de Hpótese 4. Teste de Hpótese para a Méda 4.3 Teste de Hpótese para a Dfereça de Médas 4.4 Teste de Hpótese para a Proporção 4.5 Teste de Hpótese para a Dfereça de Proporções 5 ANÁLISE DA VARIÂNCIA (ANOVA) ANOVA para um Fator 5. ANOVA para dos Fatores Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

4 Estatístca Notas de Aulas 4 6 TESTE QUI-QUADRADO 0 6. Teste de Bodade de Ajustameto 6. Teste de Idepedêca de Varáves 7 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 3 7. Teste U, de Wlcoo, Ma e Whtey 7. Teste H, de Krusal Walls 8 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E DE REGRESSÃO 8 8. Coefcete de Correlação 8. Aálse de Regressão Lear 8.3 Método dos Mímos Quadrados 8.4 Modelo Epoecal 8.5 Modelo Potêca 8.6 Modelo Logarítmco APÊNDICE I INTEGRAIS EULERIANAS APÊNDICE II MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

5 Estatístca Notas de Aulas 5. CONCEITOS BÁSICOS. Estatístca A Estatístca compreede os métodos cetífcos utlzados para coleta, orgazação, resumo, apresetação e aálse, ou descrção, de dados de observação. Também abrage métodos utlzados para tomadas de decsões sob codções de certeza.. Estatístca Descrtva Iclu as téccas empregadas para coleta e descrção de dados. Também é empregada a aálse eploratóra de dados..3 Estatístca Iferecal É utlzada para tomar decsões a respeto de uma população, geralmete utlzado dados de amostras. Uma vez que tas decsões são tomadas sob codções de certeza, faz-se ecessáro o uso de cocetos relatvos à Teora da Probabldade..4 População Um dos cocetos fudametas a Estatístca, é empregado para desgar um cojuto de dvíduos que possuem pelo meos uma característca, ou atrbuto, em comum. Algus autores empregam o termo uverso para referr-se a uma população..5 Amostra Refere-se a qualquer subcojuto de uma população. A amostragem é uma das etapas mas mportates a aplcação de métodos estatístcos, evolvedo aspectos como determação do tamaho da amostra, metodologa de formação e represetatvdade da amostra com relação à população..6 Varável É usada para atrbução dos valores correspodetes aos dados observados. É mportate ressaltar que os dados em questão ão são ecessaramete umércos, uma vez que podem dzer respeto a atrbutos qualtatvos observados a população. Por esta razão costuma-se classfcar as varáves as categoras defdas a segur..6. Varável Numérca. Também chamada varável quattatva, é utlzada para represetação de dados umércos, ou quattatvos..6.. Varável Numérca Dscreta. Varável cujo domío é um cojuto eumerável. Geralmete correspode a dados de cotagem. Eemplo: Número de defetos em um compoete, total de udades defetuosas em uma amostra..6.. Varável Numérca Cotíua. Varável cujo domío é um cojuto ão eumerável. Refere-se a dados de mesuração. Eemplo: Dâmetro de um eo, peso de um recém-ascdo..6. Varável Qualtatva. É utlzada para represetação de atrbutos. Pode ser dcotômca, ou bára, quado assume apeas dos possíves valores, ou poltômca, também referda como multomal, quado pode assumr mas de dos possíves valores..6.. Varável Qualtatva Categórca. É empregada para represetar categoras, ou classes, às quas pertecem as observações regstradas. Eemplo: Cor dos olhos, seo..6.. Varável Qualtatva Ordal. Utlza-se este tpo de varável em stuações as quas presume-se a ecessdade de uma ordem, crescete ou decrescete, para os resultados. Eemplo: Grau de escolardade, categora salaral. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

6 Estatístca Notas de Aulas 6.7 Séres Estatístcas Uma sére estatístca cosste bascamete de um cojuto de valores observados para dferetes categoras de uma varável. As séres estatístcas são classfcadas em três categoras, apresetadas a segur..7. Sére Temporal. A varável de teresse refere-se a um período de tempo. Eemplo.7. A tabela a segur mostra o faturameto, em mlhões de reas, da empresa fctíca ABC durate o ao de 0XY. Tabela. Faturameto mesal (R$ ) da empresa ABC (0XY). Mês Ja Fev Mar Abr Ma Ju Jul Ago Set Out Nov Dez Total Faturameto 0,95,03,,4,0 0,9 0,84 0,78 0,7 0,65 0,68 0,8 0,77 Fote: Dados fctícos..7. Sére Geográfca. Aqu a varável estudada é o local. Eemplo.7. A tabela a segur mostra o faturameto, em mlhões de reas, da empresa fctíca ABC durate o ao de 0XY, as respectvas regões de atuação. Tabela. Faturameto (R$ ) da empresa ABC (0XY), por regão. Grade Iteror Iteror Porto Iteror Campo Regão Cuabá Total Curtba do PR de SC Alegre do RS Grade Faturameto,75,58,8,4 0,80 0,75 0,70 0,77 Fote: Dados fctícos..7.3 Sére Específca. Eemplo A tabela a segur mostra o faturameto, em mlhões de reas, da empresa fctíca ABC durate o ao de 0XY, especfcado por produto. Tabela.3 Faturameto (R$ ) da empresa ABC (0XY), por produto. Produto Rolameto Macal Óleo Juta Válvula Retetor Total Faturameto 3,48,84,75,45,5,00 0,77 Fote: Dados fctícos..7.4 Séres Combadas. Na prátca, é comum combar séres estatístcas com o objetvo de aumetar, ou detalhar, as formações dspoíves. Eemplo.7.4 O quadro a segur mostra o faturameto da empresa ABC por produto e regão, sto é, uma combação de uma sére geográfca e uma sére específca. Quadro. Faturameto (R$ ) da empresa ABC, por produto e regão. Regão Produto Rolameto Macal Óleo Juta Válvula Retetor Total Grade Curtba 0,89 0,46 0,45 0,37 0,3 0,6,75 Iteror do PR 0,83 0,44 0,4 0,35 0,30 0,4,58 Iteror de SC 0,59 0,3 0,30 0,5 0, 0,6,8 Porto Alegre 0,45 0,4 0,3 0,9 0,6 0,5,4 Iteror do RS 0,6 0,4 0,3 0, 0,09 0,07 0,80 Campo Grade 0,4 0,3 0, 0,0 0,09 0,07 0,75 Cuabá 0, 0, 0,0 0,08 0,08 0,0 0,70 Total 3,48,84,75,45,5,00 0,77 Fote: Dados fctícos. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

7 Estatístca Notas de Aulas 7. APRESENTAÇÃO DE DADOS A apresetação de dados pode ser efetuada através de dos modos, tabular ou gráfco, ão mutuamete eclusvos. Para esta tarefa deve-se ter em mete o objetvo da apresetação, o que dz respeto ao ível de detalhameto e ao tpo de formação que se deseja etrar dos dados em questão. A apresetação tabular permte obter formações mas detalhadas, equato a apresetação gráfca permte uma compreesão mas rápda a respeto do comportameto da varável observada.. Apresetação Tabular Em prmero lugar, é mportate frsar que os termos tabela e quadro são utlzados para desgar objetos dsttos. O prmero desga o arrajo de dados a forma de grade com lateras abertas, equato o segudo termo é empregado para desgar arrajos em grades com lateras fechadas, coforme a Fgura.. Varável Valores Varável Valores Total Total Fgura. Formatos de tabela e quadro. Idepedete do formato escolhdo, uma tabela deve coter três elemetos: Cabeçalho. Deve coter o mámo de formações sobre os dados apresetados Corpo. De dmesões varáves, é o espaço destado à apresetação propramete dta dos dados. 3 Rodapé. Deve coter a fote dos dados e outras formações ecessáras à compreesão... Tabela Smples. É o tpo mas comum de tabela, utlzado para represetar os valores correspodetes a uma sére estatístca. A dsposção pode ser feta tato por coluas como por lhas. Eemplo. Eemplo de tabela smples. Dados dspostos em lha. Tabela. Faturameto mesal (R$ ) da empresa ABC (0XY). Mês Ja Fev Mar Abr Ma Ju Jul Ago Set Out Nov Dez Total Faturameto 0,95,03,,4,0 0,9 0,84 0,78 0,7 0,65 0,68 0,8 0,77 Fote: Dados fctícos. Eemplo. - Eemplo de tabela smples. Dados dspostos em colua. Tabela. Número de beefcáros de plaos prvados de saúde, em mlhões, o período Ao Beefcáros (mlhões) , , , , , , ,7 Fote: Joral Folha de São Paulo. 4/6/007 Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

8 Estatístca Notas de Aulas 8.. Tabela de Dupla Etrada. É utlzada para represetar dados de duas séres combadas. Eemplo.3 Eemplo de tabela de dupla etrada. Tabela. Faturameto (R$ ) da empresa ABC, por produto e regão. Regão Produto Rolameto Macal Óleo Juta Válvula Retetor Total Grade Curtba 0,89 0,46 0,45 0,37 0,3 0,6,75 Iteror do PR 0,83 0,44 0,4 0,35 0,30 0,4,58 Iteror de SC 0,59 0,3 0,30 0,5 0, 0,6,8 Porto Alegre 0,45 0,4 0,3 0,9 0,6 0,5,4 Iteror do RS 0,6 0,4 0,3 0, 0,09 0,07 0,80 Campo Grade 0,4 0,3 0, 0,0 0,09 0,07 0,75 Cuabá 0, 0, 0,0 0,08 0,08 0,0 0,70 Total 3,48,84,75,45,5,00 0,77 Fote: Dados fctícos...3 Tabela de Múltplas Etradas. É utlzada a represetação de dados correspodetes a mas de duas séres. Eemplo.4 Eemplo de tabela de múltpla etrada. Tabela.3 Udades veddas por regão e por semestre. Produto Regão Rolameto Macal Total o Semestre o semestre o Semestre o semestre Sul Sudeste Cetro Oeste Total Dados Fctícos.. Apresetação Gráfca Para a apresetação gráfca deve-se levar em cosderação o tpo de sére estatístca estudada e o, também, o tpo de varável observada, quattatva ou qualtatva. Também é possível combar as duas formas de apresetação, tabular e gráfca. Os prcpas tpos de gráfcos são:.. Gráfco Lear. É utlzado prcpalmete para represetar séres temporas. Eemplo.5 Tabela. Faturameto mesal (R$ ) da empresa ABC (0XY). Mês Ja Fev Mar Abr Ma Ju Jul Ago Set Out Nov Dez Total Faturameto 0,95,03,,4,0 0,9 0,84 0,78 0,7 0,65 0,68 0,8 0,77 Fote: Dados fctícos. Faturameto da Empresa ABC R$ ,00,5 0, Meses Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

9 Estatístca Notas de Aulas 9.. Gráfco Setoral. É utlzado para represetar séres geográfcas ou específcas. Eemplo.6 Tabela. Faturameto (R$ ) da empresa ABC (0XY), por regão. Grade Iteror Iteror Porto Iteror Campo Regão Cuabá Total Curtba do PR de SC Alegre do RS Grade Faturameto,75,58,8,4 0,80 0,75 0,70 0,77 Fote: Dados fctícos. Cuabá; 0,7 Faturameto por Regão Campo Grade; 0,75 Iteror do RS; 0,8 Porto Alegre;,4 Iteror de SC;,8 Grade Curtba;,75 Iteror do PR;,58 Grade Curtba Iteror do PR Iteror de SC Porto Alegre Iteror do RS Campo Grade Cuabá..3 Gráfco de Coluas. Pode ser utlzado o lugar do gráfco setoral. Eemplo.7 Os dados da Tabela. poderam ser represetados através do gráfco a segur. Faturameto por Regão 3,5,5 0,5 0 Grade Curtba Iteror do PR Iteror de SC Porto Alegre Iteror do RS Campo Grade Cuabá..4 Gráfco de Coluas Superpostas. É utlzado para represetar os dados de tabelas de dupla etrada. Eemplo.8 Represetação dos dados da Tabela.. Faturameto por Produto e por Regão (%) 00% 80% 60% 40% 0% 0% Grade Curtba Iteror do Iteror de PR SC Porto Alegre Iteror do RS Campo Grade Cuabá Retetor Válvula Juta Óleo Macal Rolameto Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

10 Estatístca Notas de Aulas 0..5 Gráfco de Coluas Justapostas. È utlzado para represetar dados de tabelas de dupla etrada. Faturameto por Produto e por Regão 0,8 Rolameto 0,6 0,4 0, 0 Grade Curtba Iteror do PR Iteror de SC Porto Alegre Iteror do RS Campo Grade Cuabá Macal Óleo Juta Válvula Retetor Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

11 Estatístca Notas de Aulas 3. DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS As dstrbuções de freqüêcas são usadas prcpalmete para a apresetação de grades cojutos de dados. 3. Dados Brutos É a desgação para um cojuto de dados ão ordeados. 3. Rol É um cojuto de dados ordeados. Eemplo 3. Teores de ácdo palmítco (%) observados em 0 amostras de óleos vegetas, utlzadas em um estudo para comparar as característcas de óleos obtdos a partr de dferetes fotes. 3.3 Ampltude Total (R) 3,8 5, 6, 6,4 8,3 0, 0,9,5 3,9 5,4 6, 6,4 8,3 0, 0,9,5 4, 5,4 6, 6,5 9,3 0,4,5 4,5 5,5 6, 6,6 9,4 0,4,5 4,6 5,6 6, 6,7 9,6 0,5,6 4,8 5,7 6, 6,7 9,7 0,5,6 4,8 5,9 6, 6,8 9,7 0,5,,9 4,8 5,9 6, 7 9,7 0,5,,9 4,9 5,9 6, 7, 9,8 0,5,, 5 6 6, 7,5 9,8 0,5,, 5, 6 6, 7,6 9,8 0,7,, 5, 6 6, 7,7 9,9 0,8, 3 5, 6 6, 8 0 0,8,3 3 5, 6, 6, ,9,4 3, 5, 6, 6,4 8, 0 0,9,4 3, Fote: Brodja Voča et al. (005) É a dfereça etre o valor mámo e o valor mímo observados o cojuto de dados, sto é: R ( (3.) ) () Eemplo 3. Para o cojuto de dados do eemplo ateror a ampltude total é R 3, 3,8 9,3 3.4 Número de Classes () Pode ser determado arbtraramete ou de acordo com a epressão a segur, deomada fórmula de Sturges, ode é o úmero de observações, ou tamaho da amostra. + 3,3 log (3.) Eemplo 3.3 Uma dstrbução de freqüêcas para os dados do Quadro 3., de acordo com a fórmula de Sturges, terá + 3,3log(0) 7, Ampltude de Classe (h) Pode ser calculada por R h (3.3) Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

12 Estatístca Notas de Aulas 9,3 Eemplo 3.4 Para os dados dos eemplos aterores, a ampltude de classe é h, Itervalo de Classe Os lmtes de cada classe podem ser defdos de quatro modos dsttos, mostrados a segur.. Itervalo eclusve eclusve :. Itervalo clusve eclusve : 3. Itervalo clusve clusve : 4. Itervalo eclusve clusve : Eemplo 3.5 Para os dados utlzados como eemplo até agora, as classes e tervalos são: 3.7 Freqüêca Smples (f ) Tabela 3. Dstrbução de freqüêcas para os teores (%) de ácdo palmítco observados em amostras de óleos vegetas. Classe Teores de Ácdo Palmítco Observações 3,8 -- 5,0 9 5,0 -- 6, 4 3 6, -- 7,4 4 7,4 -- 8, ,6 -- 9, ,8 --,0 4 7,0 --, 8, -- 3,4 7 Total (N) 0 A freqüêca smples da ésma classe é gual ao úmero do observações pertecetes à mesma. Eemplo 3.6 Na dstrbução do eemplo ateror: f 9, f 4,..., f Freqüêca Acumulada A freqüêca acumulada crescete da ésma classe é dada por: fac f j j (3.4) Eemplo 3.7 A freqüêca acumulada crescete da quarta classe, a dstrbução mostrada a Tabela 3., é: fac A freqüêca acumulada decrescete da ésma classe é dada por: fad f (3.5) j j Eemplo 3.8 Para a quarta classe da dstrbução ateror, a freqüêca acumulada decrescete é dada por: fad Freqüêca Relatva (fr ) A freqüêca relatva da ésma classe é dada por: fr f j f j (3.6) Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

13 Estatístca Notas de Aulas 3 Eemplo 3.9 As freqüêcas relatvas para dstrbução da Tabela 3. são Tabela 3. Dstrbução de freqüêcas smples e relatvas para os teores (%) de ácdo palmítco observados em amostras de óleos vegetas. Classe Teores de Ácdo Palmítco Observações Freqüêcas Relatvas 3,8 -- 5,0 9 0,0750 5,0 -- 6, 4 0, , -- 7,4 0, ,4 -- 8,6 8 0, ,6 -- 9,8 6 0, ,8 --,0 4 0,000 7,0 --,4 0,750 8,4 -- 3,6 7 0,0583 Total (N) 0, Poto Médo de Classe (X ) O poto médo da ésma classe é dado por: X LI + LS (3.7) ode LI e LS são os lmtes feror e superor da classe, respectvamete. Eemplo 3.0 As classes da dstrbução da Tabela 3. têm os segutes potos médos: Tabela 3.3 Dstrbução de freqüêcas smples e potos médos de classe para os teores (%) de ácdo palmítco observados em amostras de óleos vegetas. Classe Teores de Ácdo Palmítco Observações Potos Médos (X ) 3,8 -- 5,0 9 4,4 5,0 -- 6, 4 3 6, -- 7,4 4 7,4 -- 8, ,6 -- 9, ,8 --,0 4 7,0 --, 8, -- 3,4 7,8 Total () 0 3. Represetações Gráfcas As dstrbuções de freqüêcas podem ser represetadas através de três tpos de gráfcos, ão mutuamete eclusvos. 3.. Hstograma É um gráfco de coluas justapostas, ode a largura da base de cada colua represeta o tervalo de classe correspodete e a altura represeta a freqüêca smples da referda classe. Eemplo 3. A Fgura 3. mostra o hstograma da dstrbução mostrada a Tabela 3.. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

14 Estatístca Notas de Aulas ,8-5,0 5,0-6, 6, - 7,4 7,4-8,6 8,6-9,8 9,8 -,0,0 -,, - 3,4 Fgura 3. Hstograma da dstrbução de freqüêcas de teores de ácdo palmítco. 3.. Polígoo de Freqüêcas É defdo por uma lha polgoal cujos vértces são defdos pelos potos médos e pelas freqüêcas das classes represetadas. Eemplo 3. O polígoo de freqüêcas para a dstrbução ateror é mostrado a Fgura Freqüêcas Classes Fgura 3. Polígoo de freqüêcas da dstrbução de teores de ácdo palmítco Curva de Freqüêcas Eemplo 3.3 A curva de freqüêcas para a dstrbução dos eemplos aterores é mostrada a Fgura Fgura 3.3 Curva de freqüêcas para a dstrbução de teores de ácdo palmítco. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

15 Estatístca Notas de Aulas 5 3. Eercícos O Quadro 3. mostra 50 valores correspodetes ao comprmeto da sépala, observados em flores de três espéces: írs vrgca, írs setosa e írs verscolor, para um estudo cujo é a comparação das dfereças etre as dmesões observadas para cada um dos três grupos. Quadro 3. Comprmetos (mm) das sépalas observadas em 50 eemplares de flores írs Fote: Fsher (936). ) Calcular a ampltude total. ) Calcular o úmero de classes para costrur uma dstrbução de freqüêcas. 3) Calcular a ampltude de cada classe. 4) Determar os tervalos e lmtes de classes. 5) Dstrbur as freqüêcas. 6) Calcular as freqüêcas acumuladas. 7) Calcular os potos médos. 8) Traçar o hstograma. Resposta: Classe Comprmeto (mm) Flores fac fad fr Poto médo , , , , Total 50 Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

16 Estatístca Notas de Aulas Fgura 3.4 Hstograma para os dados do Quadro 3.. Referêcas Brodja Voča, D., Kodba, Z., Novč, M., Multvarate data aalyss classfcato of vegetable ols characterzed by the cotet of fatty acds. Chemometrcs ad Itellget Laboratory Systems 75, pp. 3-43, 005. Fsher, R. A., The use of multple measuremets taoomc problems. Aals of Eugecs 7, pp , 936. Johso, R. A., Wcher, D. W., Appled multvarate statstcal aalyss. d. Ed. New Jersey: Pretce- Hall Iteratoal, Ic., 988. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

17 Estatístca Notas de Aulas 7 4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO São meddas utlzadas prcpalmete para a descrção de dados. Neste caso o que se deseja ecotrar são os valores represetatvos do cojuto de dados, de modo a resumr ao mámo as observações sobre os dados em questão. As prcpas meddas de posção são a méda artmétca, a medaa e a moda. As defções, e algumas propredades, destas meddas são brevemete descrtas a segur. 4. Méda Artmétca ( ) Seja um cojuto de dados {,,..., }. A méda artmétca, ou smplesmete méda, é dada por (4.) Eemplo 4. Seja o cojuto {, 4, 3, 5, 6,, 5}. Etão a méda artmétca é: , OBS: A otação é empregada para represetar a méda de uma amostra de valores. A méda da população costuma ser represetada pela letra grega µ ( m ou mu ). 4.. Propredades da Méda Artmétca: P : Se uma costate é somada a cada valor do cojuto, etão a méda será acrescda de. Eemplo 4. Se todos os valores do cojuto do eemplo 3. forem aumetados em 5, a méda será 8,857. P : Se cada valor do cojuto é multplcado por uma costate, etão a méda também será multplcada pelo mesmo valor. Eemplo 4.3 Se todos os valores do cojuto do eemplo 3. forem multplcados por 5, a méda será 9,855. P 3 : Seja d o desvo do ésmo valor em relação à méda artmétca. Etão d Méda Artmétca Poderada Para dados agrupados em dstrbuções de freqüêcas calcula-se a méda poderada, sedo que a freqüêca observada para cada valor é o peso do mesmo. Etão, se um cojuto de valores fo agrupado em classes, com potos médos X, X,..., X, e freqüêcas smples f, f,..., f, respectvamete, etão a méda artmétca é dada por: X f (4.) f Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

18 Estatístca Notas de Aulas 8 Eemplo 4.4 O teor médo de ácdo palmítco, para os dados da Tabela 3., é dado por: Classe Teores de Ácdo Palmítco (%) Observações (f ) X X f 3,8 -- 5,0 9 4,4 39,6 5,0 -- 6, 4 3 6, -- 7,4 4 7,4 -- 8, ,6 -- 9, ,8 --,0 4 7,0 --, 8, -- 3,4 7,8 89,6 Total () 0 04,4 0 8,54 OBS: Se a méda para os 0 valores fosse obtda dretamete do cojuto, através da fórmula (4.), o valor ecotrado sera 8, Medaa ( ~ ) É o valor que ocupa a posção cetral em um cojuto de dados, quado orgazados em ordem crescete. Se a quatdade de valores é ímpar, a medaa, ou valor medao, é smplesmete o valor cetral. Se a quatdade de valores é par, a medaa é a méda dos dos valores cetras. Eemplo 4.5 Seja o cojuto {,, 3, 5, 5, 6, 7, 7, 9, 9, 0}. Neste caso a medaa é ~ 6. Eemplo 4.6 Seja o cojuto {0,,,, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8}. Aqu a medaa é dada pela méda dos dos valores cetras, sto é, ~ (4 + 5)/ 4, Medaa para dados agrupados em dstrbuções de freqüêcas Para dados agrupados em dstrbuções de freqüêcas pode-se utlzar para o cálculo da medaa a epressão: fca ~ LI + h (4.3) ~ fme ode: LI lmte feror da classe que cotém o valor medao, sto é, da classe cuja freqüêca acumulada crescete é gual ou medatamete superor a /. fca freqüêca acumulada crescete da classe ateror à classe que cotém o valor medao. fme freqüêca smples da classe que cotém o valor medao. h ampltude da classe que cotém o valor medao. Eemplo 4.7 O teor medao de ácdo palmítco, para os dados da Tabela 3., é dado por: Classe Teores de Ácdo Palmítco (%) Observações (f ) fac 3,8 -- 5, ,0 -- 6, , -- 7, ,4 -- 8, ,6 -- 9, ,8 --,0 4 7,0 --, 8, -- 3,4 7 Total () 0 Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

19 Estatístca Notas de Aulas 9 60 (Etão a medaa pertece à 4ª. classe). LI 7,4 fca 54 fme 8 h 8,6 7,4, Substtudo a epressão (4.3): OBS: Se a medaa fosse obtda a partr da defção, dretamete do cojuto de dados, o valor ecotrado sera 8, Moda A moda, ou valor modal, de um cojuto de dados é o valor com maor freqüêca dvdual. É mportate ressaltar que o valor modal pode ão estr, além dsto, caso esta, pode ão ser úco. Neste últmo caso, dz-se que o cojuto é bmodal, trmodal, etc. Eemplo 4.8 O valor modal para o cojuto de observação dos teores de ácdo palmítco é 6,, cuja freqüêca é 0. 3,8 5, 6, 6,4 8,3 0, 0,9,5 3,9 5,4 6, 6,4 8,3 0, 0,9,5 4, 5,4 6, 6,5 9,3 0,4,5 4,5 5,5 6, 6,6 9,4 0,4,5 4,6 5,6 6, 6,7 9,6 0,5,6 4,8 5,7 6, 6,7 9,7 0,5,6 4,8 5,9 6, 6,8 9,7 0,5,,9 4,8 5,9 6, 7 9,7 0,5,,9 4,9 5,9 6, 7, 9,8 0,5,, 5 6 6, 7,5 9,8 0,5,, 5, 6 6, 7,6 9,8 0,7,, 5, 6 6, 7,7 9,9 0,8, 3 5, 6 6, 8 0 0,8,3 3 5, 6, 6, ,9,4 3, 5, 6, 6,4 8, 0 0,9,4 3, Para dados agrupados em dstrbuções de freqüêcas, a moda pode ser calculada através da fórmula dada por: Mo LI mod + + h (4.4) ode: LI mod lmte feror da classe modal, sto é, a de maor freqüêca smples. (freqüêca smples da classe modal meos a freqüêca smples da classe ateror). (freqüêca smples da classe modal meos a freqüêca smples da classe posteror). h ampltude da classe modal. Eemplo 4.9 Calcular a moda para a dstrbução de freqüêcas dos teores de ácdo palmítco. A dstrbução de freqüêcas é dada a tabela a segur. Classe Teores de Ácdo Palmítco (%) Observações (f ) Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

20 Estatístca Notas de Aulas 0 3,8 -- 5,0 9 5,0 -- 6, 4 3 6, -- 7,4 4 7,4 -- 8, ,6 -- 9, ,8 --,0 4 7,0 --, 8, -- 3,4 7 Total () 0 Neste caso as classes e 6 têm a mesma freqüêca. Etão a dstrbução obtda é bmodal, coforme se pode otar a Fgura 3.3, com a curva de freqüêcas para este cojuto de dados. As respectvas modas são: Prmero valor modal: LI mod 5, h 6, 5,0, Substtudo a fórmula (4.4): Segudo valor modal: LI mod 9, h,0 9,8, Substtudo a fórmula (4.4): Mo 5, 0 + (, ) Mo 9, 8 + (, ) OBS: É mportate chamar a ateção para o fato de que ehum dos valores cocde com o real valor modal, que é gual a 6,. Cometáro Nos eemplos aterores é possível observar que as meddas calculadas para um cojuto de dados podem apresetar dscrepâca quado calculadas através de abordages dsttas. Para a dstrbução de freqüêcas dos teores (%) de ácdo palmítco observados em amostras de óleos vegetas, por eemplo, a méda artmétca fo calculada como 8,54, para os dados agrupados, e 8,40 para os dados apeas ordeados. O mesmo ocorre com a medaa, que, por defção, é 8,5. Etretato, para os mesmos dados, quado agrupados, a medaa é gual a 8,30. Para o cálculo da moda a dfereça é ada mas grtate, pos foram ecotrados dos valores, 6,0 e 0,8, para a moda. Cotudo, é fácl perceber que o valor em questão é gual a 6,. Este tpo de ocorrêca deve ser levado em cosderação quado se opta pela apresetação, e tratameto, de dados a forma de dstrbuções de freqüêcas. O fácl acesso a programas computacoas e aplcatvos pode torar dspesável a costrução de dstrbuções de freqüêcas, especalmete quado o teresse do estudo restrge-se aos resultados obtdos para as dferetes meddas aqu estudadas. Neste caso, a dstrbução de freqüêcas pode ser usada apeas como meo de apresetação dos dados. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

21 Estatístca Notas de Aulas 4.4 Relação etre Méda, Medaa e Moda A relação etre os valores ecotrados para a méda, para a medaa e para a moda dca o tpo de assmetra da dstrbução de freqüêcas. Aqu etede-se por assmetra o grau de desvo dos dados em relação ao cetro da dstrbução. Fgura 4. Assmetra postva (Mo < ~ < ). Fgura 4. Assmetra egatva (Mo > ~ > ). Fgura 4.3 Dstrbução smétrca (ormal) (Mo ~ ). Na prátca é comum obter dstrbuções de freqüêcas cujas meddas ão apresetam ehum dos comportametos descrtos, e lustrados, as Fguras 4. a 4.3. Neste caso recomeda-se eclur a moda as relações mostradas acma, sto é, comparar apeas a méda e a medaa Percetl O valor medao é aquele que dvde um cojuto de dados ordeados em duas partes guas. Da mesma forma, também pode ser útl dscrmar valores correspodetes a uma determada percetagem. Este tpo de stuação ocorre, por eemplo, quado se deseja determar a reda famlar que defe os 0% mas rcos em uma socedade. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

22 Estatístca Notas de Aulas Para determar certo percetl em um cojuto de dados é sufcete ordear estes mesmos dados e localzar o elemeto correspodete à fração desejada, de modo aálogo ao usado para determar a medaa. Eemplo 4.0 Seja o cojuto de dados mostrado o Quadro 4.. O 90 o percetl é o valor que separa 90% dos eemplares com meor largura dos 0% com a maor largura. Etão, cosderado que o cojuto tem 50 observações, basta separar os 5 últmos elemetos, que são justamete os pertecetes à últma colua. Neste caso o 90 o percetl é gual a 37. Isto sgfca que 90% dos eemplares apresetam largura feror a 37 mm. Quadro 4. Larguras (em mm) das sépalas observadas em 50 eemplares de flores írs Fote: Fsher (936). Para dados agrupados em dstrbuções de freqüêcas pode-se utlzar a fórmula dada por: P p LI P p + 00 fca h fp ode: LI P lmte feror da classe que cotém o p ésmo percetl, sto é, da classe cuja freqüêca acumulada crescete é gual ou medatamete superor a p / 00. fca freqüêca acumulada crescete da classe ateror à classe que cotém o p ésmo percetl. fp freqüêca smples da classe que cotém o p ésmo percetl. h ampltude da classe que cotém o p ésmo percetl. Eemplo 4. Calcular o 90 o percetl e o 0 o percetl para os dados da dstrbução de freqüêcas dos dados mostrados o Quadro 4.. (4.5) Classes Largura (mm) Eemplares fac Total 50 Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

23 Estatístca Notas de Aulas 3 Neste caso: p 90. Etão O valor procurado pertece à 6ª. classe, que tem freqüêca 00 acumulada crescete gual a 38. LI P 35 fca 5 fp 3 h Substtudo a fórmula 4.5: 35 5 P (3) 37, 3. 3 O cálculo do 0 o percetl é deado como eercíco Decl Esta medda é aplcada quado de deseja dvdr um cojuto de dados ordeados em dez partes guas. Não é dfícl perceber que: D P 0 D P 0 D 3 P D 9 P 90 Eemplo 4. Para os dados do Quadro 4., o quarto decl correspode ao valor que separa quatro décmos, ou 40% dos valores. Para 50 observações, sto represeta 60 valores, ou as quatro prmeras coluas. Etão D Quartl Esta medda dvde um cojuto de dados ordeados em quatro partes guas. Também é fácl perceber que: Q P 5 Q P 50 Q 3 P 75 Eemplo 4.3 Para os dados do Quadro 4., o tercero quartl é valor que separa o cojuto em duas partes, uma correspodete a 75% dos valores e outra correspodete a 5% dos valores. Como o cojuto possu 50 observações, e ¾ de 50 correspodem a,5, o elemeto procurado é a méda do o e do 3 o valores. Etão o Q 3 33 (verfque o própro quadro!) Eercícos 4.8.) O Quadro 3. fo utlzado para costrur uma dstrbução de freqüêcas o Eercíco 3.. Calcular, para a dstrbução de freqüêcas obtda: ) Méda. ) Medaa. 3) Moda. 4) Comparar os resultados obtdos com os reas valores. 5) Estudar a assmetra da dstrbução. 6) Calcular o 0 o e o 90 o percetís. 7) Calcular o o e o 4 o quartís. Respostas: O quadro orgal é dado a segur. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

24 Estatístca Notas de Aulas 4 Quadro 3. Comprmetos (mm) das sépalas observadas em 50 eemplares de flores írs Fote: Fsher (936). A dstrbução de freqüêcas obtda é dada a tabela a segur. Classe Comprmeto (mm) Flores fac fad fr Poto médo , , , , , , , , , Total 50 ) Méda: 59,03 mm. ) Medaa: ~ 58,43 mm. 3) Moda: Mo 57, mm. 4) 55,4 mm. 4.8.) O Quadro 4. mostra os valores observados para as larguras (mm) das sépalas observadas os 50 eemplares mecoados os eemplos aterores. ) Costrur uma dstrbução de freqüêcas para os dados observados. ) Calcular a largura méda. 3) Calcular a largura medaa. 4) Calcular a largura modal. 5) Comparar os valores obtdos a partr da dstrbução de freqüêcas com os valores obtdos dretamete o cojuto de dados. 6) Estudar a assmetra da dstrbução. 7) Calcular o 0 o e o 90 o percetís. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

25 Estatístca Notas de Aulas 5 Respostas: ) A dstrbução de freqüêcas fca: ) A largura méda é: 3,0 mm. 3) A largura medaa é: ~ 30,78 mm. 4) A largura modal é: Mo 30,63 mm. Quadro 4. Larguras (em mm) das sépalas observadas em 50 eemplares de flores írs Fote: Fsher (936). Classes Largura (mm) Eemplares Total Fgura 4.4 Hstograma para os dados do Quadro 4.. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

26 Estatístca Notas de Aulas 6 5. MEDIDAS DE DISPERSÃO A prcpal utldade das meddas de tedêca cetral, quado calculadas para determado cojuto de dados, é a determação de valores característcos ou típcos deste cojuto. Etretato, a formação forecda por tas meddas é completa, se ão for acompahada de alguma formação sobre a varabldade dos dados. Esta formação é obtda através do cálculo de meddas de dspersão, ou varabldade. 5. Ampltude Total Seja um cojuto de dados ordeados { (), (),..., () }, ode () e () represetam o valor mímo e o valor mámo, respectvamete, do cojuto. A ampltude total é dada por: R ( (5.) Eemplo 5. A ampltude total para o cojuto de dados do Quadro 4. é: R mm. 5. Desvo Médo Quadro 4. Larguras (em mm) das sépalas observadas em 50 eemplares de flores írs ) () Fote: Fsher (936). Seja um cojuto de dados {,,..., }, ão ecessaramete ordeados. Etão o desvo médo dos valores do cojuto em relação à sua méda é dado por: D (5.) Eemplo 5. O Quadro 5. mostra os teores (%) de vaádo ecotrados em uma amostra de sete estratos de óleo cru etraídas de solo do tpo Wlhelm sadstoe. Quadro 5. Teores de vaádo. Estrato Teor (%) 3,9,7,8 3, 3,5 3,9,7 Fote: Johso e Wcher (988) A méda é 3, 86. O desvo médo é: 3,9 3, ,7 3,86 D 0, Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

27 Estatístca Notas de Aulas 7 Para uma dstrbução de freqüêcas com classes, com freqüêcas smples f,..., f, e potos médos X,..., X, respectvamete, o desvo médo é dado por: D X f (5.3) f Eemplo 5.3 O desvo médo para a dstrbução de freqüêcas dos dados do Quadro 4. é calculado como: A méda é 3,0 mm. Classes Largura (mm) Eemplares Poto Médo (X ) X X f ,5 9,5 38, ,5 6,5 97, ,5 3,5 98, ,5 0,5 4, ,5,48 76, ,5 5,48 7, ,5 8,48 76, ,5,48 34,44 Total 50 57,76 Etão 57,76 D 3, Varâca Seja um cojuto de dados {,,..., }, ão ecessaramete ordeados. Assm como o desvo médo, a varâca é gerada a partr das dfereças dos valores do cojuto de dados em relação à méda do mesmo. Etretato, é ecessáro ter em mete a atureza dos dados estudados, mas especfcamete, se os mesmos costtuem uma população ou uma amostra. Para o prmero caso, e represetado a méda populacoal por µ, a varâca é dada por: ( µ ) σ. (5.4) A fórmula acma pode ser faclmete trasformada para uma epressão mas smples, dada por: σ µ. (5.6) Quado o cojuto de dados {,,..., } represeta uma amostra, calcula-se o estmador corrgdo para a varâca amostral, dado por s ( ). (5.7) O estmador acma também costuma ser represetado por ˆ σ, e a fórmula (5.7) pode ser trasformada para s. (5.8) Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

28 Estatístca Notas de Aulas 8 Eemplo 5.4 Calcular a varâca para a amostra de teores de vaádo, mostrados o Quadro 5.. Quadro 5. Teores de vaádo. Estrato Teor (%) 3,9,7,8 3, 3,5 3,9,7 Fote: Johso e Wcher (988) A méda é 3, 86. Etão, usado a fórmula (5.8): 3,9 +, ,7 (7)(3,86 ) 74,7 7,97 s 0, Para uma dstrbução de freqüêcas com classes, com freqüêcas smples f,..., f, e potos médos X,..., X, respectvamete, a varâca populacoal é dada por: σ X f f µ. (5.9) Para dados amostras, o estmador corrgdo é dado por s X f. (5.0) Eemplo 5.5 Calcular a varâca amostral para os dados da dstrbução de freqüêcas dos dados do Quadro 4.. Classes Largura (mm) Eemplares (f ) Poto Médo (X ) X X f ,5 46, ,5 600,5 9003, ,5 756, ,5 930,5 437, ,5, , ,5 33,5 739, ,5 560,5 404, ,5 806,5 548,75 Total ,5 A méda é 3,0 mm. Etão, usado a fórmula (5.0): 4739,5 (50 )( 3,0 ) 4739, ,06 s 0, Quado ão tem à dsposção uma plalha de cálculo, ou mesmo uma calculadora adequada, pode-se reduzr o esforço para calcular a varâca. Isto é possível através das fórmulas (5.) e (5.3), obtdas a partr das fórmulas (5.9) e (5.0), respectvamete. Para tato basta efetuar a substtução de varável dada por: X A +. (5.) hd Efetuada a substtução as fórmulas (5.9) e (5.0), após coveetes mapulações algébrcas obtém-se as fórmulas dadas por: Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

29 Estatístca Notas de Aulas 9 σ h d f f d f f (5.) d d f f (5.3) s h ( ) Nas fórmulas acma: A poto médo de uma classe de referêca escolhda arbtraramete (em geral escolhe-se a classe modal, sto é, a que possu a maor freqüêca smples). h ampltude de classe (deve ser gual para todas as classes). d desvo da -ésma classe em relação à classe escolhda como classe de referêca. f. Eemplo 5.6 Calcular a varâca amostral para a dstrbução de freqüêcas do eemplo ateror. Escolhedo, arbtraramete, a quarta classe como classe de referêca: Lembrado que h 3 e 50: Classes Largura (mm) Eemplares (f ) d d f d f Total s (3 ) 9 50 (50)(50 ) [,550 0,030 ] 0, Método Breve para o Cálculo da Méda Artmétca A substtução (5.5) aplcada à fórmula da méda, permte a segute trasformação: X f f A h + d f (5.4) f A fórmula (5.4) também é cohecda como Método Breve para o cálculo da méda. 5.4 Desvo Padrão È dado pela raz quadrada da varâca. Deste modo, para o cálculo do desvo padrão, deve-se levar em cosderação a atureza dos dados. È a medda de dspersão mas utlzada para a descrção de dados, jutamete com a méda artmétca. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

30 Estatístca Notas de Aulas Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc. 30 Seja o cojuto de dados {,,..., }, ão ecessaramete ordeados. Se o cojuto represeta uma população, o desvo padrão é dado por: µ σ. (5.5) Se o cojuto represeta uma amostra, o estmador corrgdo é dado por: s. (5.6) Eemplo 5.7 Calcular o desvo padrão para os dados do Quadro 5.. Quadro 5. Teores de vaádo. Estrato Teor (%) 3,9,7,8 3, 3,5 3,9,7 Fote: Johso e Wcher (988) A méda é 86 3,. Etão, usado a fórmula (5.6): 0,533 0,833 7 ) 3, 86 (7 )( 7,7... 3,9 + + s Desvo Padrão para Dados Agrupados em Dstrbuções de Freqüêcas Para uma dstrbução de freqüêcas com classes, com freqüêcas smples f,..., f, e potos médos X,..., X, respectvamete, o desvo padrão populacoal é dado por: µ σ f f X. (5.7) O estmador corrgdo para o desvo padrão amostral é dado por: f X s. (5.8) Para o cálculo do desvo padrão através das fórmulas (5.7) e (5.8) também é possível efetuar a mesma substtução de varável aplcada ao cálculo da varâca. Neste caso as duas fórmulas são trasformadas para: f f d f f d h σ, (5.9) e ) ( f d f d h s. (5.0)

31 Estatístca Notas de Aulas Coefcete de Varação É defdo como a razão etre o desvo padrão e a méda, sto é s CV (5.) Eemplo 5.8 Calcular o coefcete de varação para os dados do Quadro 5.. 0,533 CV 0,649. 3, Eercícos 5.6.) Seja a dstrbução de freqüêcas dos dados do Quadro 3., ou seja: Classe Comprmeto (mm) Flores fac fad fr Poto médo , , , , , , , , , Total 50 Calcular: ) O desvo padrão. ) O coefcete de varação. 5.6.) Repetr o eercíco ateror para os dados da dstrbução de teores de ácdo palmítco. Classe Teores de Ácdo Palmítco (%) Observações (f ) 3,8 -- 5,0 9 5,0 -- 6, 4 3 6, -- 7,4 4 7,4 -- 8, ,6 -- 9, ,8 --,0 4 7,0 --, 8, -- 3,4 7 Total () 0 Respostas: Desvo padrão: s,655 ; Coefcete de varação: CV 0, ASSIMETRIA E CURTOSE Assmetra é o afastameto de uma dstrbução em relação a um valor cetral. Curtose é o achatameto de uma dstrbução. 6. Coefcete de Assmetra Já fo vsto que uma dstrbução de freqüêcas pode ser assmétrca postva, egatva ou smétrca, este caso também chamada dstrbução ormal. Os três casos são lustrados as fguras a segur. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

32 Estatístca Notas de Aulas 3 Fgura 4. Assmetra postva (Mo < ~ < ). Fgura 4. Assmetra egatva (Mo > ~ > ). Fgura 4.3 Dstrbução smétrca (ormal) (Mo ~ ). O coefcete de assmetra de Pearso mede o afastameto que caracterza o tpo de assmetra. Este coefcete é dado por: 3( ~ ) ass. (6.) s Eemplo 5. Calcular o coefcete de assmetra para os dados do Quadro 5.. Depos de ordeados, os valores fcam: Quadro 5. Teores de vaádo (ordeados) Estrato () () (3) (4) (5) (6) (7) Teor (%),7,7,8 3, 3,5 3,9 3,9 Fote: Johso e Wcher (988) A méda é 3,86 e o desvo padrão é s 0,533. A medaa é ~ 3,. Etão: Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

33 Estatístca Notas de Aulas 33 3(3,86 3,) ass 0,748. 0, Coefcete de Curtose O coefcete de curtose mede o achatameto de uma dstrbução de freqüêcas, em comparação com uma dstrbução ormal. Na prátca só é calculado para dstrbuções smétrcas, ou muto apromadamete smétrcas. O coefcete percetílco de curtose é dado por: C P75 P5. (6.) ( P P ) 90 0 Para uma dstrbução ormal, o coefcete de curtose é C 0,63. Se o valor calculado para C é feror a 0,63, dz-se que a dstrbução é leptocúrtca (alogada). Se o valor é superor a 0,63, dz-se que a dstrbução é platcúrtca (achatada). As três stuações são lustradas as Fguras 6., 6. e Fgura 3. Dstrbução leptocúrtca Fgura 3. Dstrbução mesocúrtca. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

34 Estatístca Notas de Aulas Fgura 3.3 Dstrbução platcúrtca. A caracterzação do tpo de curtose aula a avalação da dspersão dos dados do cojuto. Uma dstrbução leptocúrtca possu dspersão baa, equato uma dstrbução platcúrtca possu dspersão elevada, tomado como referêca a dspersão verfcada em uma dstrbução ormal. 6.3 Eercícos 6.3.) Seja a dstrbução de freqüêcas para os dados do Quadro 4.. Isto é, Calcular: ) O coefcete de assmetra de Pearso. ) O coefcete percetílco de curtose. Classes Largura (mm) Eemplares Total 50 Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

35 Estatístca Notas de Aulas 35 EXERCÍCIOS DE REVISÃO O Quadro 6. cotém os teores de ácdo oléco observados em 0 observações de óleos vegetas.,3 5, 6,8 30,4 34,8 5,,7 5, ,9 53,,8 5, 7, 3, 35 54,6,9 5,3 7, 3, 35 55,5 3, 5,3 7, 3, 35 55,9 3, 5,3 7, 3, 35, 56,6 3, 5,5 7,4 3, 35, 57, 3, 5,6 7,8 3,7 35, ,7 8,3 3,7 35,4 58, 4, 5,7 8,3 3,8 35,8 59 4, 5,8 8,3 3,8 37,4 59, 4,4 5,8 9, 3, 37,7 59, 4,4 5,9 9,4 3,6 38,4 59, 4,4 6 9,5 3,9 39,3 59,3 4,5 6 9,6 33,6 39,7 6,6 4,5 6, 9,6 33,6 40, 6,8 4,6 6, 9,8 33,9 4,4 6,6 4,6 6,4 9, ,9 4,7 6,5 30,3 34,4 43,3 77,8 4,9 6,7 30,4 34,5 45,7 80,6 ) Costrur uma dstrbução de freqüêcas para os dados. ) Traçar o hstograma. 3) Calcular a méda artmétca. 4) Calcular a medaa. 5) Calcular a moda. 6) Tato a medaa como a moda podem ser obtdas dretamete o Quadro 6.. Comparar os valores ecotrados pela observação dreta com os valores obtdos pelas fórmulas, os eercícos 4 e 5. 7) Calcular o desvo padrão. 8) Estudar a assmetra da dstrbução. 9) O cálculo do coefcete de curtose é justfcado para este cojuto de dados? Por quê? Algumas respostas: ) Ampltude total: R 58,3; Número de classes: + 3,3log(0) 8 ; Ampltude de classe (R/) : h 7,3. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

36 Estatístca Notas de Aulas TEORIA DA PROBABILIDADE As mas freqüetes aplcações da estatístca evolvem processos de tomada de decsões sob codções de certeza. Este tpo de stuação ocorre, por eemplo, em processos de speção de qualdade. Aqu o tomador de decsões deve decdr, após specoar uma amostra, se um lote de certo produto está coforme parâmetros de qualdade prevamete defdos. Neste caso a certeza decorre de fatores como tamaho da amostra, represetatvdade da mesma e método de speção, etre outros. Esta certeza é tratada pela estatístca com o auílo da teora da probabldade. Na seqüêca apreseta-se uma breve revsão dos prcpas cocetos evolvdos o estudo desta teora. 7. Teora dos Cojutos 7.. Cojuto. É o termo empregado para desgar uma lsta, ou coleção, bem defda de elemetos. Um cojuto é represetado por letra maúscula, equato seus elemetos são represetados por letras músculas. Se um elemeto pertece a um cojuto C, escreve-se C. Caso cotráro, C. Dz se que um cojuto A está cotdo em outro cojuto B, se todos os elemetos de A pertecem também ao cojuto B. Neste caso escreve-se A B, ou B A. A egação para a prmera represetação é A B. Há duas formas de se represetar um cojuto. Pode-se lstar os seus elemetos ou utlzar uma represetação gráfca cohecda como Dagrama de Ve. Seja por eemplo o cojuto C, de todos os resultados observáves o laçameto de um dado. Etão: C {,, 3, 4, 5, 6 } Se um cojuto V ão possu quasquer elemetos, dz-se que o mesmo é vazo. Neste caso podese represetar como V { } ou V Ø. 7.. Operações com Cojutos 7... Uão Sejam A, B e C três cojutos arbtráros. São defdas as segutes operações: a B. A uão dos cojutos A e B é o cojuto formado por todos os elemetos que pertecem a A ou A B { : A B}. Eemplo 7. Seja os cojutos A {,,3,4,5,6,7,8,9} e B {7,8,9,0,,}. Etão a uão de A e B resulta o cojuto A B {,,3,4,5,6,7,8,9,0,, } Itersecção A tersecção dos cojutos A e B é o cojuto formado por todos os elemetos que pertecem a A e a B. A B { A B}. Eemplo 7. A tersecção dos cojutos A e B do eemplo ateror resulta o cojuto A B {7,8,9}. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

37 Estatístca Notas de Aulas Dfereça A dfereça dos cojutos A e B é o cojuto de elemetos de que pertecem ao cojuto A, mas ão ao cojuto B. Se A \ B { : A B}. A B, dz-se que B \ A é o complemeto de A em relação a B. B A Eemplo 7.3 A dfereça dos cojutos A e B dos eemplos aterores resulta o cojuto A \ B {,,3,4,5,6}. Eemplo 7.4 Sejam os cojutos X {,3,4,5,6,7} e Y {4,5,6}. Etão o complemeto de Y em relação a X é X \ Y {,3,7} Cojutos Ftos e Eumeráves Dz-se que um cojuto A é fto quado é formado por elemetos, ode é um úmero tero postvo. Dz-se que um cojuto é eumerável quado é possível atrbur uma seqüêca aos seus elemetos. Eemplo 7.5 Seja X o cojuto de todos os possíves resultados observáves o laçameto de um dado. Neste caso, X {,,3,4,5,6} é fto e eumerável. Eemplo 7.6 Seja I o cojuto de todos os úmeros reas compreeddos etre 0 e. Etão o cojuto dado por I { : 0 < < } ão é fto e em eumerável. Eemplo 7.7 Seja P o cojuto de todos os úmeros teros postvos ímpares. Etão o cojuto dado por P {,3,5,...} é fto e eumerável Produto Cartesao Sejam dos cojutos, A e B. O produto cartesao de A e B, represetado por A B é o cojuto de todos os pares ordeados (, y) ode pertece a A e y pertece a B. A B {(, y) : A y B} Eemplo 7.8 Sejam os cojutos A {,4,6} e B {5,7}. Etão o produto cartesao é o cojuto dado por A B {(,5), (,7), (4,5), (4,7), (6,5), (6,7)} Classes Há stuações as quas os elemetos de um cojuto também são cojutos. Seja por eemplo o cojuto dos úmeros aturas, IN. O subcojuto de todos os múltplos de 7 forma um cojuto. Seja um cojuto A. Uma classe de A é um cojuto de subcojutos de A. Eemplo 7.9 Seja o cojuto A {,,3,4,5,6,7,8,9,0}. Algumas classes de A são dadas por: [{,3,5,7,9}, {,4,6,8,0}, {,,3,4}], [{,3,5}, {7,9}, {,4}, {6,8,0}], [{},{3},{5},{7},{9}]. Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.

38 Estatístca Notas de Aulas Classe Ideada Em algumas stuações utlza-se a epressão classe deada de cojutos, cuja otação geralmete é { A : I}. Neste caso deseja-se esclarecer que a cada elemeto de I correspode um cojuto A. O cojuto I é chamado cojuto dos ídces, e os cojutos A são os cojutos deados por I. Quado I é subcojuto do cojuto IN, dos úmeros aturas, a classe deada {A, A,... } é chamada seqüêca de cojutos. O cojuto de elemetos, cada um dos quas pertecete a pelo meos um cojuto A, é chamado uão dos A, e pode ser represetado por U A. O cojuto de elemetos, cada um dos quas pertecete a todos os cojutos A, é chamado tersecção dos A, e pode ser represetado por I A Partção I Seja um cojuto A. Uma partção é uma classe de subcojutos ão vazos e dsjutos deste cojuto. Eemplo 7.0 Seja o cojuto D {,3,4,5,7,8,9}. Uma partção de D é [{,3,4}, {5,7}, {8,9}]. Por outro lado, a classe [{,3,4}, {4,5,7}, {8,9}] ão é uma partção, pos o elemeto 4 pertece a dos subcojutos σ Álgebra I Sejam um cojuto A e uma classe A ão vaza de subcojutos de uma σ álgebra se: U I A. Dz-se que A é. O complemeto de qualquer cojuto de A pertece a A.. A uão de um úmero fto, e eumerável, de cojutos de A pertece a A. 7. Téccas de Cotagem De acordo com o prcípo fudametal da cotagem, se um procedmeto pode ser eecutado de m modos possíves, e um segudo procedmeto pode ser eecutado de modos possíves, etão o úmero de modos pelos quas é possível eecutar os dos procedmetos é m.. Eemplo 7. Seja um epermeto que cosste em laçar um dado e, a seqüêca, uma moeda. Etão o úmero de possíves resultados é 6.. Eemplo 7. Quatas placas com três letras segudas de quatro algarsmos podem ser cofeccoadas, sabedo que ehuma placa possu quatro algarsmos guas a zero? Neste caso pode-se cosderar que há 6 letras dspoíves (cludo, w e y) e 0 algarsmos, 0,..., 9. Como ehuma placa pode ter quatro algarsmos guas a zero, para a últma posção há ove algarsmos possíves. Etão o total de placas possíves é: Fatoral Seja um úmero tero postvo. O fatoral de é dado por: É possível demostrar que 0!.! ( )( )... (7.) Eemplo 7.3 5! ; 8! / 6! (8.7.6!) / 6! Professor Iáco Adrus Gumarães, DSc.