Conceitos Iniciais de Estatística Módulo 4 : GENERALIDADES SOBRE ESTATÍSTICA DESCRITIVA Prof. Rogério Rodrigues

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1 Cocetos Icas de Estatístca Módulo 4 : GENERALIDADES SOBRE ESTATÍSTICA DESCRITIVA Pro. Rogéro Rodrgues

2 CONCEITOS INICIAIS DE ESTATÍSTICA: GENERALIDADES SOBRE ESTATÍSTICA DESCRITIVA CURSO : ADMINISTRAÇÃO PERÍODO : 4 o =========================================================================== 1) ESTATÍSTICA DESCRITIVA & ESTATÍSTICA INFERENCIAL : Como sabemos, a Estatístca é a cêca que lda com dados; etão ela evolve a coleta desses dados, a classcação, a sumarzação, a orgazação, a aálse e a terpretação desses dados. Nesse mster, a Estatístca tem duas retes báscas de abordagem: Descrção e Ierêca. 1.1) A Estatístca Descrtva é a rete de abordagem que cuda da orgazação, da sumarzação e da descrção de um cojuto de dados. Fazem parte desse cojuto de procedmetos o cálculo de meddas de posção e de dspersão, a costrução de tabelas e a costrução de grácos. Exemplo Ilustratvo 1: Cosdere uma coleta de dados realzada uma classe de 50 aluos, cujo objetvo o o levatameto do úmero de pessoas do grupo amlar de cada um desses dvíduos. O etrevstador, depos das etrevstas, sau com a segute plalha de dados: Como esses dados, desagrupados como se apresetam, têm pouca expressão objetva, o pesqusador resolveu tabulálos com as meddas legedadas a segur: requêca absoluta x cada uma das varáves ( úmero de pessoas de cada grupo amlar) r requêca relatva F b requêca acumulada para baxo F c requêca acumulada para cma F br requêca relatva acumulada para baxo F cr requêca relatva acumulada para cma x desvo em relação à méda = x méda d M Desvo médo S Varâca S Desvo Padrão C V Coecete de varação x. x r (%) F b F br (%) F c F cr (%) x. x. x ,76 13,8 38, ,76,56 18, ,76 8,36 6, ,4 4,6 55, ,4 9,9 1, ,4 0,16 45,16 TOTAL ,44 175,68 1

3 Meddas de Posção (tedêca cetral): a) Méda =.x 188 = = 3, b) Moda = 3 ou 4 pessoas (bmodal). c) Medaa = 4 pessoas. Meddas de dspersão a) d M. x 87,44 = = = 1, b) S. x = 175,68 = = 3,59. c) S = S = 3, 59 = 1,9. Represetação Gráca (Hstograma): GRUPOS FAMILIARES NÚMERO DE FAMÍLIAS NÚMERO DE PESSOAS POR FAMÍLIA Todos os procedmetos gerados a partr da plalha prmtva, requêcas, meddas e gráco lustram a abordagem da Estatístca Descrtva. 1.) A Estatístca Ierecal cuda dos métodos que toram possível estudar as característcas de uma população com base em uma amostra dessa população. Seu objetvo de pota é estabelecer codções de coabldade de erêcas sobre atrbutos de uma população através de um processo de amostragem. Para sso, a Teora das Probabldades provê e regula a possbldade de acerto, de modo que os resultados obtdos com uma amostra reltam, de ato, os resultados característcos da população. Exemplo Ilustratvo : Numa pesqusa sobre o processo eletoral o Brasl, os sttutos ecarregados dessa tarea uca etrevstam todos os eletores da regão ode ocorre a pesqusa, ou seja, ão é toda a população que é etrevstada, mas uma amostra crterosamete escolhda dessa população. Com base as respostas dessa amostra, os resultados são eteddos a toda população, depos de aálse crterosa e metódca, em que as probabldades de cada caddato são vercadas, clusve com marges de erros determadas.

4 ) COMPLEMENTOS PARA A ESTATÍSTICA DESCRITIVA : 3.1) Sobre as Meddas de Posção Separatrzes : A determação da Medaa de uma sére de varáves mplca o estabelecmeto de uma varável que ocupa a posção cetral, quado essas varáves estão ordeadas, e, cosequetemete, dvde o grupo de varáves em dos subgrupos: o subgrupo das varáves meores ou guas à medaa e o subgrupo das varáves maores ou guas à Medaa. Exemplo Ilustratvo 3: As dades das 11 moças que trabalham em uma repartção públca são dadas pela tabela: Ordeado crescetemete essas dades, temse: , em que ocupa a posção cetral e separa os subgrupos (meores ou guas a ) e (maores ou guas a ). A medaa é. De modo aálogo, uma sére de varáves pode ser dvdda em 4 subgrupos (Quarts), subgrupos (Decs) ou 0 subgrupos (Percets)..1.1) Quarts : A sére de varáves ca assm dvdda : Q 1 Q = Md Q % 5% 50% 75% 0% Fórmula para determar o 1 o quartl: Q 1 = λ F b.at.h Fórmula para determar o 3 o quartl: Q 3 = λ F b.at.h Exemplo Ilustratvo 4: A dstrbução abaxo regstra as dades de 56 pessoas de uma grade amíla. Determe todos os quarts dessa dstrbução. IDADES (aos) F b [7, 17[ 6 6 [17, 7[ 15 1 [7, 37[ 0 41 [37, 47[ 51 [47, 57[

5 4 1 o 56 ) Como = 56 varáves, temse que = = 14 o termo Na colua de F b detcamos a classe Q 1, 4 4 ou seja, a classe em que F b 14. Etão, temse a a classe: λ 1 = 17; o 56 ) Como = 56 varáves, temse que = = 8 o termo Na colua de F b detcamos a classe Q, ou seja, a classe em que F b 8. Etão, temse a 3 a classe: λ = 7; 3 o ) Como = 56 varáves, temse que = = 4 o Na colua de F b detcamos a classe Q 3, ou 4 4 seja, a classe em que F b 4. Etão, temse a 4 a classe: λ 3 = 37; Aplcadose as órmulas, temse: 14 6 Q 1 = =, Q = Q 3 = = 30,5 = 38 Etão, podemos armar que: 5% das varáves observadas estão etre 7 aos e,33 aos; 5% das varáves observadas estão etre,33 aos e 30,5 aos; 5% das varáves observadas estão etre 30,5 aos e 38 aos; 5% das varáves observadas estão etre 38 aos e 57 aos; 7,33 30, % 5% 5% 5%.1.) Decs : A sére de varáves ca dvdda em subgrupos de % em %. Cada decl é calculado de modo aálogo aos quarts, pela órmula: D = λ + F b.at.h

6 5.1.3) Percets : A sére de varáves ca dvdda em 0 subgrupos de 1% em 1%. Cada Percetl é calculado de modo aálogo aos decs, pela órmula: P = λ + 0 F b.at.h Exemplo Ilustratvo 5: Determar o 4 o decl e o 7 o percetl da dstrbução abaxo. A dstrbução regstra o úmero de gools de 40 artlheros teracoas. N o DE GOOLS F b [4, 9[ 8 8 [9, 14[ 1 0 [14, 19[ [19, 4[ Sabese que = = = 16 λ4 = 9, 7.40 = = 8,8 λ F b.at = 14, F = 8 e h = 5 b.at = 0 e h = 5 (16 8).5 Etão, D 4 = 9 + = 1,33 e P 7 = ( 8,8 0).5 17 = 16,59 OBS : A Medaa sempre está etre os lmtes λ e L da classe medaa, equato F b.post. Numa regra de três, podese escrever que Md λ = L λ F b F F b.at b.at está etre Fb.at e, em que L λ = h e F b Fb.at =. Daí, temse ( Md ). Fb.at. h = F b.at.h λ (Md λ ) = que será a F b.at.h órmula Md = λ + Exercíco Proposto: Em cada sére de varáves apresetadas a segur, determe o que se pede. a) A medaa, os quarts e o sexto decl das otas de Estatístca de 35 aluos, dadas o quadro a segur:

7 b) A medaa, os quarts, 0 tercero decl e o vgésmo percetl das massas, em kg, de 180 pacetes de uma clíca: MASSAS N O DE PACIENTES F b TOTAL 180 c) A medaa, os quarts, o sétmo decl e o octogésmo percetl dos saláros de ucoáros de uma empresa: SALÁRIOS b TOTAL = d) A medaa, os quarts, o quarto decl e o trgésmo percetl do úmero de jogos realzados por 45 jogadores prossoas: JOGOS b TOTAL = 45 e) A medaa, os quarts, o oo decl e o sexagésmo quto percetl das cotrbuções de 11 empregados ao INSS, assm dstrbuídos por classe: [54, 74[ 1, [74, 94[ 11, [94, 114[ 11, [114, 134[ 13, [134, 154[ 16, [154, 174[ 19, [174, 194[ 1 e [194, 14[ 18.

8 .) Sobre as Meddas de Dspersão : 7..1) Sobre a Varâca amostral : A varâca S é, geercamete, a soma dos quadrados dos desvos das varáves, em relação à méda dessas varáves, dvdda pelo úmero de varáves, para varáves ão agrupadas, ou seja, S = (x x) Nessa órmula, podese desevolver o somatóro ( x x) como (x + x x x) = x + x x ( x )( x ) x x = x x x x + = x + = x. x 1. Etão, temse S = x para varáves ão agrupadas. Para varáves agrupadas, basta acrescetar o ator relatvo à requêca absoluta, ou seja, S =.(x x) = 1.x.x Lembrese que =..) Sobre o Desvo Padrão : Como o desvo padrão é a raz quadrada da varâca, temos etão:.(x x) 1 S = =.x.x Observação Importate : No desevolvmeto ateror da órmula da varâca, a últma etapa, que o S x ( 1) x = x pode ser escrta como S = para varáves ão agrupadas. Essa ( 1) expressão mplca que o desvo padrão é S = x ; sso parece razoável quado as varáves são represetatvas da população e ão da amostra. Por sso, aplcase a correção de Bessel, que cosdera o deomador 1 o lugar de. Etão, temse: POPULAÇÃO S 1 = x VARIÂNCIA. ( x. ) DESVIO PADRÃO 1 S = x. ( x. ) AMOSTRA S 1 = x 1. ( x. ) 1 S = x 1. ( x. )

9 ..3) Iterpretação do Desvo Padrão : 8 a) Regra Empírca: Veja a tabela abaxo, cosderado uma dstrbução amostral com méda x e desvo padrão S. INTERVALO CONTEUDO DO INTERVALO DISTRIBUIÇÕES APROX. SIMÉTRICAS x ± S Etre 60% e 80% de todas as varáves amostras 70% de todas as varáves amostras DISTRIBUIÇÕES FORT. SIMÉTRICAS 90% de todas as varáves amostras INTERVALO x ± S CONTEUDO DO INTERVALO PARA DISTRIBUIÇÕE SIMÉT. 95% de todas as varáves amostras CONTEÚDO P/ DIST. COM ASSIMETRIA EL. 0% de todas as varáves amostras INTERVALO x ± 3S CONTEUDO DO INTERVALO PARA DISTRIBUIÇÕE SIMÉT. 0% de todas as varáves amostras b) Teorema de Tchebyche : Para qualquer dstrbução amostral com méda x e desvo padrão S: O tervalo O tervalo x ± S cotém, o mímo, 75% de todas as varáves amostras. x ± 3S cotém, o mímo, 89% de todas as varáves amostras. Exemplo Ilustratvo 6: Calcular a varâca e o desvo padrão do úmero de gools de 40 jogadores de utebol prossoal ao logo de um mesmo período. Iterpretar depos o desvo padrão da dstrbução pelas duas regras aterores. N o DE GOOLS x.x M x M. [4, 9[ 8 6, [9, 14[ 1 11, [14, 19[ 17 16,5 80,5 4.68,5 [19, 4[ 3 1,5 64, , ,00 1 o 535 ) A méda amostral será = 13,38 gols. 40 o 1 (535) ) A varâca será S = = 0,11 desvo padrão S = 4,48 gols o ) x ± S = 13,38 ± 4,48 = (8,9 ; 17,86) etre 9 e 18 gols há 9 jogadores 9/40 = 7,5% x ± S = 13,38 ± 8,96 = (4,4 ;,34) etre 4 e gols há 37 jogadores 37/40 = 9,5% x ± 3S = 13,38 ± 13,44 = (0,06 ; 6,8) etre 0 e 6 gols há 40 jogadores 0% Os resultados cormam o crtéros empírco e de Tchebyche.

10 Exercíco Proposto: Calcular a varâca e o desvo padrão de cada sére de dados a segur. Iterpretar depos o desvo padrão da dstrbução pelas duas regras aterores. a) Notas de Estatístca de 35 aluos: b) Massas, em kg, de 180 pacetes de uma clíca: MASSAS N O DE PACIENTES.x x TOTAL 180 c) Saláros de ucoáros de uma empresa: SALÁRIOS.x x TOTAL = d) Número de jogos realzados por 45 jogadores prossoas: JOGOS.x x TOTAL = 45 e) Cotrbuções de 11 empregados ao INSS, assm dstrbuídos por classe: [54, 74[ 1, [74, 94[ 11, [94, 114[ 11, [114, 134[ 13, [134, 154[ 16, [154, 174[ 19, [174, 194[ 1 e [194, 14[ 18.

11 .3) Sobre as Meddas de Assmetra e Curtose :.3.1) Assmetra : Uma dstrbução é smétrca quado cocdem a méda, a moda e a medaa. Etão, a assmetra acotece quado há dvergêca etre essas meddas. Cosderado a méda x, a moda Mo e a medaa Md, temse: Gráco de dstrbução smétrca Gráco de dstrbução Gráco de dstrbução Assmétrca postva Assmétrca egatva (à dreta) (à esquerda) Com base essas relações etre a méda e a moda, podese, com a dereça M = x Mo, determar o tpo de assmetra: Se M = 0 D. Smétrca Se M < 0 Assmetra egatva Se M > 0 Assmetra postva Exemplo Ilustratvo 7: Sejam as dstrbuções D 1, D e D 3, dadas a segur: DISTRIBUIÇÃO D 1 IDADES (aos) [, 6[ 6 [6, [ 1 [, 14[ 4 [14, 18[ 1 [18, [ 6 60 x =1 aos MD = 1 aos Moda = 1 aos M = 1 1 = 0 SIMÉTRICA

12 11 DISTRIBUIÇÃO D IDADES (aos) [, 6[ 6 [6, [ 1 [, 14[ 4 [14, 18[ 30 [18, [ 6 78 x =1,9 aos MD = 13,5 aos Moda = 16 aos M = 1,9 16 = 3,1 aos ASSIMÉTRICA NEGATIVA DISTRIBUIÇÃO D 3 IDADES (aos) [, 6[ 6 [6, [ 30 [, 14[ 4 [14, 18[ 1 [18, [ 6 78 x =11,1 aos MD =,5 aos Moda = 8 aos M = 11,1 8 = 3,1 aos ASSIMÉTRICA POSITIVA Vejamos os grácos dessas dstrbuções :.3.1.1) coecete de Assmetra de Pearso: As = 3(x Md) S Se 0,15 < As < 1 ASSIMETRIA MODERADA. Se As > 1 ASSIMETRIA FORTE. Exemplo Ilustratvo 8: Para as dstrbuções aterores, temse: S(D 1 ) = 4,4, S(D ) = 4,0 e S(D 1 ) = = 4,0. Etão, os coecetes de assmetra serão:

13 1 3(1 1) D 1 As = = 0 SIMÉTRIA 4,4 3(1,9 13,5) D As = = 0, 40 ASSIMÉTRIA NEGATIVA 4,0 3(11,1,5) D 3 As = = 0, 49 ASSIMÉTRIA POSITIVA 4,0 Exercíco proposto: Avale a assmetra de cada dstrbução a segur, usado os dos métodos abordados. a) Notas de Estatístca de 35 aluos: b) Massas, em kg, de 180 pacetes de uma clíca: MASSAS N O DE PACIENTES.x x TOTAL 180 c) Saláros de ucoáros de uma empresa: SALÁRIOS x.x x. b TOTAL =

14 d) Número de jogos realzados por 45 jogadores prossoas: 13 JOGOS x.x x. b TOTAL = 45 e) Cotrbuções de 11 empregados ao INSS, assm dstrbuídos por classe: [54, 74[ 1, [74, 94[ 11, [94, 114[ 11, [114, 134[ 13, [134, 154[ 16, [154, 174[ 19, [174, 194[ 1 e [194, 14[ ) Curtose : É o grau de achatameto da curva de uma dstrbução em relação a uma dstrbução padrão, chamada de curva ormal ou mesocúrtca. A curva mas estreta que a ormal recebe o ome de leptocúrtca e a mas aberta que a ormal é a platcúrtca..3..1) Coecete de Curtose : Q C = (P 3 90 Q P 1 ) Em que C é o coecete percetílco de curtose ( para a curva ormal, C = 0,63); Q 1 e Q 3 são quarts, P e P 90 são percets. Ada temos que: Para a curva leptocúrtca, C < 0,63 e Para a curva platcúrtca, C > 0,63. Exemplo Ilustratvo 9: Para a dstrbução abaxo, calcule o grau de curtose e classque a curva em relação à ormal. Determe também o tpo de assmetra dessa curva. IDADES (aos) x F b.x x. [7, 17[ [17, 7[ [7, 37[ [37, 47[ [47, 57[ x = = 30, 75 aos. 56

15 5. Mo = 7 + = 30,33 aos Md = 7 + ( 8 1). 0 = 30,5 aos. S 1 (1.7) = = 13,86 S = = 11,13 aos (14 6). Quartl 1 : = 14, λ 1 = 17, F.at = 6 e 1 = 15 Q1 = 17 + = (4 41). Quartl 3 : = 4, λ = 37, F.at = 41 e 3 = Q 3 = =,33 aos 38 aos (5,6 0). Percetl : = 5,6, λ = 7, F.at = 0 e = 6 P = 7 + = 16,33 aos 0 6 (50,4 41). Percetl 90 : = 50,4, λ = 37, F.at = 41 e = P90 = 37 + = 46,4 aos 0 3.(30,75 30,5) As = = 0, 0673 e M = 30,75 30,33 = 0,4 Leve assmetra à dreta, quase 11,13 smétrca. (38,33) 15,67 C = = = 0,61 Curva leptocúrtca, quase ormal. (46,4 16,33) 60,14 Exemplo de Recclagem do módulo 4: 1+ 5 O úmero, aproxmadamete gual a 1,618, é cohecdo como Número de ouro, pos, segudo a cocepção do classcsmo grego, tem sua orgem a dvsão de um todo em duas partes, tas que a meor caba a maor o mesmo úmero de vezes que esta caba o todo. Costatase a preseça deste úmero a morologa dos seres vvos. Um exemplo dsso é a razão etre o comprmeto total das duas prmeras alages de um dedo humao e o comprmeto da tercera alage do mesmo dedo. Um proessor resolveu usar a sua turma de 4 aluos como amostra. Para azer a coleta de dados, ele medu os dedos de todos da turma e calculou a razão etre as alages. Os resultados das proporções costatadas estão ordeadas a tabela abaxo:. 1,5 1,7 1,8 1,8 1,9 1,30 1,3 1,33 1,33 1,35 1,36 1,36 1,37 1,38 1,38 1,38 1,39 1,40 1,4 1,44 1,44 1,47 1,5 1,54 1,57 1,6 1,63 1,63 1,63 1,64 1,64 1,64 1,65 1,65 1,66 1,66 1,67 1,68 1,68 1,69 1,71 1,7 Costrur uma dstrbução com classes que possblte determar a méda dessas varáves, sua moda, sua medaa, sua varâca, seu desvo padrão, seu coecete de varação, sua medda e tpo de assmetra, sua medda de curtose e o tpo de curva gerada pela dstrbução.

16 Resolução: 15 A tabulação desses dados, em orma de dstrbução com classes, cou assm: RAZÂO 1 x M.x M (x M x ). (x M x ) F b 1 [1,5 ; 1,33[ 7 1,9 9,03 0,04 0,8 7 [1,33 ; 1,41[ 11 1,37 15,07 0,0144 0, [1,41 ; 1,49[ 4 1,45 5,80 0,0016 0, [1,49 ; 1,57[ 1,53 3,06 0,0016 0, [1,57 ; 1,65[ 8 1,61 1,88 0,0144 0, [1,65 ; 1,73[ 1,69 16,90 0,04 0,40 4 TOTAIS 4 6,74 0,963 Etão, teremos: 1 o ).xm o ) s =,, 1,49. 0,03 s = 0,15. 3 o ) O tervalo x s é 1,34 x 1,64 e cotém 3 dos 4 dados, ou seja, 54,76% da amostra; O tervalo x s é 1,19 x 1,79 e cotém os 4 dados, ou seja, 0% da amostra. 4 o ) A moda da dstrbução é Mo = 1,33., = 1,36. 5 o ) A medaa da dstrbução será Md = 1,41 +., = 1,47. 5 o )O coecete de varação será C V =,, x 0% =,1%. 7 o ) Quato à assmetra do hstograma, temos Pela dereça M = = 1,49 1,36 = 0,13 Assmetra à dreta. 3(x Md) Pelo coecete de assmetra de Pearso: As = = 3.. 1,49 1,47 47 = 0,4 Assmetra à S, dreta (leve assmetra). 8 o ) Quato à medda de curtose, teremos: a) Q 1 = 1,33 +,., b) P = 1,5 +,., c) Pelo coecete de curtose = 1,35 e Q 3 = 1,57 +,., = 1,34 e P 90 = 1,65 +,., Q Q 3 1 C = = (P P ) 90,,,, = 1,65 = 1,70 = 0,4 curva platcúrtca. Exercíco proposto: Para cada dstrbução do Exercíco proposto da pága 9, verque a assmetra pelos dos processos estudados e classque a curva quato à curtose.