Estatística Descritiva

Transcrição

1 Estatístca Descrtva Cocetos Báscos Poulação ou Uverso Estatístco: coj. de elemetos sobre o qual cde o estudo estatístco; Característca Estatístca ou Atrbuto: a característca que se observa os elemetos da oulação; Modaldades (comatíves e eaustvas): as dversas formas em que se areseta a característca estatístca; Amostra: subcojuto fto da oulação (razões ara a recolha de uma amostra: dmesão ecessva da oulação, estudo de atureza destrutva, ecooma e temo) Eemlos: ) O Gestor de rodução de uma fábrca retede ter uma dea da ercetagem de eças defetuosas que a fábrca roduzu em determado eríodo de temo. A oulação em estudo é costtuída or todas as eças roduzdas ela fábrca durate aquele eríodo de temo. A característca estatístca tem aeas duas modaldades: eça defetuosa e eça ão defetuosa.

2 Estatístca Descrtva ) Num estudo de mercado ara costrução de um cetro comercal, teressa estudar o redmeto famlar mesal dos habtates de uma determada cdade. A oulação é costtuída elas famílas daquela cdade e a característca estatístca é o redmeto famlar mesal. As modaldades do redmeto famlar mesal ão se odem eumerar; são todos os valores desde, or eemlo, 50 euros até 5000 euros. 3) Uma determada emresa retede realzar um quérto aos seus trabalhadores, ode lhes é eddo ara classfcarem a qualdade do servço do bar/refetóro segudo a segute escala: fraco, razoável, bom ou muto bom. Os trabalhadores da fábrca costtuem a oulação em estudo, e a característca estatístca é a oão acerca da qualdade do servço do bar/refetóro. Neste estudo o atrbuto ode mafestar-se as segutes modaldades: fraco, razoável, bom ou muto bom.

3 Tos de Dados estatístcos. Estatístca Descrtva Quattatvos (e.g., o úmero dáro de ascmetos o hostal de Vseu ou a altura dos aluas da ESTV): Dscretos (úmero fto ou fto umerável de modaldades; e.g., o úmero dáro de ascmetos o hostal de Vseu) Cotíuos (ode assumr qualquer valor um tervalo de úmeros reas; a dstção etre os dos é or vezes arbtrára; e.g., altura de um aluo da ESTV) Qualtatvos (e.g., cor dos cabelos, estado cvl)

4 Escalas de medda de dados estatístcos Estatístca Descrtva Escala Nomal (dados qualtatvos): aresetam-se em dferetes categoras ou classes, ão ordeáves. Eemlos: - Estado cvl dos emregados de uma emresa; - Relgão; - Cor de cabelos; - Os úmeros das camsolas dos futebolstas; - Seo dos dvíduos de uma oulação (característca dcotómca ou bára); - Numa sodagem de oão, a resosta à erguta É a favor da desealzação do aborto? (característca dcotómca ou bára). Para ldar com este to de dados é frequete atrbur um códgo umérco a cada categora da característca em estudo, mas cudado! ão faz qualquer setdo usar oerações artmétcas e calcular médas, desvos adrões, etc..

5 Estatístca Descrtva Escala Ordal (dados qualtatvos): as dversas categoras ossuem uma ordem tríseca (os códgos umércos devem ter em cota essa ordem). Eemlos: O sstema de graduação mltar: Soldado, Cabo, Sargeto,... Num quérto de oão ede-se às essoas que classfquem um determado roduto como sedo, muto fraco, fraco, razoável, bom ou muto bom. (escala de Lkert). Classfcação dos cletes de um baco, segudo o volume de catal que movmetam mesalmete: ouco mortates, mortates ou muto mortates. Classfcação dos aluos de uma escola segudo a sua altura: baos (meos de 55 cm), médos (etre 55 e 70 cm) ou altos (mas de 70 cm).

6 Estatístca Descrtva Escala de Itervalo (dados quattatvos): Os dados odem ser ordeados e a dfereça etre dos valores desta escala ode ser calculada e terretada. Eemlo: Temeratura do ar em graus Fahrehet ou em graus cetígrados F9/5C+3, Dstâcas umercamete guas mlcam as mesmas alterações a característca que está a ser medda (0º C está à mesma dstâca de 5º C, do que 5º C de 30º C). Não odemos atrbur um sgfcado à razão etre dos valores (se a Guarda se regstasse uma temeratura de 40º C sto ão sgfcara que a Guarda estava duas vezes mas calor do que em Vseu) O valor zero ão tem o sgfcado de ada. Não se ode dzer que uma cdade ode se regste uma temeratura de 0º C ão tem qualquer temeratura.

7 Escala de Razões ou de Rácos (dados quattatvos) Estatístca Descrtva Tem todas as característcas de uma escala de tervalo e, além dsso, o valor zero rereseta a ausêca total da característca que está a ser medda. Com dados meddos esta escala, ão só é ossível atrbur um sgfcado à dfereça (dstâca) etre dos valores como também à razão etre eles. Alterações as udades de medda ão afectam os rácos etre dos valores. Eemlos: eso; altura A temeratura do ar ão está defda uma escala de rácos. Note que mas, 0ºC 50ºF e 30ºC 86ºF 0 C 50 F. 30 C 86 F

8 Reresetação de Dados Estatístca Descrtva Poulação ou amostra de dvíduos. Atrbuto A com modaldades: A, A,...,A. Frequêca absoluta ou efectvo da modaldade A, é o º de dvíduos que aresetam a modaldade A. Frequêca relatva da modaldade A f, é a roorção de dvíduos que aresetam a modaldade A, f. e f.

9 Reresetação Tabular Quadros de Frequêcas Estatístca Descrtva Modaldades Frequêcas absolutas A f / f A f / + f +f Frequêcas relatvas Frequêcas absolutas acumuladas Frequêcas relatvas acumuladas M M M M M A P f / f +f +...+f Total - - Eemlo : Os dados que se seguem são relatvos às vedas (em euros) de 30 vededores da ElectroNoLar durate o mês de Outubro assado

10 Tabela de frequêcas - dados ão agruados Freq. absolutas Freq. relatvas f Freq. absolutas acumuladas Freq. relatvas acumuladas /30 3 3/ /30 6 6/ /30 9 9/ /30 5 5/ /30 0 0/ /30 4 4/30 30 /30 6 6/30 40 /30 8 8/30 50 /30 9 9/30 60 /30 30 Total Estatístca Descrtva Tabela de frequêcas com dados agruados. Classes de valores Freq. absolutas Freq. relatvas f Freq. absolutas acum. Freq. relatvas acum. [60, 80[ 3 3/30 3 3/30 [80, 00[ 6 6/30 9 9/30 [00, 0[ /30 0 0/30 [0, 40[ 6 6/30 6 6/30 [40, 60[ 3 3/30 9 9/30 [60, 80[ / /30 Total Os tervalos de classe odem ter a mesma amltude ou amltudes dferetes deededo da atureza dos feómeos a estudar. Agruar os dados mlca erda de formação. Regras rátcas ara a determação do º de classes: Regra de Sturges º de classes +log 0 ()/log 0 () Outra º de classes (usualmete emregue quado >5).

11 Reresetação gráfca Dagrama de barras Dados Não Agruados Polígoo de frequêcas Estatístca Descrtva Frequêca absoluta Vedas Reresetação gráfca das frequêcas acumuladas Frequêca absoluta Vedas Frequêcas relatvas acumuladas 0,8 0,6 0,4 0, Vedas

12 Estatístca Descrtva Dados Agruados Hstograma No hstograma tomamos rectâgulos justaostos, cada um com base roorcoal à amltude da classe resectva e altura h dada or: (frequêcas absolutas) a+ a h f (frequêcas relatvas) a+ a A área de cada rectâgulo é etão roorcoal à frequêca da classe resectva: (frequêcas absolutas) área do - ésmo rectâgulo f (frequêcas relatvas) A área total do hstograma é gual a se foram usadas frequêcas absolutas e gual a se foram usadas frequêcas relatvas. Note-se orém que, quado as classes têm todas a mesma amltude é costume, ara facltar a reresetação, tomar ara altura de cada rectâgulo a frequêca absoluta ou relatva da classe a que reseta.

13 Estatístca Descrtva Hstograma Polígoo de frequêcas Freq. absolutas Vedas Freq. absolutas Vedas Polígoo de frequêcas acumuladas Freq. relatvas acumulada 0,8 0,6 0,4 0, Vedas

14 Meddas Descrtvas Estatístca Descrtva Meddas de Localzação ou de Tedêca Cetral Estas meddas dão-os uma dea do cetro ou localzação da dstrbução dos dados. Méda artmétca Sejam,,..., os valores dsttos de um cojuto de dados, cada um deles com frequêca absoluta e frequêca relatva f. Etão a méda artmétca rereseta-se or e é dada or: f. Para dados agruados em classes toma-se ara o oto médo da -ésma classe; e f serão, aturalmete, a frequêca absoluta e relatva da -ésma classe, resectvamete.

15 Estatístca Descrtva Eemlo : A tabela de frequêcas que se segue é relatva ao úmero de eus roduzdos or da a fábrca MAVOR, ara uma amostra de 30 das. Freq. absoluta Freq. relatva f Freq. abso. acum. Freq. relat. acum.s Total A méda de eus roduzdos daramete, ara os 30 das cosderados é:

16 Estatístca Descrtva Medaa Trata-se do valor que dvde o cojuto de dados, ordeados or ordem crescete, em duas artes guas. Isto é, a medaa, como o róro ome dca, é o oto medao de um cojuto de dados ordeados em ordem crescete. Sejam,,...,, observações ordeadas or ordem crescete dos seus valores, e que costtuem o cojuto de dados em aálse. ( + ) se é mar Me + + se é ar Eemlo, como é ar: Me 4. Para dados agruados em classes, rocuramos a classe medaa, sedo esta tal que a sua frequêca absoluta (res. relatva) acumulada é / (res. /) e a frequêca absoluta (res. relatva) acumulada da classe ateror é < / (res. /). Deos de ecotrada a classe medaa, [a j, a j+ [, ecotra-se a medaa or terolação lear: j / Me a j + ( a j+ a j ) j

17 Moda É o valor mas frequete um cojuto de dados. {, 3, 4, 4, 5} Mo4 (dstrbução umodal); {,, 3, 4, 4, 5} Mo e 4 (dstrbução bmodal); Eemlo Mo4. Estatístca Descrtva Havedo mas de valores modas, a dstrbução dz-se multmodal. Quado os dados estão agruados em classes, a classe modal é aquela que tem maor frequêca or udade de amltude. Nestes casos ão odemos determar o valor eacto da moda os ão sabemos como estão dstrbuídas as observações detro de cada classe. Podemos, o etato, obter uma aromação da Moda usado uma das segutes fórmulas: j+ Fórmula de Kg: Mo a j + ( a j+ a j ) + Fórmula de Czuber: Mo a j j+ j j ( ) ( ) ( a ) j a j + j + + j j j j+ ode, [a j, a j+ [ é a classe modal; j é a freq. abso. desta classe; j+ e j- são, res., a freq. abso. da classe ateror e osteror à modal.

18 Estatístca Descrtva Meddas de Localzação ão Cetral Quats: Q A medaa dvde o cojuto de dados em duas artes guas. Quado o cojuto de dados ordeados é dvddo em 4 artes guas, os otos de dvsão são chamados os quarts: Q /4, º quartl valor que tem cerca de 5% dos dados abao dele; Q /4, º quartl valor que tem cerca de 50% dos dados abao dele trata-se da Medaa; Q 3/4, 3º quartl valor que tem cerca de 75% dos dados abao dele. Podemos ada calcular os quts, decs, ercets, Cálculo do quatl de ordem, Q : Dados ão agruados em classes Sejam,,...,, observações ordeadas or ordem crescete dos seus valores. Se ão é um tero, etão Q k, ode k é o tero medatamete segute a. Caso cotráro, sedo um tero, etão Q ( + + )/. Cálculo do quatl de ordem, Q : Dados agruados em classes Seja [a j, a j+ [ a classe que cotém Q,.e., que cotém o valor ao qual corresode a frequêca absoluta (res. relatva) acumulada de (res. ). Por terolação lear obtém-se Q : Q j a j + j+ j ( a a ) j

19 Posção relatva da méda, medaa e moda As dstrbuções de frequêcas odem ser smétrcas ou ão. Cosderado aeas dstrbuções umodas, temos: Estatístca Descrtva Dstrbuções smétrcas Me Mo Mo < Me < Dstrbuções assmétrcas ostvas A cauda dreta é mas loga e meos abruta do que a esquerda. < Me < Dstrbuções assmétrcas egatvas A cauda esquerda é mas loga e meos abruta do que a dreta Mo Nas dstrbuções assmétrcas os valores etremos da cauda mas loga uam a méda ara o lado dreto. A medaa, como dvde a área em duas artes guas, ara comesar a redução de área o lado abruto, afasta-se também da moda, mas meos do que a méda.

20 Estatístca Descrtva Meddas de Dsersão Eemlo: Duas emresas cocorretes com sede em Vseu, obtveram os segutes lucros os 5 últmos aos: Lucros em udades moetáras (u. m.) Emresa Emresa O lucro médo das duas emresa os últmos 5 aos é o mesmo, 3 u.m., o etato a Emresa areseta uma maor varabldade os lucros do que a Emresa. Emresa Emresa

21 Estatístca Descrtva O tervalo terquarts, [Q /4, Q 3/4 ] cotém 50% das observações. A amltude deste tervalo, amltude terquarts, é uma medda de dsersão. As meddas de dsersão mas utlzadas são o desvo adrão e a varâca que defmos a segur. Sejam,,..., os valores dsttos de um cojuto de dados, cada um deles com frequêca absoluta e frequêca relatva f. Se estes dados costtuem observações fetas sobre toda a oulação, a varâca deota-se or σ e é calculada da segute maera: f ) ( ) ( σ, ou equvaletemete, f σ. Se, elo cotráro, o cojuto de dados costtu uma amostra da oulação, etão a varâca deota-se or s e é dada or: s ) ( s. O desvo adrão é a raz quadrada da varâca e deota-se or σ ou or s.

22 Estatístca Descrtva Eemlo Como dsomos de uma amostra, temos: s. Frequêcas Frequêcas absolutas relatvas f Total Etão a varâca e o desvo adrão são, resectvamete, s ( ) (u.m.) e s u.m..

23 Coefcete de dsersão e de varação Estatístca Descrtva Meddas de dsersão absolutas: eressas a mesma udade dos dados a que se referem Meddas de dsersão relatvas: deedetes da udade de medda dos dados a que se referem A varâca e o desvo adrão são meddas de dsersão absolutas. Se retedermos comarar a dsersão de dos cojutos de dados que ão estejam eressos a mesma udade de medda, teremos de adotar uma medda de dsersão relatva, or eemlo: Coefcete de dsersão: cd s ou σ Coefcete de varação: cvcd 00% Estes coefcetes só se emregam quado a varável toma valores de um só sal.

24 Estatístca Descrtva Mometos Chama-se mometo smles de ordem r ou mometo ordáro de ordem r a k k k f m ' Chama-se mometo cetrado de ordem r a ( ) ( ) k k k f m Se a dstrbução for smétrca os mometos cetrados de ordem ímar são ulos, os ara cada desvo egatvo há um desvo ostvo com o mesmo valor absoluto. Algus mometos: ' o f m o m f m ' ( ) 0 f m ' f m σ ( ) σ f m

25 Coefcetes de assmetra e achatameto Coefcete de assmetra: g Dstrbução smétrca g 0 Dstrbução assmétrca ostva g >0 Dstrbução assmétrca egatva g <0 m 3 3 m Estatístca Descrtva Embora as roosções recírocas ão sejam semre verdaderas é costume tomar g como medda de assmetra. Coefcete de achatameto ou curtose: g m Este coefcete mede o grau de achatameto de uma dstrbução, cosderado em relação ao da dstrbução ormal, ara a qual se tem g 3. Dstrbução mesocúrtca g 3 (achatameto gual ao da ormal) Dstrbução letocúrtca g >3 (achatameto feror ao da ormal) Dstrbução latcúrtca g <3 (achatameto sueror ao da ormal) m 4