MAE 5776 ANÁLISE MULTIVARIADA. Júlia M Pavan Soler
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1 MAE 5776 ANÁLISE MULTIVARIADA Júla M Pava Soler ava@me.us.br º Semestre IME/09
2 Baco de Dados: Dados Multvarados Varáves Udades Amostras j j j j j j : Matrz de Dados resosta do -ésmo dvíduo a j-ésma varável Esaço das udades amostras (dvíduos): Lhas de Esaço das varáves: Coluas de
3 Vetor de Varáves Aleatóras Multdmesoas Seja,,..., uma observação (multvarada) extraída de uma oulação com fução desdade de robabldades f ( ), tal que a fução de dstrbução acumulada é dada or: F ( ) P,...,... f d... d f d Note que: :, F: 0, Seja: E: exermeto aleatóro : cojuto amostral de ossíves resultados de E : álgebra de subcojutos de, P: medda de robabldade sal de tegração -dmesoal Seja,,...,,, uma amostra aleatóra smles de observações de f ( ) defdas o mesmo esaço de robabldade (,, P). Neste caso: F ( ) F P,...,
4 Varáves Aleatóras Multdmesoas,..., Vetor aleatóro de varáves cotíuas:, Fução de dstrbução acumulada cojuta dada or: As varáves,...,, F ( ) são deedetes, se e somete se, ara qualquer F ( ) j F j ( j ). Aalogamete, se e somete se, f ( ) Seja,,..., q q, q, um subcojuto de. A dstrbução margal de do subcojuto de q varáves detre as é dada or: f (,..., )(,..., q)... f (,..., q, q,... ) dq q f X Z ( x z) f f Z ( ) ( z) x q j... d Seja tal que,,..., com X e Z artções de. Etão,, X Z q ara qualquer Z, com f Z ( z) 0, a desdade codcoal q-dmesoal de X (q<), quado Z=z, é dada or: f j ( j )
5 Vetor de Varáves Aleatóras Multdmesoas Vetor aleatóro da -ésma observação:,,...,.,,,..., Matrz de -observações -dmesoas: Amostra aleatóra smles de vetores aleatóros -dmesoas (AAS):,...,, f ( ) f ( ) desdade cojuta: suosção dstrbução multvarada í de observações deedetes f ( ) j f j ( j ) desdade cojuta: suosção de observações deedetes avaladas em varáves deedetes Fução de desdade uvarada
6 Varáves Aleatóras Multdmesoas Seja o vetor aleatóro,,..., ~.,..., E é o vetor de médas oulacoal de, tal que:. j... j f ( ) d... d j,,..., Proredade de leardade: EA b AE b E Cov é a matrz de covarâca oulacoal de. Proredades: 0 E Cova aa a um vetor costate Cov, X E E X EX CovA b AA CovX, Cov(, X ) CovX Z, Cov( X, ) Cov( Z, ) CovX Cov( X ) Cov Cov( X, ) A matrz costate
7 Varáves Aleatóras Multdmesoas Matrz aleatóra (Guta ad Nagar, 000): M j ~ N, M vec N vec M M : matrz de médas vec : vetor de médas de observações em varáves ~ ( ) : matrz de covarâcas Matrzes de covarâca Estruturadas: etre dvíduos () e etre varáves () I I I I I IG g g g jl Observações e varáves deedetes Observações deedetes e correlação uforme etre as varáves Correlação uforme etre observações agruadas em G gruos Correlação ão estruturada etre varáves
8 Dstrbução Normal Multvarada 0, ) ( / / e f Varável (escalar), com dstrbução Normal uvarada de méda e varâca tem desdade dada or: ~ N Notação: e f N,...,, 0, ) ( ~ / / / c d M a desdade é costate em suerfíces ode a dstâca de Mahalaobs é costate. Dstrbução Normal Multvarada com vetor de méda e matrz de covarâca : Geeralzação multvarada ara o vetor aleatóro,...,, Mostre que: ( )... f d d / ~ 0 N I Use:
9 Dstrbução Normal U e Multvarada ,683 0,954, ~ N ~ N Normal Uvarada: Normal Multvarada Bdmesoal,...,, 0, ) ( / / e f / ex ) ( f 0,,
10 Dstrbução Normal Multvarada Defção or caracterzação: 0 ) ( ~ / / / e f N Teorema de Cramér-Wold: A dstrbução de um vetor aleatóro está comletamete determada elo cojuto de todas as dstrbuções udmesoas de combações leares a, com a. a a a N a N ~ ~ Fução Geradora de Mometos da Normal Multvarada: t X t e e E e E t t t t X X t,, Fução Característca da Normal Multvarada: t t t t M t E e e
11 Dstrbução Normal Multvarada Algus Resultados: 0 ) ( ~ / / / e f N q q q q b A A A b A N b A X N,, ~ ~ I N X N 0 ~ ~ / ~ j X j X X 0 deedetes são e ~ B A B A N ~, é lha-ortoormal e I -G G são deedetes q N I G G I q G G
12 Dstrbução Normal Multvarada Algus Resultados: ( ~ N q q). Etão: ~ N N ( ) ( ) q q q q ~. e são deedetes, tal que, ~ N. q dstrbuções margas de são Normas Iq 0 A AB 0. I q B ~ N ( q). Codcoado em, este termo é costate dstrbuções codcoas de são Normas Teorema 3..4 Exemlo 3..: I (Marda et al., 003)
13 Dstrbução Normal Multvarada Dstrbuções Codcoas - Alcação: X,, Z ~ X N Z XX X XZ X Z XZ Z ZZ Dstrbução cojuta de (X,,Z) z Z X Z z Z X XZ ZZ X, Z z ~ N Z ZZ X XX X XZ X Z ZZ XZ Z X Z z z X XZ ZZ Z Z ZZ Z Erros de redção de X e de dado Z=z Dstrbução codcoal de (X,) Z (Edwards, D.000)
14 Dstrbução Normal Multvarada Dstrbuções Codcoas - Alcação: (Edwards, D.000) X,, Z ~ X N Z XX X XZ X Z XZ Z ZZ Dstrbução cojuta de (X,,Z) z Z X Z z Z X XZ ZZ X, Z z ~ N Z ZZ Dstrbução codcoal de (X,) Z XX X X Z XX X X XX X X X Z XX X XX X XZ XX X XZ Matrz de X Z X Z recsão XZ Z ZZ XZ Z ZZ
15 Fução de Verossmlhaça e f L / / / ), ( : Amostra aleatóra smles de tamaho da N (),...,, AAS da N () / / ex jl jl A tr A tr A / ex jl tr S Como,, a meos de um termo costate: Como,, tem-se: /, ex jl L tr S
16 Fução de Verossmlhaça L tr S /, jl ex Assm, o logartmo de L, a meos de um termo costate, é: log L, log jl jl s jk j l *() Alteratvamete: log L, log jl jl s jk j j l l j l *()
17 N (,) - Estmadores Dferecado *() com reseto a e gualado a zero, obtém-se o EMVS de : ˆ ˆ, j, 0 j j,..., Dferecado *() com reseto a jl e gualado a zero, obtém-se o EMVS de : e S s 0 ˆ s ˆ S Ada, como, jl jk f jl jk / /, ex tr S são estatístcas cojutamete sufcetes ara e, resectvamete. log L Mostre que estes estmadores maxmzam logl: ˆ, ˆ log L, 0 Os estmadores ão vcados de e são, resectvamete: e S u
18 ,...,, Dstrbução Amostral é AAS da N () ~ ~ N I vec N I j, Dstrbução amostral de d ~ N ~ N Gaho em recsão
19 ,...,, Dstrbução Amostral é AAS da N () Dstrbução amostral de S H Defção: Se Wshart com graus de lberdade e matrz de escala, tal que: M X X X ~ N 0 I,. Etão M tem dstrbução de M ~ W W Teorema: Se ~ N I e é matrz smétrca, demotete com, C as lhas somado 0, etão, r r trc C ~ W S ~ W H=H, H=HH, trh=-
20 Dstrbução Amostral Teorema: Se ~ N, I. Etão, X AB e Z CD são deedetes se e somete se BD0 ou AC 0. ~ N, S ~ W S H H I H 0 Logo: e S são deedetes.
21 Dstâcas de Mahalaobs Defção: Cosdere ~ N 0, M ~ W, com e M varáves deedetes. Etão: M ~ T Dstrbução T de Hotellg ~ N ~ N / ~ N 0 S ~ W ( ) S ~ W u ( ) S ~ T u ~ S T Teorema 3.5. (Marda et al., 003) T F
22 Regões de Cofaça ara Iferêcas sobre o Vetor de Médas d ~ N f ( ) / / e / 0,,,..., Uma Regão de Cofaça R() ara o vetor de médas da N () é uma regão de valores rováves de, com base a amostra. Ates da amostra ser coletada, esta regão deve satsfazer: P R( ) Uma costrução (atural) desta regão, com base a amostra, é usar meddas de dstâca tas como: S c u São todos os valores de róxmos à evdêca amostral
23 Regões de Cofaça ara Amostra aleatóra da Dstrbução Normal Multvarada: : AAS N 0 ~ N / ~ N 0 ( ) Su ~ W ( ) d S ~ T F M u ( ) Su / P dm ( ) S / c
24 Regões de Cofaça ara Iferêcas sobre o vetor R Su c F,( ) Para determar se algum oto 0 ca a regão R() basta calcular a dstâca geeralzada ao quadrado e comará-la com o valor crítco dado em fução da dstrbução F e do ível de sgfcâca, sto é, μ S μ c F 0 u 0,( ) Regões de Cofaça corresodem a Regões de Acetação em testes de hóteses sobre o vetor.
25 Regões de Cofaça ara Iferêcas sobre o vetor R Su c F,( ) Para determar se algum oto 0 ca a regão R() basta calcular a dstâca geeralzada ao quadrado e comará-la com o valor crítco dado em fução da dstrbução F e do ível de sgfcâca, sto é, μ S μ c F 0 u 0,( ) Regões de Cofaça corresodem a Regões de Acetação em testes de hóteses sobre o vetor.
26 Regões de Cofaça e Testes de Hóteses Taxas de açucar, sódo e otásso saguíeas em 0 mulheres adultas Idv. Açucar Sódo Potásso 3,7 48,5 9,3 5,7 65, 8 3 3,8 47, 0,9 4 3, 53, 5 3, 55,5 9,7 6 4,6 36, 7,9 7,4 4, , 33, 7,6 9 6,7 47,4 8,5 0 5,4 54,,3 3,9 36,9,7 4,5 58,8,3 3 3,5 7,8 9,8 4 4,5 40, 8,4 5,5 3,5 0, 6 8,5 56,4 7, 7 4,5 7,6 8, 8 6,5 5,8 0,9 9 4, 44,, 0 5,5 40,9 9,4 Méda 4,64 45,4 9,97 S,879 0,00 99,798 -,8-5,67 3,68 S R H : 4, 50,0 T 0 0 S 9, F 0 3,(7 ) 0,0 8,8 0,05 0,7 Suoha o teresse a segute hótese: Coclusão: 0,0 T 0,05 T R R rej H 0 ão rej H 0
27 Regões de Cofaça ara o Vetor Uma Úca Poulação Morfometra cefálca ara os dos rmeros flhos de 5 famílas (Evertt, 007) Flho Flho Famíla Comrmeto Perímetro Comrmeto Perímetro d 4,..., 5 4 ~ N 5 4 Estatístcas Descrtvas: 85,7 5, 83,84 49, 4 S u 9, 48 50, ,875 44, 67 5,86 49, 59 33, 65 96, , 78 43,
28 Regões de Cofaça ara o Vetor Uma Úca Poulação Morfometra cefálca ara os dos rmeros flhos de 5 famílas (Evertt, 007) Flho Flho Famíla Comrmeto Perímetro Comrmeto Perímetro d 4,..., 5 4 ~ N 5 4 Dstrbução margal: d, 3 ~ N 3 3 (5 ) R T F3 ( ) (5 ) H 8 0 : 8 Coclusão? 0,0 5,396 Suoha o teresse a segute hótese: T 4,
29 t Itervalos de Cofaça - Regões de Cofaça I. C ( ) t Caso uvarado k k t s a 00( -)% kk / s F,( ) s Q P (Evertt, 007) Caso multvarado R Su c F,( ) ( ) T S ~ F u ( ) P Q P, P Q, Q Com base a evdêca amostral em R(), valores de 0 guas a Q (P) estão a regão de acetação (rejeção) de ossíves valores do arâmetro. Os Itervalos de Cofaça uvarados odem dar decsões dferetes da regão de cofaça. Como reresetar o gráfco a else de cocetração de otos amostras?
30 d ~ N Dstâcas de Mahalaobs ( ) S ~ W ~ N 0 u ~ S T Teorema 3.5. (Marda et al., 003): Resultado: (Johso ad Whcher, 008), é AAS tal que,,,,..., Etão, ara (-) sufcetemete grade, T F E Cov u S ~ u,, 0.
31 Dstâcas de Mahalaobs d ~ ~ N0 N Resultado: (Johso ad Wcher, 008). Sob Normaldade dos dados, ara (-) sufcetemete grade, S ~ ~ P dm ( ) c u c Dagóstco de observações atícas Averguação da hótese de Normaldade dos dados va o Gráfco Ch-Quadrado (Q-Q Plot das Observações).
32 Dstâcas de Mahalaobs lbrar(mass) mu<-c(0,0) sgma<-matrx(c(,,,),col=) <-500 <-mvrorm(,mu,sgma) m<-colmeas() s<-cov() ar(mfrow=c(,)) bvbox(, method ="O") # Co Evertt's bvbox fucto dm<-mahalaobs(,m,s) quats <- qchsq(ots(legth()),df=) qqlot(quats, dm) able(0,)
33 Regões de Cofaça - Duas Poulações Amostras Pareadas Amostra Pareada resostas multvaradas são avaladas a mesma udade amostral em duas codções dferetes (Ex.: Ates e Deos de uma terveção) Duas Poulações,,...,,,...,,,..., d ~ N ~ N d Observações Pareadas Uma Úca Poulação de Dfereças Dj j j j,,...,,,,..., D D, D,..., D ~ N,,..., d D D ( ) T D S D ~ F ( ) D D D, Else de Cofaça:, D D D D R D S D c
34 Regões de Cofaça Duas Poulações Caso Multvarado - Amostras Ideedetes - Homocedastcdade: d ~ N ~ N d D ~ N D S c ( ) Su ( ) S u ( ) T D S D ~ F ( ) D c D (,( )) R D S D c Else de Cofaça:, D D c D
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