TEORIA DE SISTEMAS LINEARES

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1 Ageda. Algebra Liear (Parte I). Ativadades IV Profa. Dra. Letícia Maria Bolzai Poehls /0/00 Potifícia Uiversidade Católica do Rio Grade do Sul PUCRS Faculdade de Egeharia FENG Programa de Pós-Graduação em Egeharia Elétrica PPGEE Porque estudar álgebra liear? Existem uma série de imortates roriedades de sistemas lieares que odem ser escritas através do coceito e otação de vetores Vetores o R : Uma matriz com colua é deomiada vetor colua ou simlismete vetor 4 u w w w Ode w e w são úmeros reais Vetores o R (cot.): O cojuto de todos os vetores com comoetes é deotado or R, ode R rereseta os úmeros reais que aarecem as comoetes dos vetores e o exoete idica o úmero de comoetes Dois vetores do R são iguais sss suas comoetes corresodetes são iguais 4 7 u e são diferetes 7 v 4 Vetores o R (cot.): Dado dois vetores u e v do R, sua soma u+v: u e v etão +

2 Vetores o R (cot.): Dado um vetor v do R e um úmero real c, o múltilo escalar de v or c: v e c etão Vetores o R : Se for um iteiro ositivo, R deota a coleção de todas as listas de úmeros reais, geralmete escritas a forma de uma matriz colua x, tal como: x x x, xi R M x Vetores o R (cot.): Vetor ulo: é um vetor cujas comoetes são iguais a ZERO Proriedades: u + v v + u ( u + v) + w u + ( v + w) u u u u + ( u) u + u 0 c( u + v) cu + cv ( c + d) u cu + du c( du) ( cd) u u u u, v e w são vetores o R e c e d são escalares Combiações Lieares: Dado os vetores v, v,..., v do R e os escalares c, c,..., c, o vetor y defiido or: y c v c v é chamado combiação liear de v,..., v com esos c,..., c Combiações Lieares (cot.): Exemlo: Dado os vetores abaixo, determie se b ode ser gerado como combiação liear de a e a. Isto é determie se existem esos x e x tais que: x a x a b + a a 6 b 7 4 Combiações Lieares (cot.): A equação vetorial (), tem o mesmo cojuto solução do sistema liear cuja matriz comleta é (): xa + xa x a b () [ a... a ] () b Em articular, b ode ser gerado or uma combiação liear de a,... a sss existe uma solução ara o sistema liear corresodete a ()

3 Uma idéia chave da álgebra liear é o estudo do cojuto de todos os vetores que odem ser escritos ou gerados como combiação liear de um cojuto fixo de vetores {v,..., v} Dado v,..., v o R etão o cojuto de todas as combiações lieares de v,..., v é deomiado Sa {v,..., v} e é chamado de subcojuto do R gerado or v,..., v RESUMO: Pergutar se um vetor b está em Sa {v,..., v}, sigifica ergutar se a equação vetorial xv+xv+...+xvb tem solução OU se o sistema liear cuja matriz comleta [v v... V b] tem solução O Sa {v,..., v} é a coleção de todos os vetores que odem ser escritos a forma cv+cv+...+cv, ode c são escalares Equação Matricial (Axb): Defiição: Se A é uma matriz mx com coluas a,..., a e x ertece a R, etão o roduto de A e x, deotado or Ax, é a combiação liear das coluas de A usado as comoetes de x como esos, isto é: x Ax... M +... x [ a a a ] x a + x a + xa Equação Matricial (Axb) (cot.): TEOREMA: Se A é uma matriz mx com coluas a,..., a e b ertece a R, a equação matricial Axb tem o mesmo cojuto solução da equação vetorial: xa + xa x a b Que or sua vez tem o mesmo cojuto solução que o sistema de equações lieares cuja matriz comleta é: [ a a... a b] Existêcia de Soluções: A equação Axb tem solução sss b é uma combiação liear das coluas de A TEOREMA: Seja A uma matriz mx. Etão as seguites afirmações são logicamete equivaletes, isto é, ara uma certa matriz A, ou todas as afirmações são verdadeiras ou todas são falsas: Para cada b do R m, a equação Axb tem solução As coluas de A geram o R m Cada liha de A tem uma osição ivô Existêcia de Soluções (cot.): REGRA: Se o roduto de Ax está defiido, etão a i-ésima comoete de Ax é a soma dos rodutos dos elemetos da liha i de A com as comoetes corresodetes do vetor x r r + 0s + 0t r 0 0 s 0r + s + 0t s 0 0 t 0r + 0s + t t MATRIZ IDENTIDADEI

4 Existêcia de Soluções (cot.): Etão: Existe uma matriz x aáloga escrita algumas vezes como I ou I tal que: Ix x ara todo x do R MATRIZ IDENTIDADE Cojuto de Soluções de Sistemas Lieares: Um sistema liear é homogêeo se ele ode ser escrito a forma Ax0 ode A é uma matriz mx e 0 é o vetor ulo do R m Ax0 tem SEMPRE elo meos uma solução que é vetor ulo do R SOLUÇÃO TRIVIAL Existe uma solução ão trivial? A equação Ax0 tem solução ão trivial sss a equação tem elo meos variável livre Ideedêcia Liear: As equações homogêeas (Ax0) odem ser estudadas como equações vetoriais. Por exemlo: 4 0 x + x + x TEM SOLUÇÃO TRIVIAL VISTO QUE xxx0 Ideedêcia Liear (cot.): Defiição: Um cojuto idexado de vetores {v,..., v} o R é chamado liearmete ideedete se a equação vetorial xv+xv+...+xv, tem aeas SOLUÇÃO TRIVIAL Defiição: Um cojuto {v,..., v} é chamado liearmete deedete se existem costates c,..., c ão todas iguais a zero tais que: c v + cv x v 0 Ideedêcia Liear (cot.): Exemlo:Determie se o cojuto {v, v, v} é liearmete deedete. 4 v, v e v 6 0 Ideedêcia Liear (cot.): Cojuto com um ou dois vetores: Um cojuto com vetor v é liearmete ideedete sss v ão for o vetor ulo. Isso acotece orque a equação vetorial x v0 tem aeas solução trivial quado v 0 O vetor ulo é liearmete deedete orque x 00 tem muitas soluções ão triviais 4

5 Ideedêcia Liear (cot.): Cojuto com dois ou mais vetores: TEOREMA: Um cojuto idexado S{v,..., v } de dois ou mais vetores é liearmete deedete sss elo meos um dos vetores de S é uma combiação liear dos demais. De fato, se S é liearmete deedete, e v 0, etão algum v j (com j>) é uma combiação liear dos vetores ateriores, v,..., v j- Ideedêcia Liear (cot.): RESUMO: Um cojuto de vetores {x, x,..., x m }, xi R é dito liearmete deedete se existe úmeros reais i, tais que: x + x x m m 0 Etretato, se o úico cojuto de i ara que a igualdade acima seja reseitada é... m 0 (solução trivial), etão o cojuto de vetores é dito liearmete ideedete Ideedêcia Liear (cot.): RESUMO: Assim, se o cojuto de vetores a equação () é liearmete deedete, etão existe elo meos i, dito, que é diferete de zero. Etão () imlica: x [ x + x mxm] Combiação liear i ode βi : β x + β x β x m m A dimesão de um esaço liear ode ser defiida como o máximo úmero de vetores liearmete ideedetes o esaço. Etão em R, os odemos achar o máximo de vetores liearmete ideedetes x + x x m m 0 () Base: É o cojuto de vetores LI que formam um esaço vetorial. Por exemlo, ara o R cosidere o seguite cojuto de vetores LI: {q,..., q}. Todo o vetor x R ode ser reescrito da seguite forma: q + q q x Defiido a matriz Q:[q q... q], etão o vetor x ode ser reresetado or: x Q : Qx, ode x é a reresetação do vetor x a base Q M Base (cot.): Etão é ossível associar a cada R a seguite base ortoormal BASE ORTONORMAL: os vetores que comõem a base são as coluas da matriz idetidade (I) 0 0 x x i 0, i 0,..., i 0 x : xi xi... xi I M M M M 0 0 x A reresetação de qualquer veror x com relação a base ortoormal é igual ao rório vetor

6 Norma de Vetores: A orma rereseta é a geeralização do comrimeto ou magitude e rereseta o tamaha de um vetor x. Qualquer fução escalar e real de x, reresetado or x, ode ser defiido como a orma de x se:. x 0, ara qq x e x 0 sss x0. x x, ara qq real. x+x x + x, ara qq x e x Norma de Vetores (cot.): Etão a orma ode ser calculada da seguite forma: NORMA : X : x i i NORMA : X : x x ' i x i NORMA : i i,..., X : max x Norma de Vetores (cot.): A NORMA ou Norma Euclidiaa é a mais utilizada e rereseta o comrimeto do vetor em relação a origem Sistema de Equações Lieares: Cosidere o cojuto de equações abaixo: x + x x β x + x x β M x + x x β O sistema acima ode ser reescrito a forma matricial Axb, ode: Ax b A Ax A b x A b Portato, A - deve existir Sistema de Equações Lieares (cot.): A M M K x β K x β, x, b K M M M K x β Em que situações o sistema acima areseta uma úica solução? Sistema de Equações Lieares (cot.): O Rage Sace de uma matriz A é defiido como todas as ossíveis combiações lieares de todas as coluas de A O Rak (ou osto) de uma matriz A é defiido como a dimesão do Rage Sace, ou de forma equivalete, elo úmero de coluas (ou lihas) liearmete ideedetes de A Um vetor x ertece ao esaço ulo de A se Ax0. Desta forma, o esaço ulo de uma matriz A é formado or todos os vetores x tais que Ax0 6

7 Sistema de Equações Lieares (cot.): A Nullity de uma matriz A é defiida como o úmero máximo de vetores ulos de A liearmete ideedetes. Por isso, se A mx etão: Nullity( A) úmero_ coluas _ A rak( A) O Rak de uma matriz A R xm é defiido como o úmero de lihas ou coluas liearmete ideedetes. Portato, rak(a) mi(,m) Sistema de Equações Lieares (cot.): TEOREMA: () Dada uma matriz A R xm e um vetor b R m, existe um vetor solução x R sss b ertece ao Rage Sace de A: rak(a)rak([a b]) () Dada uma matriz A, a solução x do sistema Axb existe sss A tem Rak m (comleto or lihas). Atividades IV Revisar os seguites tóicos: Determiate Matriz Iversa Fuções de Matlab associadas a álgebra liear 7