TEOREMA DE BAIRE. 1. Conceitos Preliminares Exemplos de Aplicações do Teorema de Baire 5 Referências 8

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1 TEOREMA DE BAIRE JONAS RENAN MOREIRA GOMES BOLSISTA SANTANDER-USP Sumário 1. Coceitos Prelimiares 1 2. Defiição de Espaço de Baire 2 3. Exemplos de Aplicações do Teorema de Baire 5 Referêcias 8 Esse texto é uma reescrita de [1] feito de forma mais detalada. Foi escrito como uma das otas de apresetação para a Profa. Dra. Lucia R. Juqueira, IME-USP, o primeiro semestre de Coceitos Prelimiares Baseado a exposição de 13/03/09 Proposição 1. Seja (X, τ) um espaço topológico. F X tem iterior vazio se, e somete se, X \ F é deso em X. Demostração. F tem iterior vazio O τ F O = O τ O X \ F X \ F é deso em X Defiição 1 (Cojuto G δ e Cojuto F σ ). Seja (X, τ) um espaço topológico. Diremos que A X é um cojuto G δ se A = {X \ A : A τ} (i.e., se A for formado pela itersecção eumerável de cojutos abertos). De forma aáloga, diremos que A é um cojuto F σ se for reuião de cojutos fecados Defiição 2 (Cojuto Magro). Seja (X, τ) um espaço topológico. Diremos que A X é um cojuto magro em X se A está cotido a reuião eumerável de cojutos fecados com iterior vazio. Simbolicamete: A {X \ B : B τ e it(x \ B) = } Proposição 2. Seja (X, τ) um espaço topológico. Se {M } N uma sequêcia de cojutos magros. Etão M é um cojuto magro. 1

2 2 JONAS GOMES Demostração. A idéia da demostração é, como o M é a uião eumerável de cojutos magros, está cotido a uião eumerável de uiões eumeráveis de fecados sem iterior e logo, como a uião eumerável de cojutos eumeráveis é eumerável, está cotido a uião eumerável de fecados sem iterior e assim, é magro. Se A = M, como cada M m {X \ B : B τ e it(x \ B) = } etão A {X \ B : B τ e it(x \ B) = } (,m) Seja f : N N N a iversa de uma eumeração de Q A {X \ B : B τ e it(x \ B) = } Assim A é magro. f 1 (,m) Proposição 3. Seja (X, τ) um espaço topológico e (Y, τ y ) um subespaço topológico. Se A Y é magro em Y, etão A é magro em X. Demostração. A idéia dessa demostração é que os fecados sem iterior de Y estão cotidos em seus próprios fecos em X e esses fecos são fecados e também ão têm iterior. A magro em Y A {F y : F y fecado em Y e it y (F) y = } Assim, A {F y : F y fecado em Y e it y (F) y = } Porque F y y = F y = Y F y Como it y (F y ) = etão it(f y ) = (porque F y Y ). E também Assim Logo Assim A é magro. A = it y (F y ) = it(f y ) Y it(f y ) = {F y : F y fecado e itf y = } A seguir iremos provar algumas equivalêcias sobre cojutos magros e defiir um tipo especial de espaço topológico. 2. Defiição de Espaço de Baire Proposição 4. Seja (X, τ) um espaço topológico, as seguites proposições são equivaletes: EB1 Se {O } é uma sequêcia de abertos desos em X, etão, se G = O, G é deso em X EB2 Se {F } é uma sequêcia de fecados sem iterior, etão M = F ão tem iterior

3 TEOREMA DE BAIRE 3 EB3 Todo cojuto aberto ão vazio de X ão é magro EB4 O complemetar de um cojuto magro de X é deso em X Demostração. (EB1) (EB2) {F } é uma sequêcia de fecados sem iterior e M = F tem iterior vazio {X \F } é uma sequêcia de abertos desos e X \M é deso {X \ F } é uma sequêcia de abertos desos e G = (X \ F ) é deso EB2 EB3 Se M é magro, etão M F e logo M está cotido em um cojuto que ão tem iterior e, logo, M ão tem iterior. Se M é aberto, M é vazio. ão(eb4) ão(eb3) (EB3 EB4) Seja M um cojuto magro cujo complemetar ão seja deso em X. Etão existe um aberto A tal que X \ M A = isto é A M, ou aida itm. Mas itm M. Assim itm é magro, aberto e ão vazio. ão(eb1) ão(eb4) (EB4 EB1) Seja {O } uma sequêcia de cojutos abertos e desos tais que G = O ão seja deso. Etão: X \ G = X \ O = X \ O Mas X \ O são cojutos fecados sem iterior. Assim X \ G também é magro e seu complemetar ão é deso./ Defiição 3 (Espaço de Baire). Dizemos que (X, τ) é um espaço de Baire se satisfizer EB1, EB2, EB3 ou EB4 (pela proposição aterior, se (X, τ) é um espaço de Baire, etão satisfaz todas as outras). Proposição 5. Seja X um espaço de Baire. Etão: (1) Se X é ão magro. (2) Todo aberto A X (com a topologia iduzida de subespaço) é um espaço de Baire. (3) Todo G δ X deso (com a topologia iduzida de subespaço) é um espaço de Baire. (4) Se M X é um cojuto magro, X \ M (com a topologia iduzida de subespaço) é um espaço de Baire. Demostração. (1) Como X é aberto em X, se X é ão vazio, X é ão magro por [EB3]. (2) A idéia aqui é trasferir a sequêcia de abertos desos do subespaço para o espaço. Para isso, precisaremos fortemete do fato de que o subespaço é aberto Supoa que exista uma sequecia {O } de abertos e desos de A tal que O ão deso. Etão, se defiirmos O =

4 4 JONAS GOMES O (X \ A), O são abertos (uião de dois abertos, já que A é aberto). Além disso, provaremos que O são desos em X. Se B é aberto, B O = (B O ) (B \ A) Se B O =, B X \ O. Além disso, B A, porque esse caso teríamos B O. Etão B X \ A. Se B, etão B O. Reciprocamete, se B \ A = etão B A e assim B O pela desidade de O. Assim O é deso em X. Mas {O } = (X \ A) {O } ão é deso em X. (3) Seja G = O, ode O são abertos desos de X e seja {A } uma sequecia de abertos desos em G (e, logo, em X). Etão, A m = G U m, ode {U m } é uma sequêcia de abertos de X. Vamos provar que U m é deso em X. Se B é um aberto de X, B A m = G (B U m ). Se B U m =, A m ão seria deso em X. Logo U m é deso em X. A = G U m m A = O U m m A = O U m (m, ) Mas, para cada m e para cada, O U m é um aberto deso. Assim, como X é espaço de Baire, A é deso em X e em G e, logo, G é subespaço de Baire. (4) X \M é deso, porque X é espaço de Baire G δ deso (podemos tomar G δ como it(x\m) sabemos por (3) que tal G δ é também espaço de Baire) assim, se {A } for uma sequecia de abertos desos em X\M, etão {A } é uma sequêcia de abertos desos em G δ. Assim, A G δ é deso em G δ e, logo, deso em X \ M. Se B for um aberto de X \ M tal que A B =, etão A G δ B = e G δ ão seria espaço de Baire. Teorema 1 (Teorema de Baire). Todo espaço métrico completo com a topologia iduzida pela métrica e todo espaço regular localmete compacto é um espaço de Baire Demostração. Seja X um espaço métrico completo ou um espaço regular localmete compacto. Seja {A } uma sequêcia de cojutos abertos desos em X. Iremos mostrar que, para qualquer aberto O X, A O. Iremos defiir a seguite sequêcia de cojutos abertos ão vazios da seguite forma: fixe O aberto ão vazio de X e tome

5 TEOREMA DE BAIRE 5 a 0 = O. Como A 0 é deso em X, a 0 A 0 é ão vazio e, como X é regular (todo espaço topológico com a topologia iduzida por uma métrica completa é regular), existe a 1 X aberto tal que a 1 a 0 A 0. Dado a, costruiremos a +1 como o cojuto aberto cujo feco está cotido em a A pela regularidade de X. Assim: a = O a +1 O (A a ) O (A a ) O A = O G Assim a O G. Desde que essa itersecção seja ão vazia, osso resultado está provado. Precisamos mostrar que a. Caso 1 (X é um espaço métrico completo). Basta tomar uma sequêcia tal que lim diam(a ) = 0 e a +1 a. Fixado x 0 O, existe uma bola aberta B 0 com cetro x 0 e diâmetro d tal que B 0 O. Vamos tomar a 1 = B 0 O Da mesma forma, fixado x 1 B 0 O existe uma bola aberta B 1 com cetro x 1 e diâmetro d/2 tal que B 1 a 1. Dado o eésimo termo da sequêcia, costruiremos a +1 da seguite forma: tome x +1 a, como a é aberto, etão existe uma bola B +1 de cetro x +1 tal que B +1 a (porque x +1 é poto de acumulação de a ) e diam(b +1 ) < d. Tomaremos a 2 +1 = B +1 a. Como cada x a, e a +1 a, mostraremos que a mostrado que a sequêcia {x } N é covergete. Para tato, mostraremos que é de Caucy. Fixado ɛ R, se tomarmos 0 tal que log( d ɛ ) < log2 0 etão, d(x, x +p ) < d d(x 2, x +p ) < ɛ. Para todo > 0 e todo p N. Assim, x é de Caucy, logo é covergete e a itersecção dos a é ão vazia. Caso 2 (X é um espaço localmete compacto). Se X for um espaço localmete compacto, basta tomar a de forma que a seja compacto. 3. Exemplos de Aplicações do Teorema de Baire Baseado a exposição de 27/03/09 Exemplo 1. Q ão é um espaço de Baire com a topologia iduzida de (R, τ) (ode τ é a topologia usual da reta): seja {q } uma eumeração dos racioais. Etão q = Q e, assim, Q satisfaz ão([eb2]).

6 6 JONAS GOMES Exercício 1. Fixado ɛ > 0, O ɛ idica a reuião eumerável de itervalos abertos tal que Q O ɛ e cuja soma dos comprimetos é meor ou igual a ɛ. Demostrar que o cojuto O 1 cotém úmeros irracioais. Solução 1. R é espaço de Baire (porque é um espaço métrico completo). É óbvio que para cada ɛ O ɛ é deso (se existisse um aberto tal que B B ɛ =, etão B Q =, o que é um absurdo porque Q é deso). Assim, O 1 é G δ deso e é um subespaço de Baire. Se ão ouvesse potos irracioais, teríamos q = O 1, ode {q } é uma eumeração dos racioais. Um absurdo, porque q a uião de uma sequecia de fecados sem iterior e, logo, ão poderia ter iterior (e O 1 é o espaço todo e logo é aberto). Exercício 2. Seja E um espaço vetorial ormado com base algébrica ifiita eumerável (i.e. existe um subcojuto ifiito eumerável B E tal que qualquer elemeto de E se escreve (de uma só forma) como uma combiação liear fiita de elemetos de B). Prove que E ão é espaço de Baire. Iremos mostrar agora que o cojuto das fuções deriváveis é magro em [0, 1]. Para isso precisaremos do seguite lema: Lema 1. Se f [0, 1] tem derivada a direita em x 0, etão N tal que e x 0 [0, 1 1 ] e ]0, 1 ] Demostração. Como f é derivável a direita em x 0, existe f (x 0 ) R tal que ɛ R +, δ R + tal que 0 < < δ f (x 0 ) < ɛ Usado a desigualdade triagular < ɛ + f (x 0 ) Tome > max{ 1 δ, 1 1 x 0, f (x 0 ) + ɛ} e o resultado está provado. Teorema 2. Se F = {f C[0, 1] tal que f tem derivada a direita em algum x [0, 1]}, etão F é um subcojuto magro de C[0, 1] Demostração. Pelo lema 1, F F ode F = {f (C)[0, 1] tal que x 0 [0, 1 1 ] tal que ]0, 1 ]} Iremos provar que cada F é fecado, mostrado que toda sequêcia covergete de F coverge para um poto de F (i.e., F cotém todos

7 TEOREMA DE BAIRE 7 os seus potos de acumulação). De fato, como [0, 1] é compacto, podemos utilizar o fato que todas sequêcia covergete é uiformemete covergete. Iremos mostrar que cada F tem iterior vazio mostrado que eum aberto pertece a F Afirmação 1 (F é fecado). Fixe N, seja {f m } F uma sequêcia de fuções de f m que covirja uiformemete para uma fução f. Vamos mostrar que f F. Cosidere g, g m : [0, 1 1 ] ]0, 1 ] R g m (x, ) = f m(x + ) f m (x) f(x + ) f(x) g(x, ) = Etão existe x m [0, 1 1 ] tal que g m m(x m, ) m, para todo ]0, 1 ]. Fixado, a fução g m(x, ) coverge uiformemete para g(x, ). Existe uma subsequêcia x mk covergete para algum x 0. E também g mk (x mk, ) g(x mk, ) g(x 0, ) g(x 0, ) < m < m Assim f F e F é fecado. Afirmação 2 (F tem iterior vazio). Fixe N. Seja f F. Vamos mostrar que ɛ B]f, ɛ[ F, mostrado que ɛ g (C[0, 1]\F ) tal que f g < ɛ. Fixe ɛ R +. Como f é uiformemete cotíua, existe δ R + tal que, (r, s) [0, 1] [0, 1], r s < δ f(r) f(s) < ɛ. Seja q > 1 e x 4 mi[δ, ɛ, 1 ] k = k/q, k = 0, 1,..., q. Seja g C[0, 1] tal que g(x k ) = f(x k ) e g(x k + 1 ) = f(x 2q k) + 3 ɛ e g liear em cada 4 [x k, x k + 1 ] e cada [x 2q k + 1, x 2q k+1]. Etão Se tomarmos = 1 2q e g(x k + ) g(x k ) = 2q 3 4 ɛ = 3 2 qɛ > 3 2 g(x k+1 ) g(x k + ) = 2q f(x k+1) f(x k ) 3ɛ 4 2q( 3ɛ 4 f(x k+1) f(x) ) qɛ Como g é liear, se x 0 [x k, x k + 1 ] ou x 2q 0 [x k + 1, x 2q k+1] e se tomarmos = 1 teremos: 2q g(x 0 + ) g(x 0 ) = g(x 0 x k + x k + ) g(x 0 x k + x k )

8 8 JONAS GOMES Da liearidade de g g(x k + ) g(x k ) > Assim, g / F. Aida Como g é liear, f(x k ) g(x) 3ɛ 4 f(x) g(x) f(x) f(x k ) + f(x k ) + g(x) ɛ 4 + 3ɛ 4 = ɛ f g ɛ Lema 2. Seja X um espaço topológico e M um espaço métrico. Seja f : X M, idicaremos por D f os potos de descotiuidade de f. Se D f ɛ represeta o cojuto dos x X tal que existem r, s em uma viziaça de x que satisfazem d(f(r), f(s)) > ɛ, etão ɛ, D f ɛ é fecado. Demostração. Basta provar que X \ D f ɛ é aberto, mas X \ D f ɛ = {x X tal que para qualquer viziaça V 0 de x, d(f(x 1 ), f(x 2 )) < ɛ, x 1 x 2 X}. Se p X \ D f ɛ, seja V p uma viziaça de p. Etão V p X \ (D f ) ɛ. Como p foi arbitrário, todo poto de X \ D f ɛ está cotido uma viziaça que está cotida o cojuto e assim o cojuto é aberto. Referêcias [1] Höig, Caim Samuel Aplicações da Topologia à Aálise, Rio de Jaeiro, Istituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPQ, 1976