Probabilidade 2 - ME310 - Lista 5

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1 Probabilidade - ME30 - Lista 5 November 3, 0 Lembrado:. Covergêcia de sequêcias em L p (também chamada de covergêcia em média): se lim E( X X 0 p ) 0 quado, etão a sequêcia deida por X é dita covergete para X 0 em L p (X L p X 0 ). Covergêcia em probabilidade: se lim P ( X X 0 ɛ) 0 com 0 < ɛ dado, quado, etão a sequêcia deida por X é dita covergete para X 0 em probabilidade (X X 0 ). Outra maeira equivalete prob. de escrever é: lim P ( X X 0 < ɛ) { } 3. Covergêcia quase certa: se P ( ω Ω lim X (ω) X (ω) ) etão X X (X é dito covergete quase certamete para X). Essa talvez seja a covergêcia mais complicada detre as estudadas, teha em mete que SE sabemos X (ω) (relacioar a distribuição com os valores do espaço amostral), etão basta mostrar que o cojuto de ω para os quais X X tem probabilidade (há um úmero ito de ω para os quais ão vale X X). Caso ão saibamos à priori ideticar X em fução de ω podemos usar (5) o lema de Borel-Catelli da seguite forma: Seja ɛ > 0 e A { X X > ɛ}, calculamos P (A ), Se P (A ) < etão com probabilidade, um úmero ito dos evetos A vai ocorrer, ou seja, para todo ɛ > 0 podemos ecotrar N tal que, para todo N temos que A ão ocorre (ou seja, X X). Se caso cotrario, P (A ) e os evetos são idepedetes, etão com prob. existe subsequêcia iita,,... tal que A i ocorre, ou seja, X i X > ɛ X ão coverge para X quase certamete. 4. Covergêcia em distribuição: se lim F X (a) F X (a) a, etão X é dito covergete em distribuição para X para todo a ode F x (a) é cotiua 5. Lema de Borel-Catelli: Seja um eveto {A } com probabilidade de ocorre P (A ) h(), se h() + e os evetos são idepedetes o eveto ocorre um úmero iito de vezes; se h() costate o eveto ocorre um úmero ito de vezes; (e se h(), você errou alguma coisa... P (A ) h() 0)

2 6. Limite fudametal: lim ( + k ) e k 7. LEI DOS GRANDES NÚMEROS: Seja uma sequêcia {X, } de variáveis aleatórias deidas o espaço de probabilidades (Ω, F, P), vamos deir S i i X e µ k E(X k ), A E(S ) i i µ k Lei fraca dos grades úmeros: dizemos que {X, } satisfaz a S lei fraca dos grades úmeros se lim A P rob. 0 Lei forte dos grades úmeros: dizemos que {X, } satisfaz a lei forte dos grades úmeros se lim 8. Teorema de Kolmogorov: S A 0 {X, } uma sequêcia de variáveis aleatórias i.i.d.. A existêcia de E( X ) é codição ecessária e suciete para que a sequêcia {X } satisfaça a lei forte dos grades úmeros e S µ, ode µ µ (Outro teorema de Kolmogorov): Seja {X, } uma sequêcia de variáveis aleatórias idepedetes com segudo mometo ito e V ar(x ) < se V ar(x ) < etão S E(S) 9. Sequêcias que são trasformações de sequêcias covergetes: Sejam as sequêcias {X, } e {Y, } que satisfazem o teorema de Kolmogorov, dea uma sequêcia que seja fução delas {f(x, Y )} etão f(x, Y ) f(µ X, µ Y ) se f(µ X, µ Y ) < 0. TEOREMA DO LIMITE CENTRAL: Seja X, X,...X um cojuto de variáveis idepedetes cada uma com média µ i e variâcia ita σi. Etão: i Y lim i Xi i i µ i i N(0, ) i σ i Outra forma (bastate útil) de euciar o TLC é dizer que N(0, ); em que X i i X i σ (X µ) d. Implicações: L p prob. distrib. e prob. distrib.. Maipulações em Variáveis com distribuição ormal: Sejam X N(µ X ; σx ) ; Y N(µ Y ; σy ) e k costate etão: V kx N(k µ X ; k σ X ) V k + X N(k + µ X ; σ X ) V X+Y N(µ X +µ Y ; σ X +σ Y ) V X Y N(µ X µ Y ; σx +σ Y ) (Observe que é + a variâcia. Essa é uma fote grade de erros!)

3 ) Dê um exemplo de sequêcia X, X,... tal que X 0 em L, mas ão em L Resp. a) Basta aplicar a deição de, tetado um 'passo iverso' para achar algum exemplo em que ão fucioe Seja a sequêcia deida por P (X ) e P (X 0) e P (X k) 0 os demais casos, dessa forma E( X 0 ) E(X ) i i0 i P (X i) 0, mas E( X 0 ) E(X) i i0 i P (X i) 0 Resp. a) UM EXEMPLO ERRADO! Seja a sequêcia deida por X Normal(0, + ), temos E(X ) 0, E(X ) σ + E(X ) o que tem de errado aqui? usamos isso E(X ) 0, mas a deição, é pedido a esperaça do MÓDULO elevado a p, ou seja, E( X 0 ) > 0 ão satisfazedo as codições para ser L, esse é um tipo de erro muito fácil de cometer. ) Sejam X, X,... v.a. i.i.d. Uiformes (0,). Mostre que X 0 em probabilidade, mas ão quase certamete. Resp.) para mostrar isso, temos que provar que as restrições descritas em são válidas: Queremos mostrar que lim P ( X 0 < ɛ), Cosidere lim P ( X 0 < ɛ), uma observação importate é que X [0, ], Podemos fazer trasformações os dois lados da desigualdade, cosidere a trasformação logaritmica lim P ( X 0 < ɛ) lim P (l( X ) < l(ɛ)) lim P ( X < l(ɛ) l( ) ) lim P (X > l(ɛ) l( ) ) lim dx l(ɛ) l( ) l(ɛ) + lim l( ) logo, coverge em probabilidade. Agora vamos tetar mostrar que ão coverge quase certamete: Cosidere ɛ > 0 e A { X 0 > ɛ } disso temos que P (A ) P ( X > ɛ) P (l( X ) > l(ɛ)) P (X < l(ɛ) l( ) ) x log (ɛ) x0 0 se log (ɛ) < 0 I {0<x< } dx log (ɛ) se 0 log (ɛ) se log (ɛ) > 3

4 k Vamos calcular lim k existe 0 tal que ɛ k 0, mostrado que a se- log (ɛ) log (ɛ) log 3 (ɛ)... lim k quêcia deotada por X P (A ) log (ɛ) log (ɛ) log 3 (ɛ)..., mas k log (ɛ) i para todo i 0, logo lim k ão coverge quase certamete. 3) Sejam X, X,... v.a. idepedetes, X U(0, a ). Mostre que a) Se a, etão com probabilidade somete um úmero ito de X 's toma valores meores que ; Resp. a) Cosidere o aveto A {X < } x0 a dx a P (A ) < A ocorre um úmero ito de vezes P (A ) P (X < ) x b) Se a, etão com probabilidade um úmero iito de X 's toma valores meores que ; Resp. b) Cosidere o aveto A {X < } P (A ) P (X < ) x x0 a dx a P (A ) > A ocorre um úmero iito de vezes 4. Costrua exemplos (diferetes dos dados a aula) que mostram que: a) covergêcia em probabilidade ão implica a covergêcia quase certa. b) covergêcia em L p ão implica a covergêcia quase certa. c) covergêcia quase certa ão implica a covergêcia em L p. 5) Sejam X, X,... v.a. i.i.d. Uiformes (0, ) e sejam Y mix,..., X, Z maxx,..., X, U Y. Mostre que, quado, a) Y 0, Z em probabilidade; Resp. a) 4

5 lim P ( Y 0 ɛ) lim P ( mix,..., X 0 ɛ) lim P (mix,..., X ɛ) lim P (mix,..., X ɛ) id. lim (P (X ɛ)) lim ( ɛ) 0 lim P ( Z ɛ) lim P ( maxx,..., X ɛ) lim P ( maxx,..., X ɛ) lim P (maxx,..., X ɛ) id. lim P (X ɛ) lim ( ɛ) 0 b) U exp() em distribuição Resp. b) Queremos mostrar que lim F U (a) F exp() (a) lim F U (a) lim P (U a) lim P (Y a) lim P (Y a/) lim P (Y > a/) lim P (mix,..., X > a/) lim P (X > a/) lim ( a ) 6 e a a e u du F exp() (a) 6) Ache o limite (quase certo) da sequêcia Y, Y,... ode Y (X a X a ), X, X,... são i.i.d. Uiformes (0, ) e a > 0. Resp.) Cosidere a variável aleatória V X α, observe que E(V ) 0 xα dx α+ α+ <, logo, pelo teorema de Kolmogorov (8) a soma deida como S (V + V V ) satisfaz S α+ α+ α+, mas Y S logo, por (8), mostrei que Y α+ 7) Sejam X, X,... v.a. i.i.d. com E(X i ) V ar(x i ). Mostre que i i X i i i X i Resp. ) vamos usar (9). Cosidere U Xi, como E(X i) < etão U Cosidere W W Cosidere V X i i i Xi i i X i / / X i, como E(X i ) V ar(x i) + < etão i i Xi i i X i X i i i X i i i X i X i U V W por (9). 5

6 8) As v.a. X, X,... são idepedetes, P (X ) P (X ) /,,,.... Mostre que: k k X k P rob. 0 Resp.) Vamos apelar. Observe que é muito mais fácil mostrar que coverge quase certamete do que em probabilidade e como covergêcia quase certa implica em covergêcia em probabilidade, temos o resultado esperado: E(X i ) 0 V ar(x i ) E(X i ) E(X i) E(X i ) + Cosidere a Variável aleatoria Y i Xi, temos P (Y i ) P (X i ) P (X i ) P (Y i ) Com isso, temos E(Y i ) 0 e V ar(y i) E(Yi ) E(Y i) E(Yi ) + <, além disso k V ar(y k ) k k k < k k. Podemos usar o teorema de Kolmogorov (8) e Y k 0, mas k k Y k k k X k logo k k X k 0 e disso temos que k k X k P rob. 0 9) A cada aposta, o jogador perde R$ com probabilidade 0.7, perde R$ com probabilidade 0. ou gahe 0 R$ com probabilidade 0.. Calcule (aproximadamete) a probabilidade de que este jogador estará perdedo depois de 00 apostas (gaho egativo). Resp.) temos que: P (X ) 0, 7;P (X ) 0, ;P (X +0) 0, E(X) 0, 7 0, + 0 0, 0, V ar(x) E(X ) E(X) ( ) 0, 7+( ) 0, +(0) 0, 0,, 49 Cosidere S X Usado o Teorema do Limite cetral (0), temos que P (S 00 0) P ( S00 µ µ ) φ( µ ) φ( 00 0, V ar(x) V ar(x) V ar(x),49 00 ) φ(0, 95) 0, 64 6

7 0) O úmero dos dias que uma certa compoete fucioa até falhar é uma v.a. com desidade f(x) x, 0 < x <. A compoete que falha é reposta imediatamete. Quatas compoetes precisamos ter o estoque para que a probabilidade de que o estoque vai durar pelo meos 35 dias seja 0.95? Resp.) E(X) 0 x xdx 0 x dx 3 V ar(x) E(X ) E(X) 0 x xdx ( 3) ( ) ( 3 ) 8 S P (S 35) P ( µ 35 µ ) φ( 35 µ ) 0, 95 V ar(x) V ar(x) V ar(x) 35 µ Assim: φ( ) 0, 05 V ar(x) 54, Compoetes 35 µ, 57 V ar(x) ) Os egeheiros civis acreditam que o peso (em toeladas) que uma certa pote pode suportar sem sofrer daos estruturais tem distribuição Normal com média 00 e desvio padrão 0. Supoha que o peso de um carro é uma v.a. (ão ecessariamete Normal) com média e desvio padrão 0.. Quatos carros podem passar simultaeamete por esta pote sem que a probabilidade de daos estruturais exceda 0.0? Resp. ) P N(00; 0 ) - peso que a pote pode suportar ates de sofrer daos estruturais C i é o peso de um carro qualquer, tal que µ E(C i ) ; σ V ar(c i ) 0, Cosidere a variável aleatória N i i C i Pelo TLC (0) temos que N E(Ci) N(0, ) N N( µ; σ ) V ar(ci) Queremos P (N P ) P (N P 0) 0, 0, mas ambas as variáveis são aproximadamete ormais, podemos aplicar subtração de ormais: Cosidere V N P N( µ 00; σ + 0 ), para simplicar as maipulações, cosidere também k µ 00 e w σ + 0. Dessa forma, queremos P (V 0) 0, 0 com V N(k; w). 7

8 Agora vamos maipular: P (V 0) P (V < 0) P ( V k w < 0 k w ) φ( k w ) ( φ( k w )) φ( k w ) < 0, 0. Observe que a trasformação V k w a forma padrão. é a que faríamos para traformar uma variável ormal disso temos φ( k w ) < 0, 0 k w <, 36 µ 00 σ ,04+0 <, Carros. ) As otas dos aluos do curso de estatística tem média 7,4 e desvio padrão,4 (supoha que as otas são v.a. idepedetes). O professor vai dar duas provas, uma para turma de 5 aluos e outra para uma turma de 64 aluos. Calcule (aproximadamete): Para esse problema temos: µ E(X i ) 7, 5; σ, 4; X i iid; C 5 Aluos; C 64 Aluos; S i i X i a) A probabilidade de que a ota média da turma seja pelo meos 8.0 (para as duas turmas); Resp. a) Queremos: S5 5µ 8) P ( σ 5 φ(, 4) 0, , 06. P ( S5 5. P ( S64 S64 64µ 64 8) P ( σ 64 φ(3, 48) 0, µ σ µ σ 64 ) φ( 5 8 5µ σ 5 ) φ( µ σ 64 ) φ( ,5,4 5 ) ) φ( ,5,4 64 ) b) A probabilidade de que a ota média da turma maior exceda a ota média da turma meor em pelo meos 0.. Resp. b) Queremos P ( S64 64 S , ) Como pelo TLC: mesma forma 5 σ 64 σ ( S64 64 µ) d N(0; ) etão S64 64 ( S5 5 µ) d N(0; ) etão S5 d 5 d N(µ; σ N(µ; σ ); da Deote Y S64 64 S5 σ 5 pelo TLC Y N(0; 64 + σ 5 ) e queremos P (Y 0, ), como Y é aproximadamete uma Normal, vamos fazer a trasformação Z N(0; ) assim osso trabalho se resume a calcular Y 0 σ 64 + σ 5 P (Z 0, 0, ) φ( σ 64 + σ 5 φ(0, 6664) , 57 σ 64 + σ 5 5 ) 0, ) φ( σ 0,358 ) φ( 0,,4 0,358 ) 64 8

9 3) Um dado hoesto é laçado até que a soma dos resultados exceda 300. Qual é a probabilidade de que serão ecessários pelo meos 80 laçametos? Resp. ) Aqui temos que perceber que a probabilidade de em 80 ou mais laçametos para alcaçarmos soma maior que 300 equivale a probabilidade de em exatamete 79 laçametos ão termos alcaçado soma 300, assim P ( i79 i N i 300) P ( i79 i Ni 79 µ 79 σ µ 79 σ ) φ( µ 79 σ ) Sabemos que ossas variáveis aleatórias N i U(, 6) discreta logo µ 3, 5 e σ 35 (V ar(u) (b a+) ) Com isso:p ( i79 i N i 300) φ( ,5 ) φ(, 548) (35/) 4) Um dado hoesto é laçado 43 vezes. Calcule a probabilidade aproximada que a média geométrica dos resultados é pelo meos,33. Obs.: a média geométrica de a,..., a é (a a ) /. Resp. ) O truque aqui é usar logaritmo para trasformar os valores a ser calculados. Observe que l é crescete e como o valor míimo do dado é, etão l() 0 esse caso (ão precisamos os preocupar com valores egativos de logaritmo \0/), agora cou fácil P ((a a ) /, 33) P (l((a a ) / ) l(, 33)) P ( l(a a ) l(, 33)) P ( i i a i l(, 33)) Sabemos que a i U(, 6) discreta, sabemos que E(l(a i )) i6 i l(i) 6, 0965 e E(l(a i ) ) i6 l(i) i 6, 5683 com isso temos que σ E(l(a i ) ) E(l(a i )), 5683, , 366; podemos calcular também l(, 33) 0, P ((a a ) /, 33) P ( i i a i l(, 33)) P ( i i a i < l(, 33)) φ( l(,33),0965 0,366 ) φ( 43 l(,33) 43,0965 0, ) φ(.766) φ(.766)

10 5) Sejam X, X,... v.a. i.i.d. com E(X ) 0 e E(X). Ache o limite em distribuição da sequêcia Y, Y,..., ode Y (X X ) X X Resp. ) Sabemos que X i tem esperaça e segudo mometo itos, sabemos também a variâcia (σ E(Xi ) E(X i) E(Xi ) ). Que cai como uma luva para o Teorema de Kolmogorov (8), já que V ar(x ) <. Primeiro, vamos reescrever a sequêcia de uma forma mais adequada Y (X X ) X X (X X ) X X aqui temos duas subsequêcias covergetes: X +...+X X X (Teo. Kolmogorov) e σ (X X ) distr. N(0; ) (TLC) sabemos que σ logo (X X ) distr. N(0; ). Dessa forma Y (X +...+X ) X X N(0; 4). distr. N(0; ) 0

11 Este solucioário foi feito para a disciplia ME30 - Sem 0. Caso ecotre algum erro, por favor peça alteração iformado o erro em osso grupo de discussão: 0 Bos estudos, Eric.