Capítulo 5- Introdução à Inferência estatística.

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1 Capítulo 5- Itrodução à Iferêcia estatística. 1.1) Itrodução.(184) Na iferêcia estatística, aalisamos e iterpretamos amostras com o objetivo de tirar coclusões acerca da população de ode se extraiu a amostra. População- é o cojuto de todos os elemetos em estudo. Amostra- é um subcojuto fiito da população. Nota: usamos amostras porque, muitas vezes ão é viável utilizarmos toda a população. Exemplo 1( 185) Exemplo 2 Exemplo 3. Exercício 1( 224). Amostragem Probabilística / ão probabilística Métodos de amostragem probabilística. ( 186). 1- amostragem aleatória simples de elemetos. Exemplo4 (186). 2- amostragem aleatória de elemetos com reposição. 3- Amostragem aleatória sistemática. Exemplo 5( 187). 4- Amostragem aleatória estratificada. Exemplo 6(188). 5- Amostragem aleatória por coglomerados.(188) Exemplo 1(189) Parâmetro e estimador (ou estatística). Estimativa.(189). População Amostra N Dimesão da população Tamaho da amostra. μ Valor médio populacioal X x Média amostral. p Proporção populacioal p Proporção amostral. Desvio padrão populacioal. S Desvio padrão amostral.

2 No caso da média, temos: μ Parâmetro (populacioal) X Estimador( fórmula ou processo para estimar). O estimador é uma variável aleatória, pois os seus valores variam de amostra para amostra. x Estimativa- resultado cocreto de uma amostra particular. Exemplo 2( 190). Exercícios 3,4,5 ( 224) Distribuição de amostragem de uma estatística ( ou estimador). ( 191) Exemplo 1( 192) Estimação de um valor médio. (192). E(X ) = μ = X ( 195). Dizemos que X é um estimador cetrado ou cêtrico ou ão eviesado, pois o seu valor médio é igual ao parâmetro que pretedemos estimar. E(X ) = μ. O desvio padrão da distribuição de amostragem da média: = X, também se desiga erro padrão. Exercício 7( 224). Nota: O aumeto da dimesão da amostra, a partir da qual é calculado o estimador, faz dimiuir a variabilidade das estimativas. ( 196).

3 1.5- Importâcia do teorema do Limite Cetral. Teorema do Limite Cetral.(200) Seja X uma população com valor médio μ e desvio padrão, da qual se recolhem amostras de dimesão. Etão, se 30, a distribuição de amostragem da média X pode ser aproximada a uma distribuição ormal com valor médio μ e desvio padrão, isto é, para 30 X ~N (μ, ) Nota: este teorema diz-os que as médias amostrais, apesar de variarem de amostra para amostra, tedem a cocetrar-se em toro do valor médio da população à medida que a dimesão das amostras aumeta, uma vez que o desvio-padrão dimiui. Exemplo 1( 201). Exercício 10 ( 225). Exemplo 2.1 ( 202). Exercícios 11 e 12 (12.3) ( 225). Atividade 1.1( 204) Itervalos de cofiaça para o valor médio.( 205). X é a média amostral ]X Z ; X + Z [ desvio padrão é o úmero de elemetos da amostra Z é o valor relacioado com a cofiaça. Os valores usuais para Z são os que costam da tabela seguite: Nível de cofiaça 90% 95% 99% Valor de Z 1,645 1,960 2,576 A difereça etre os dois extremos do itervalo: ( X + Z ) (X Z ) é a amplitude do itervalo. Z represeta a margem de erro do itervalo.

4 Nota: Quado afirmamos que o itervalo tem 95% cofiaça, sigifica que, para 100 amostras diferetes, da mesma dimesão, selecioadas da mesma população, esperamos que 95 dos correspodetes itervalos obtidos, coteham o valor médio da população a estudar. Exemplo 2 (207). Exemplo 3( 208). Exercícios 13, 14, 15 (225). Atividades 3 e 4(208). Nota: Quado aumetamos o grau de cofiaça, a amplitude do itervalo aumeta, e cosequetemete a iformação fica meos precisa. Nota: Quado aumetamos o úmero de elemetos da amostra, a margem de erro Z dimiui e a amplitude do itervalo também dimiuir. Assim, melhoramos a precisão da ossa estimação Estimativa potual de proporção.(209). p = f A proporção é o úmero de elemetos favoráveis à ossa codição, a dividir pelo úmero total de elemetos da amostra. Exemplo 1(209). Nota: como podemos costatar com o exemplo 1 da págia 209 do livro, podemos trasformar uma proporção uma média e assim adaptar o resultados ateriores ao caso das proporções. Exercício 16 (226). Proporção/ Valor médio (211). Válido para amostras com dimesão maior ou igual a 30 elemetos. Exemplo 2(212). Atividade 2(212). Exercícios 18 e 19 (226). Distribuição de amostragem da proporção amostral p(1 p) p ~N (p; )

5 1.8- Itervalos de cofiaça para a proporção (213). p (1 p ) p (1 p ) ]p Z ; p + Z [ p Represeta a proporção amostral. Z p (1 p ) é a margem de erro. Exemplo 1 (213) Exemplo 2( 214) Nota: À semelhaça das médias, também podemos verificar que as proporções, quato maior for a dimesão da amostra, meor é a amplitude do itervalo. Atividade 2(214). Atividade 3(214). Exercícios 21, 22 (226). Exemplo 1(215) Iterpretação do coceito de itervalo de cofiaça(215). ɛ- Margem de erro. Nota. Para uma boa estimação, devemos ter presete: A Qualidade da amostra, isto é, garatir que esta é represetativa da população. Se uma amostra for eviesada, as coclusões que tiramos serão pouco credíveis. O tamaho da amostra- aumetado o tamaho da amostra, a margem de erro dimiui e a precisão aumeta. O grau de cofiaça- é importate ter um valor alto para o grau de cofiaça, o etato, quado este é demasiado próximo de 100%, pode acotecer que o itervalo teha uma amplitude muito grade, e seja pouco útil a iformação forecida. Atividade 1(215). Exercício 23(226).

6 Qualidade da amostra (216). Devemos garatir que a amostra é represetativa da população. Se uma amostra for eviesada, as coclusões que tiramos serão pouco credíveis. Exemplo 2(216) Tamaho da amostra (217). Já vimos que, aumetado o tamaho da amostra, a margem de erro dimiui e a precisão aumeta Exemplo 3(217). Para estimarmos o tamaho da amostra, para o qual a margem de erro é iferior a um determiado valor, começamos por igualar a expressão da margem de erro ao valor pretedido, e depois resolvemos a equação até obtermos o valor de. No fial da equação, obteremos uma expressão do tipo: = ( Z. itervalo da média. ε )2 o caso do Para a proporção, obtemos algo do tipo: = ( Z ε ) 2. p. (1 p ) Nota: devemos usar sempre os cálculos a partir da margem de erro. Estas fórmulas serão apeas para verificar. Atividade 3(218). Exemplo 4. Exercício 24(206). Atividade 4(219) Exercício 25(226) Grau de cofiaça (220). É importate ter um valor alto para o grau de cofiaça. No etato, quado este é demasiado próximo de 100%, pode acotecer que o itervalo teha uma amplitude muito grade, e a iformação forecida seja pouco útil. Atividade 6(220). Exercícios: pág , 1.5 2, 3.2, 3.3, 4.5(x = 5.5), 5.2, 6.4, 7.3, 8.2, 9.2.