Estimação por Intervalo (Intervalos de Confiança):

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1 Estimação por Itervalo (Itervalos de Cofiaça): 1) Itervalo de Cofiaça para a Média Populacioal: Muitas vezes, para obter-se a verdadeira média populacioal ão compesa fazer um levatameto a 100% da população (ceso). Devido ao custo (e também ao tempo despedido) é muito mais prático e ecoômico examiar apeas uma parte da população (amostra). Porém, ao examiarmos apeas uma parte da população perderemos um pouco da precisão, ou seja, quado fizermos uma estimativa para o verdadeiro parâmetro populacioal (μ ou σ, por exemplo) com base uma amostra estaremos sujeitos a um erro (ε) para essa estimativa. O valor desse erro (ε) variará em fução: 1) do tamaho da amostra (); ) da variâcia (populacioal ou amostral); 3) do ível de sigificâcia (α), que é a probabilidade de errar a estimativa. Mais adiate, quado vermos a fórmula para cálculo do erro, veremos a ifluêcia de cada um desses fatores o valor do erro. Temos que: [ X ε μ X + ε] = 1 α P. O que sigifica dizer que a probabilidade P da média populacioal (μ) estar etre a média amostral X + ε será igual ao ível de cofiaça 1 α. meos o erro ( ε) Etão: X e a média amostral mais o erro ( ) X ε é o limite iferior da estimativa (LI); μ é a média populacioal; X + ε é o limite superior da estimativa (LS); ( 1 α) é o ível de cofiaça (probabilidade de acertar a estimativa); ( ) Note que, quato meor for o ível de sigificâcia (α), maior será o ível de cofiaça (1 α) da estimativa. Exemplo: Para um ível de sigificâcia α = 0,10 (10%), teremos um ível de ível de cofiaça igual a 0,90 (90%). Já para um ível de sigificâcia α = 0,05 (5%), teremos um ível de ível de cofiaça igual a 0,95 (95%). Note aida que a amplitude (A) do itervalo de cofiaça será o dobro do erro (ε), ou seja: A = ε. Demostrado: A amplitude do itervalo será dada pela difereça etre o limite superior (LS) e o limite iferior do itervalo (LI), ou seja: A = LS LI. Substituido, temos: A = ( + ε) X ( ε) X A = X + ε X + ε A = ε. Ates de vermos a fórmula para cálculo do erro da estimativa, temos que defiir claramete quais os critérios para adotar, a fórmula de cálculo, a abscissa dada pela tabela da distribuição Normal Padrão ou a que é dada pela tabela da distribuição t-studet (também chamada de distribuição das pequeas amostras). O quadro abaixo sitetiza esses critérios: TAMANHO DA AMOSTRA É GRANDE ( > 30) É PEQUENO ( 30) SE A VARIÂNCIA POPULACIONAL (σ ) É CONHECIDA É DESCONHECIDA É CONHECIDA É DESCONHECIDA USO A DISTRIBUIÇÃO NORMAL NORMAL NORMAL t-student T7_INTERVALOS DE CONFIANÇA.doc Pedro Bello Págia 1

2 Pelo que foi sitetizado a tabela, podemos etão eteder perfeitamete que: Se a amostra for grade, pouco importa se o parâmetro populacioal (variâcia ou o desvio padrão) é ou ão cohecido, usaremos sempre a distribuição Normal. Se a amostra for pequea só usaremos a distribuição t-studet se o parâmetro populacioal for descohecido. Coclusão: Se > 30 ou σ for cohecido, usamos distribuição Normal; Se 30 e σ for descohecido, usamos distribuição t-studet; Outro detalhe importate é que a tabela da distribuição t-studet é bi-paramétrica. O valor da abscissa t α / depederá de dois parâmetros: α (ível de sigificâcia) e ϕ (fi) que é o úmero de graus de liberdade a ser usado. Este será dado por: ϕ = 1 (úmero de elemetos da amostra subtraído de 1 uidade). A fórmula para cálculo de ε (erro da estimativa) será: 1) No caso de usarmos a distribuição Normal, sedo σ cohecido: σ ε = Zα / ; ) Distribuição Normal, mas σ descohecido. Usamos S (desvio padrão amostral): S ε = Zα / ; 3) No caso de usarmos a distribuição t-studet: S ε = tα / ; Pelo que vimos, há mais chace de usar a distribuição Normal do que a t-studet, pois esta última só será usada quado a amostra for pequea e a variâcia populacioal for descohecida. Na maioria dos problemas evolvedo itervalos de cofiaça, os valores de α que aparecem com maior freqüêcia são: α = 1%, α = 5% ou α = 10%. Assim, é iteressate ter já gravado em mete os valores das abscissas da tabela Normal Padrão correspodetes a estes α s. a) Se α = 10%, teremos 5% (α/) à esquerda do limite iferior do itervalo e 5% à direita do limite superior do itervalo, ou seja, estas serão as probabilidades da estimativa estar fora (abaixo ou acima) do itervalo especificado. Assim, teremos uma área de 45% etre a média amostral e o limite iferior do itervalo e outra área de 45% etre a média amostral e o limite superior do itervalo, o que os forece uma área total (ível de cofiaça) de 90%, coforme demostrado abaixo: a estimativa (α/) a estimativa (α/) 0,45 0,45 0,05 0,05 X ε X X + ε 1, ,645 Z Procurado a tabela da distribuição Normal Padrão a área de 0,45 ão ecotramos exatamete este valor, mas ecotramos 0,4495 que correspode a uma abscissa de 1,64 e ecotramos 0,4505 que correspode a uma abscissa de 1,65. Podemos cosiderar a primeira ou, se o problema exigir maior precisão, uma abscissa de 1,645 (poto médio etre 1,64 e 1,65) já que a área de 0,4500 será a média etre 0,4495 e 0,4505. Logo, podemos gravar que, usado a distribuição Normal: para α = 10% Z α/ = 1,645 T7_INTERVALOS DE CONFIANÇA.doc Pedro Bello Págia

3 b) Se α = 5%, teremos,5% (α/) à esquerda do limite iferior do itervalo e,5% à direita do limite superior do itervalo, ou seja, estas serão as probabilidades da estimativa estar fora (abaixo ou acima) do itervalo especificado. Assim, teremos uma área de 47,5% etre a média amostral e o limite iferior do itervalo e outra área de 47,5% etre a média amostral e o limite superior do itervalo, o que os forece uma área total (ível de cofiaça) de 95%, coforme demostrado abaixo: a estimativa (α/) a estimativa (α/) 0,475 0,475 0,05 0,05 X ε X X + ε 1,96 0 1,96 Z Procurado a tabela da distribuição Normal Padrão a área de 0,475, ecotraremos exatamete este valor, correspodete a uma abscissa de 1,96. Logo, podemos gravar que, usado a distribuição Normal: para α = 5% Z α/ = 1,96 c) Se α = 1%, teremos 0,5% (α/) à esquerda do limite iferior do itervalo e 0,5% à direita do limite superior do itervalo, ou seja, estas serão as probabilidades da estimativa estar fora (abaixo ou acima) do itervalo especificado. Assim, teremos uma área de 49,5% etre a média amostral e o limite iferior do itervalo e outra área de 49,5% etre a média amostral e o limite superior do itervalo, o que os forece uma área total (ível de cofiaça) de 99%, coforme demostrado abaixo: a estimativa (α/) a estimativa (α/) 0,495 0,495 0,005 X ε X X + ε,575 0,575 0,005 Z Procurado a tabela da distribuição Normal Padrão a área de 0,495 ão ecotramos exatamete este valor, mas ecotramos 0,4949 que correspode a uma abscissa de,57 e ecotramos 0,4951 que correspode a uma abscissa de,58. Podemos cosiderar a seguda ou, se o problema exigir maior precisão, uma abscissa de,575 (poto médio etre,57 e,58) já que a área de 0,4950 será a média etre 0,4949 e 0,4951. Logo, podemos gravar que, usado a distribuição Normal: para α = 1% Z α/ =,575 Em algumas questões de provas ou exercícios pode ser pedido o tamaho míimo da amostra para que o erro ão ultrapasse um determiado valor. É importate saber a trasformação da fórmula do erro (ε) em fução do tamaho da amostra () para a fórmula do tamaho da amostra () em fução do erro (ε). T7_INTERVALOS DE CONFIANÇA.doc Pedro Bello Págia 3

4 σ Cosiderado a distribuição ormal e visto que ε = Zα /, etão, para colocarmos em fução σ de ε, basta trocá-los de posição e ficamos com: = Z α /. ε Para elimiar a raiz quadrada elevamos ao quadrado ambos os lados da igualdade, obtedo: σ = Zα /, fórmula para ecotrar o tamaho da amostra dado um erro máximo. ε Outro detalhe importate é que ão sedo iformado ou sedo descohecido o tamaho da população (N), cosideramos a população como sedo INFINITA. Mas, quado o tamaho N da população for cohecido e o tamaho da amostra for superior a 5% do tamaho N da população, ou seja: N > 0,05, etão deveremos usar como multiplicador, a formulação do erro, o FATOR DE CORREÇÃO PARA POPULAÇÃO FINITA dado por: N N 1, ou seja, o valor do erro ε será calculado por: σ N ε = Zα. N 1 ) Itervalo de Cofiaça para a Proporção Populacioal: Seja θ a proporção de elemetos de uma população com N elemetos que possuem uma determiada característica, que pode ser, por exemplo: daltôicos, eleitores de um cadidato, fumates, portadores de uma certa doeça, possuidores de um certo bem, etc. Ao extrairmos uma amostra com elemetos dessa população, obteremos uma proporção de elemetos com essa característica. Seja p' esta proporção amostral, dada por: p ' = da amostra. X, ode X é o úmero de elemetos a amostra que possuem a característica e é o tamaho A estimativa da verdadeira proporção a população será dada por: P [ p' ε θ p' +ε] = 1 α etre a proporção amostral meos o erro ( ' ε), sigificado que a probabilidade P da proporção populacioal (θ) estar p e a proporção amostral mais o erro ( p '+ ε) será igual ao ível de cofiaça ( 1 α) estipulado. Na estimação por itervalo para a proporção populacioal ão há ecessidade, como a estimação da média, de os preocuparmos com o tamaho da amostra. Usaremos sempre a Tabela da Distribuição Normal Padrão para arbitrar o valor da abscissa a fórmula do erro da estimativa, ou seja, Z α /. Para um elemeto da amostra escolhido ao acaso, poderá acotecer: sucesso (esse elemeto tem aquela característica) ou fracasso (o elemeto ão tem a característica). Agora relembremos que, a distribuição de Beroulli (sucesso ou fracasso), a variâcia é dada por: V[X] = p q, ode p é a probabilidade de sucesso e q é a probabilidade de fracasso, sedo p e q complemetares (p + q = 1). Logo, o desvio padrão será p q. σ Na estimação por itervalo da média populacioal, a fórmula do erro é dada por: ε = Zα /. Mas a proporção substituiremos o desvio padrão σ por p' q', ode p' será a proporção favorável a amostra e q' a proporção desfavorável e assim teremos para a fórmula do erro: ε = Zα / p' q' Colocado sob um úico radical fica: p' q' ε = Zα /. T7_INTERVALOS DE CONFIANÇA.doc Pedro Bello Págia 4

5 Na estimativa itervalar para a Proporção, também vale a regra de utilizar, a fórmula do erro, o FATOR DE CORREÇÃO PARA POPULAÇÃO FINITA, superior a 5% do tamaho N da população, ou seja, N > 0,05. N, sempre que o tamaho da amostra for N 1 Como esta estimativa é utilizada apeas a Tabela Normal Padrão é importate já ter memorizados os valores das abscissas da Normal Padrão para os três íveis de sigificâcia mais utilizados: Para α = 10% Z α/ = 1,645; Para α = 5% Z α/ = 1,96; Para α = 1% Z α/ =,575. É iteressate saber também a fórmula para o tamaho míimo da amostra () em fução de um erro (ε) máximo. p' q' A fórmula para o erro amostral a proporção é ε = Zα /. Etão podemos elevar ambos os p' q' ε = Z α /, o que resulta: termos da igualdade ao quadrado e assim ( ) Z / = α p' q', que é a fórmula para ecotrar o tamaho da amostra dado um erro máximo. ε Devemos otar aida, que: Se p' = 0,10 p' q' = 0,09. Idem se p' = 0,90; Se p' = 0,0 p' q' = 0,16. Idem se p' = 0,80; Se p' = 0,30 p' q' = 0,1. Idem se p' = 0,70; Se p' = 0,40 p' q' = 0,4. Idem se p' = 0,60; Se p' = 0,50 p' q' = 0,5; Etão, coforme págia 11 do livro "Estatística Aplicada à Admiistração" de William J Steveso: "Note-se que o itervalo é máximo quado p' = 0,50, decrescedo quado p' aumeta ou dimiui em razão do efeito sobre o produto p' q'. De fato, sob codições de completa icerteza, pode-se admitir iicialmete p' = 0,50, o que revelará a maior quatidade de erro possível." Assim, em questões pedido o tamaho míimo de amostra para que o erro ão ultrapasse um determiado valor, ão sedo forecida a proporção amostral, arbitraremos p' = 0,50. 3) Itervalo de Cofiaça para a Variâcia: Com base a variâcia obtida de uma amostra (variâcia amostral = S ), iremos estimar a verdadeira variâcia populacioal (σ ) com um certo ível de sigificâcia α (probabilidade de errar a estimativa). A tabela a ser utilizada o cálculo dessa estimativa é da distribuição de Qui-Quadrado com ( 1) graus de liberdade. Assim como a tabela da distribuição t de Studet, essa tabela também é bi-paramétrica. Etão, levaremos em cota parâmetros: ível de sigificâcia (α) e úmero de graus de liberdade (ϕ), dado por ϕ = 1 (úmero de elemetos da amostra subtraído de 1 uidade). O itervalo será dado pela seguite fórmula: P ( 1) S ( 1) χ sup σ S = 1 α. χ if T7_INTERVALOS DE CONFIANÇA.doc Pedro Bello Págia 5

6 Vejamos um exemplo para facilitar o etedimeto: Supoha ter obtido, de uma amostra de 10 elemetos de uma população, a variâcia amostral S = 4 e queremos estimar a verdadeira variâcia populacioal a um ível de cofiaça de 90%. Solução: Teremos etão um ível de sigificâcia (α) de 10%, sedo 5% ates do e 5% após o χ sup (Qui-quadrado superior), coforme abaixo: χ if (Qui-quadrado iferior) 0,05 0,90 0,05 χ χ if sup 3,35 16,919 O valor de 3,35 para o Qui-Quadrado iferior foi obtido a tabela de distribuição Qui-Quadrado buscado-se a iterseção da liha de ϕ = 9 (graus de liberdade) com a colua 0,95 (área acumulada a curva da direita para a esquerda). O valor de 16,919 para o Qui-Quadrado superior foi obtido a mesma tabela buscado-se a iterseção da liha de ϕ = 9 (graus de liberdade) com a colua 0,05 (área acumulada à direita da curva). Já temos: 1 = 10 1 = 9; S = 4 e os valores dos Qui-Quadrados iferior e superior. Agora é só substituir a fórmula dada e fazer os cálculos P σ = 0,90 P,18 σ 10,87 = 0, ,919 3,35 Podemos etão afirmar que a probabilidade de a verdadeira variâcia populacioal estar etre,18 e 10,87 é de 90%. QUESTÕES DE CONCURSOS: 1) [NCE/UFRJ - Estatístico ELETROBRÁS-00] Uma amostra aleatória simples X 1, X,..., X 5, de tamaho 5, de uma distribuição ormal foreceu os seguites dados: 5 5 x i = 13, ( x i x) = 96 i= 1 i= 1 Um itervalo de 95% de cofiaça para a média populacioal será dado aproximadamete por: (A) ] 3,59 ; 6,5 [ (B) ] 4,40 ; 5,44 [ (C) ],18 ; 7,66 [ (D) ] 4,09 ; 5,75 [ (E) ] 4,88 ; 4,96 [ T7_INTERVALOS DE CONFIANÇA.doc Pedro Bello Págia 6

7 Resolução cometada: O itervalo será dado por: μ = ( x ε; x + ε) A média amostral será: 5 xi x = i= 1 13 x = = 4,9. 5 A amostra é pequea, = 5 ( < 30) e a variâcia populacioal é descohecida. Portato a distribuição a S ser utilizada para o cálculo do erro é a distribuição t-studet, sedo o erro calculado por: ε = t α / ( x x) i i= 1 Precisamos etão calcular a variâcia amostral, que será dada por: S = 1 5. Logo, 96 S = = 4. 4 A tabela t-studet forece, para um α = 5% e ϕ = 4 ( 1) graus de liberdade, o valor,0639. Portato: 4 ε =, ε =,0639 ε 0, 83 5 Assim, teremos: μ = ( 4,9 0,83; 4,9 + 0,83) μ = (4,09; 5,75 ) (Letra D). ) [NCE/UFRJ - Estatístico ELETROBRÁS-00] Se o desvio padrão populacioal é igual a 1,, o tamaho de uma amostra aleatória simples para que se possa garatir, com 96% de cofiaça, que o valor da média amostral ão diferirá do da média populacioal por mais de 0,05 é, o míimo, aproximadamete: (A).40 (B) (C) (D) (E) Resolução cometada: Para um itervalo de 96% teremos, áreas de 0,48 (48%) ates e depois da média. Cosultado a tabela Normal Padrão veremos que uma área de 0,4798 (aproximadamete 48%) correspode a um valor absoluto de,05 para a abscissa em Z. a estimativa (α/) a estimativa (α/) 0,48 0,48 0,0 0,0 X,05 0,05 Z σ A fórmula para ecotrar o tamaho da amostra em fução de um erro máximo é: = Zα / ε Substituido os valores, teremos: 1,,05 0,05 = ( 49,) =.40 (Letra A). T7_INTERVALOS DE CONFIANÇA.doc Pedro Bello Págia 7

8 3) [NCE/UFRJ - Tecologista Juior - IBGE-00] O tamaho de uma amostra aleatória simples para que possamos garatir, com 9% de cofiaça, que o valor da média da amostra ão se afastará do da média populacioal por mais de 10% do desvio padrão populacioal é, o míimo, aproximadamete, igual a: (A) 54 (B) 8 (C) 306 (D) 458 (E) 560 Resolução cometada: Questão praticamete igual à aterior, basta cosiderar ε = 0,1σ e verificar, a tabela Normal Padrão que uma área de 0,46 (metade de 0,9) correspode a uma abscissa de 1,75. Logo: σ = 1,75 = ( 17,5 ) 306 (Letra C). 0,1 σ 4) [NCE/UFRJ - Tecologista Juior - IBGE-001] Supoha que os redimetos dos trabalhadores de um certo muicípio apresetem um desvio padrão de R$50,00. Plaeja-se estimar o redimeto mesal dos trabalhadores dessa localidade com base uma amostra aleatória simples de tamaho 400. A probabilidade de que o valor da média amostral ão se afaste do valor da média populacioal por mais de R$3,00 é, aproximadamete, de: (A) 53% (B) 60% (C) 69% (D) 77% (E) 85% Resolução cometada: Dados do euciado: O erro máximo, em módulo (para mais ou para meos) será ε = 3; σ = 50; = 400. Logo: σ 50 ε = Zα / 3 = Z α / 0 3 Zα / = Zα / = 1,. 5 Procurado a abscissa de Z = 1, veremos que correspode a uma área de 0,3849. Portato, o itervalo procurado será o dobro dessa área, ou seja, 0,7698 ou aproximadamete 77%. (Letra D) 5) [FGV - Estatístico Seado Federal-008] Um estatístico de uma compahia telefôica deseja estimar a proporção p de clietes satisfeitos com a itrodução de um ovo tipo de serviço. Supoha que o úmero de clietes da compahia seja grade. Sabe-se, com base em experiêcias ateriores, que p deve estar próxima de 0,50. O meor tamaho de amostra que ele deve cosiderar de modo a garatir com probabilidade de 95% um erro absoluto de estimação de o máximo 0,0 é: (A) 800 (B) 108 (C) 1530 (D) 1681 (E) 401 Resolução cometada: A fórmula para ecotrar o tamaho da amostra dado um erro máximo, a proporção, é: Z / = α p' q' ε A abscissa da tabela Normal Padrão para uma área de 0,475 (metade de 95%) é igual a 1,96. Logo: 1,96 = 0,5 0,5 = ( ) 98 0, 5 = , 5 =.401 (Letra E) 0,0 T7_INTERVALOS DE CONFIANÇA.doc Pedro Bello Págia 8

9 6) [NCE/UFRJ - Estatístico ELETROBRÁS-00] A tabela a seguir forece os valores dos percetis,5%, 5%, 95% e 97,5% da distribuição qui-quadrado para algus graus de liberdade: graus de lib.,5% 5% 95% 97,5% 9,70 3,3 16,9 19,0 10 3,5 3,94 18,31 0, ,8 4,58 19,68 1,9 Uma amostra aleatória simples X 1, X,...,X 11, de tamaho 11, de uma desidade N(μ, σ ) com parâmetros descohecidos foi observada e idicou 11 (x x) i = 180 i= 1 Um itervalo de 95% de cofiaça para σ será dado aproximadamete por: (A) (1,; 5,4) (B) (15,4; 3,6) (C) (4,5; 6,5) (D) (3,6; 0,5) (E) (8,8; 55,4) Resolução cometada: A variâcia amostral será: S 11 (x x) i = i= 1 = S = 18. O úmero de graus de liberdade será dado por ϕ = 1 = 11 1 = 10. Para um α = 5%, fica,5% abaixo e,5% acima. Etão, observado a tabela dada o euciado teremos: χ sup = 0,48 e χ = 3,5. if Substituido a fórmula P ( ) 1 S ( 1) χsup σ S = 1 α, fica: χ if P 0,48 σ = 1 0,05 3,5 P 8,79 σ 55,38 = 0, 95 (Letra E). T7_INTERVALOS DE CONFIANÇA.doc Pedro Bello Págia 9

10 Tabelas Estatísticas Tabela da Distribuição Normal Padrão P(0 Z z c ) Z~N(0,1) z c 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,010 0,0160 0,0199 0,039 0,079 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0, 0,0793 0,083 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,106 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,117 0,155 0,193 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,168 0,1664 0,1700 0,1736 0,177 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,019 0,054 0,088 0,13 0,157 0,190 0,4 0,6 0,57 0,91 0,34 0,357 0,389 0,4 0,454 0,486 0,517 0,549 0,7 0,580 0,611 0,64 0,673 0,704 0,734 0,764 0,794 0,83 0,85 0,8 0,881 0,910 0,939 0,967 0,995 0,303 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,31 0,338 0,364 0,389 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,361 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,379 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1, 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944 0,396 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,403 0,4049 0,4066 0,408 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,416 0,4177 1,4 0,419 0,407 0,4 0,436 0,451 0,465 0,479 0,49 0,4306 0,4319 1,5 0,433 0,4345 0,4357 0,4370 0,438 0,4394 0,4406 0,4418 0,449 0,4441 1,6 0,445 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 *0,4505 0,4515 0,455 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,458 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,465 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,476 0,473 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767,0 0,477 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,481 0,4817,1 0,481 0,486 0,4830 0,4834 0,4838 0,484 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857, 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916,4 0,4918 0,490 0,49 0,495 0,497 0,499 0,4931 0,493 0,4934 0,4936,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 *0,4951 0,495,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,496 0,4963 0,4964,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,497 0,4973 0,4974,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981,9 0,4981 0,498 0,498 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,10 ou + 0,4999 T7_INTERVALOS DE CONFIANÇA.doc Pedro Bello Págia 10

11 Tabela de Distribuição t de Studet ϕ = graus de liberdade (Uicaudal) ϕ α 5% 10% 5%,5% 1% 0,5% 1 1,0000 3,0777 6,3138 1,706 31,807 63,6574 0,8165 1,8856,900 4,307 6,9646 9, ,7649 1,6377,3534 3,184 4,5407 5, ,7407 1,533,1318,7764 3,7469 4, ,767 1,4759,0150,5706 3,3649 4,03 6 0,7176 1,4398 1,943,4469 3,147 3, ,7111 1,4149 1,8946,3646,9980 3, ,7064 1,3968 1,8595,3060,8965 3, ,707 1,3830 1,8331,6,814 3, ,6998 1,37 1,815,81,7638 3, ,6974 1,3634 1,7959,010,7181 3, ,6955 1,356 1,783,1788,6810 3, ,6938 1,350 1,7709,1604,6503 3, ,694 1,3450 1,7613,1448,645, ,691 1,3406 1,7531,1315,605, ,6901 1,3368 1,7459,1199,5835, ,689 1,3334 1,7396,1098,5669, ,6884 1,3304 1,7341,1009,554, ,6876 1,377 1,791,0930,5395, ,6870 1,353 1,747,0860,580, ,6864 1,33 1,707,0796,5177,8314 0,6858 1,31 1,7171,0739,5083, ,6853 1,3195 1,7139,0687,4999, ,6848 1,3178 1,7109,0639,49, ,6844 1,3163 1,7081,0595,4851, ,6840 1,3150 1,7056,0555,4786, ,6837 1,3137 1,7033,0518,477, ,6834 1,315 1,7011,0484,4671, ,6830 1,3114 1,6991,045,460, ,688 1,3104 1,6973,043,4573, ,6807 1,3031 1,6839,011,433, ,6794 1,987 1,6759,0086,4033, ,6786 1,958 1,6706,0003,3901, ,6780 1,938 1,6669 1,9944,3808, ,6776 1,9 1,6641 1,9901,3739, ,677 1,910 1,660 1,9867,3685, ,677 1,90 1,660 1,984,364, ,677 1,89 1,658 1,980,358,617 0,674 1,8 1,645 1,960,36,576 T7_INTERVALOS DE CONFIANÇA.doc Pedro Bello Págia 11

12 Tabela de Distribuição Qui-Quadrado ϕ = graus de liberdade ϕ α 0,995 0,99 0,975 0,95 0,90 0,75 0,50 0,5 0,10 0,05 0,05 0,01 0, ,0004 0,00 0,001 0,004 0,016 0,10 0,455 1,33,706 3,841 5,04 6,635 7,879 0,010 0,00 0,051 0,103 0,11 0,575 1,386,773 4,605 5,991 7,378 9,10 10, ,07 0,115 0,16 0,35 0,584 1,13,366 4,108 6,51 7,815 9,348 11,345 1, ,07 0,97 0,484 0,711 1,064 1,93 3,357 5,385 7,779 9,488 11,143 13,77 14, ,41 0,554 0,831 1,145 1,610,675 4,351 6,66 9,36 11,071 1,833 15,086 16, ,676 0,87 1,37 1,635,04 3,455 5,348 7,841 10,645 1,59 14,449 16,81 18, ,989 1,39 1,690,167,833 4,55 6,346 9,037 1,017 14,067 16,013 18,475 0,78 8 1,344 1,646,180,733 3,490 5,071 7,344 10,19 13,36 15,507 17,535 0,090 1, ,735,088,700 3,35 4,168 5,899 8,343 11,389 14,684 16,919 19,03 1,666 3,589 10,156,558 3,47 3,940 4,865 6,737 9,34 1,549 15,987 18,307 0,483 3,09 5,188 11,603 3,053 3,816 4,575 5,578 7,584 10,341 13,701 17,75 19,675 1,90 4,75 6, ,074 3,571 4,404 5,6 6,304 8,438 11,340 14,845 18,549 1,06 3,337 6,17 8, ,565 4,107 5,009 5,89 7,04 9,99 1,340 15,984 19,81,36 4,736 7,688 9, ,075 4,660 5,69 6,571 7,790 10,165 13,339 17,117 1,064 3,685 6,119 9,141 31, ,601 5,9 6,6 7,61 8,547 11,036 14,339 18,45,307 4,996 7,488 30,578 3, ,14 5,81 6,908 7,96 9,31 11,91 15,338 19,369 3,54 6,96 8,845 3,000 34, ,697 6,408 7,564 8,67 10,085 1,79 16,338 0,489 4,769 7,587 30,191 33,409 35, ,65 7,015 8,31 9,390 10,865 13,675 17,338 1,605 5,989 8,869 31,56 34,805 37, ,844 7,633 8,907 10,117 11,651 14,56 18,338,718 7,04 30,144 3,85 36,191 38,58 0 7,434 8,60 9,591 10,851 1,443 15,45 19,337 3,88 8,41 31,410 34,170 37,566 39, ,034 8,897 10,83 11,591 13,40 16,344 0,337 4,935 9,615 3,671 35,479 38,93 41,401 8,643 9,54 10,98 1,338 14,04 17,40 1,337 6,039 30,813 33,94 36,781 40,89 4, ,60 10,196 11,689 13,091 14,848 18,137,337 7,141 3,007 35,17 38,076 41,638 44, ,886 10,856 1,401 13,848 15,659 19,037,337 8,41 33,196 36,415 39,364 4,980 45, ,50 11,54 13,10 14,611 16,473 19,939 4,337 9,339 34,38 37,65 40,646 44,314 46, ,160 1,198 13,844 15,379 17,9 0,843 5,336 30,434 35,563 38,885 41,93 45,64 48, ,808 1,879 14,573 16,151 18,114 1,749 6,336 31,58 36,741 40,113 43,194 46,963 49, ,461 13,565 15,308 16,98 18,939,657 7,336 3,60 37,916 41,337 44,461 48,78 50, ,11 14,57 16,047 17,708 19,768 3,567 8,336 33,711 39,087 4,557 45,7 49,588 5, ,787 14,954 16,791 18,493 0,599 4,478 9,336 34,800 40,56 43,773 46,979 50,89 53, ,458 15,655 17,539 19,81 1,434 5,390 30,336 35,887 41,4 44,985 48,3 5,191 55, ,134 16,36 18,91 0,07,71 6,304 31,336 36,973 4,585 46,194 49,480 53,486 56, ,815 17,074 19,047 0,867 3,110 7,19 3,336 38,058 43,745 47,400 50,75 54,776 57, ,501 17,789 19,806 1,664 3,95 8,136 33,336 39,141 44,903 48,60 51,966 56,061 58, ,19 18,509 0,569,465 4,797 9,054 34,336 40,3 46,059 49,80 53,03 57,34 60, ,707,164 4,433 6,509 9,051 33,660 39,335 45,616 51,805 55,758 59,34 63,691 66, ,991 9,707 3,357 34,764 37,689 4,94 49,335 56,334 63,167 67,505 71,40 76,154 79, ,534 37,485 40,48 43,188 46,459 5,94 59,335 66,981 74,397 79,08 83,98 88,379 91, ,75 45,44 48,758 51,739 55,39 61,698 69,335 77,577 85,57 90,531 95,03 100,45104, ,17 53,540 57,153 60,391 64,78 71,145 79,335 88,130 96, ,879106,6911,39116, ,196 61,754 65,647 69,16 73,91 80,65 89,335 98, ,565113,145118,13614,11618, ,38 70,065 74, 77,99 8,358 90,133 99, ,141118,49814,3419,561135,807140,169 T7_INTERVALOS DE CONFIANÇA.doc Pedro Bello Págia 1