ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

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1 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 1

2 Estimação de Parâmetros uiverso do estudo (população) dados observados O raciocíio idutivo da estimação de parâmetros

3 Estimação de Parâmetros POPULAÇÃO p =? AMOSTRA Observações: X 1 X X 3... p = pˆ ± erro amostral pˆ 3

4 Estimação de Parâmetros População p Amostra X S pˆ (parâmetros: úmeros reais descohecidos) (estatísticas / estimadores: variáveis aleatórias) 4

5 Objetivo A partir de uma amostra estimar os parâmetros populacioais. 5

6 Propriedades Desejáveis de um Estimador Não-tedeciosidade: um estimador é ão tedecioso (ão viesado; ão viciado) se sua média (ou valor esperado) for o próprio parâmetro que se pretede estimar. 6

7 Não Tedeciosidade X = X i E( X ) = X = Não-tedecioso Número de ocorrêcias (biomial) pˆ X E( pˆ) 1 1 E( X ). p p Não-tedecioso 7

8 Não Tedeciosidade ( x i x) ˆ Tedecioso 1 E( ˆ ) s ( ) xi x 1 Não-tedecioso ) E( s 8

9 Eficiêcia Um estimador (T 1 ) é mais eficiete que outro (T ) a estimação de um parâmetro se E{(T 1 ) } < E{(T ) } Se T 1 e T forem ão tedeciosos, T 1 é mais eficiete que T se Var(T 1 ) < Var (T ) 9

10 Não tedeciosidade e Eficiêcia T 1 é mais eficiete que T x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x T 1 T T 3 Não-tedeciosos Tedecioso 10

11 Costrução de estimadores Estimador de míimos quadrados: fução que miimiza o quadrado dos erros a amostra. Ex. Dada uma amostra de medidas: X 1, X,..., X, supodo o modelo X i = + e i ode: = medida verdadeira, e i = erro associado à i-ésima medida, i = 1,,..., 11

12 1 Estimador de míimos quadrados X i = + e i Valor de que miimiza i i i e i X SQE 1 1 X X X i i i i 1 1 ˆ 0

13 Costrução de estimadores Estimador de máxima verossimilhaça (EMV): supodo que os dados provém de um certo modelo probabilístico, o EMV de um parâmetro é a estatística T = T(X 1, X,..., X ) que produz um valor, o qual tora a amostra observada mais verossímil possível. Ex. Expto: 3 laçametos de uma moeda; Modelo: P(cara) = p; P(coroa) = 1 - p Amostra: {cara, cara, coroa} 13

14 Ex. Estimador de máxima verossimilhaça (EMV) Expto: 3 laçametos de uma moeda; Modelo: P(cara) = p; P(coroa) = 1 - p Amostra: {cara, cara, coroa} EMV: Valor de p que maximiza a fução de verossimilhaça L(p) = p.(1- p) d dp L( p) 0 pˆ 3 (proporção amostral) 14

15 Estimador de máxima verossimilhaça (EMV) Em geral, uma distribuição biomial, o EMV de p é a proporção amostral Numa distribuição ormal, os EMV de e são, respectivamete: pˆ X ˆ X i X i ˆ i X i X 15

16 Estimação de Parâmetros Por poto: estima-se apeas um valor para o parâmetro p pˆ Por itervalo: estima-se um itervalo de valores ode deve-se ecotrar o parâmetro (itervalo de cofiaça). p pˆ erro amostral 16

17 Relação etre p e pˆ População 30% cotrários 70% favoráveis Amostra aleatória com = 400 idivíduos Calcula-se pˆ Simularam-se 100 amostras 17

18 f reqüêcia Relação etre p e pˆ ,70 0,64 0,66 0,68 0,7 0,7 0,74 0,76 v alor calculado de P Em geral, erro amostral < 0,05 Em geral, o itervalo pˆ 0,05 cotém p 18

19 Relação etre p e pˆ Desde que a amostra seja aleatória e razoavelmete grade ( > 30), tem-se: Os possíveis valores de seguem uma distribuição (aproximada) ormal com média e desvio padrão dados por pˆ pˆ = p pˆ = p.(1 p) 19

20 Distribuição de pˆ 95% p p pˆ 0

21 No exemplo distribuição de pˆ 95% pˆ = 0,70 = 0,04 pˆ 0,65 0,70 0,70 0,048 0,75 pˆ = p.(1 p) p pˆ 1

22 Estimação de uma proporção p Na prática, estima-se o erro padrão da proporção por S Pˆ = pˆ.(1 pˆ)

23 Estimação de uma proporção p Itervalo de 95% de cofiaça para p: p pˆ s p ˆ Ode: S Pˆ = pˆ.(1 pˆ) Ex. = 400 acusado 68 favoráveis ==> pˆ = 0,67 S Pˆ = 0,67.(10,67) I. C.: 0,67 0,047 0, ou: 67,0% 4,7% 3

24 Estimação de p (exemplo) Com 95% de cofiaça a verdadeira proporção de favoráveis está o itervalo 67,0% 4,7% (ou de 6,3% a 71,7%) População 70% favoráveis 30% cotrários 0,67 95% 0,70 0,70 0,048 p p Pela teoria: possíveis valores de p 4

25 Nível de cofiaça área itera = ível de cofiaça - Z 0 Z PARTE DE UMA TABELA NORMAL PADRÃO Área 0,800 0,900 0,950 0,980 0, ,998 z 1,8 1,645 1,960,36,576,807 3,090 Itervalo de cof. pˆ ± z. S pˆ Repetir ex. aterior, usado 99% de cof. 5

26 Estimação de uma proporção p Tamaho N da população cohecido Faz-se uma correção o cálculo do erro padrão: pˆ.(1 pˆ) N S Pˆ = N 1 OBS. Se N >>, pode-se usar a expressão ateriormete empregada. 6

27 Exemplo 1 Numa amostra aleatória simples de 10 domicílios, realizada um certo bairro da cidade, observou-se que apeas 33,3% possuíam istalações saitárias adequadas. Cosiderado que existam 460 domicílios o bairro, ecotre um itervalo de 95% de cofiaça para a proporção de domicílios com istalações saitárias adequadas. 7

28 Exemplo 1 pˆ ± z. S pˆ S Pˆ = pˆ.(1 pˆ) N N 1 S Pˆ = 0,333.(10,333) ,0307 s 0,037 p ˆ 0,074 Itervalo de 95% de cofiaça para p: 33,3% 7,4% 8

29 Estimação de uma média Estimador potual: o melhor estimador para a média populacioal µ de uma variável é a média amostral da variável. Desde que a amostra seja aleatória e razoavelmete grade ( > 30), tem-se: Os valores da média amostral seguem uma distribuição aproximadamete ormal, cujos parâmetros são: = X X = 9

30 Distribuição de X 95% X 30

31 Estimação do erro padrão da média S X = S para N descohecido ou muito grade S X = S N N 1 para N cohecido e ão muito grade 31

32 Itervalo de cofiaça para a média X t.s X X média da amostra S erro padrão da média X t abscissa da distrib. t com gl = - 1 3

33 A distribuição t de Studet ormal t 0 t 33

34 A distribuição t de Studet Distribuição t com gl = 1,5% 95%,5% Área cauda sup. gl 0,05 1 1,706 0 t ===> t = 1,706 34

35 Exemplo Ecotrar o valor de t para: a) ível de cofiaça de 99%, com 19 graus de liberdade (amostra com 0 elemetos),861 b) ível de cofiaça de 95%, com 19 graus de liberdade (amostra com 0 elemetos),093 c) ível de cofiaça de 95%, com graus de liberdade 1,960 35

36 Exemplo 3 O tempo de resposta de um algoritmo de otimização, implemetado uma certa máquia, foi observado 0 vezes. Desta amostra, obteve-se as seguites estatísticas: média de 8,0 miutos e desvio padrão de 10,0 miutos. Apresete um itervalo de cofiaça para o tempo médio de resposta do algoritmo esta máquia. 36

37 x 8 miutos Exemplo 3 = 0 (19 graus de liberdade) s = 10 miutos Nível de 95% de cofiaça: t =,093 s I. C. x t 8, I. C. 8 4,7 L.I. = 8 4,7 = 77,3 miutos L.S. = 8 + 4,7 = 86,7 miutos Há 95% de probabilidade de µ estar etre 77,3 e 86,7 miutos. 37

38 Exercício 1 Com o objetivo de avaliar o grau médio de impureza de determiada matéria prima, fez-se 10 observações idepedetes deste material, ecotrado os seguites valores (%) de impurezas: 3,3 3,7 3,5 4,1 3,4 3,5 4,0 3,8 3, 3,7 (média = 3,6; desvio padrão = 0,94) Costrua um itervalo de 95% de cofiaça para a verdadeira média. 38

39 Tamaho da amostra para estimar uma Média Cosidere o itervalo de cofiaça para : X t s X erro máximo (E) ode s X s E 0 : erro amostral máximo especificado a priori. 39

40 Tamaho da amostra para estimar uma Média Cálculo iicial: 0 = t E 0 s = 0 se N é muito grade ou descohecido = N. N se N ão for muito grade e for cohecido 40

41 Tamaho de Amostras Avaliação a priori do desvio padrão: Estudos passados Amostra piloto Fixado-se um valor teórico 41

42 Exemplo 4 Qual o tamaho da amostra para estimar o tempo médio processameto de ecomedas em uma agêcia fraqueada dos correios, admitido-se um erro máximo de 1 miuto? Cosidere que uma amostra piloto com 0 observações, ecotrou-se um desvio padrão de 10,0 miutos. 4

43 Exemplo 4 Nível de cofiaça: 95% E 0 = 1 miuto Amostra piloto: = 0, s = 10 miutos 95% de cofiaça para 0-1 = 19 graus de liberdade, t =,093 t s, = 438,0649 E Míimo de 439 elemetos! 43

44 Tamaho da amostra para estimar uma Proporção z p (1 p) Cálculo iicial: 0 = E 0 = 0 se N é muito grade ou descohecido = N. N se N ão for muito grade e for cohecido 44

45 Tamaho da amostra para estimar uma Proporção Estimação a priori da proporção p: Estudos passados Amostra piloto Fixado-se um valor teórico (0,5) => estimativa EXAGERADA. 45

46 Exemplo 5 Qual deve ser o tamaho de uma amostra aleatória simples para avaliar a preferêcia por um cadidato de certo partido em um grade muicípio, admitido erro amostral máximo de 3%, com 95% de cofiaça: a) Supodo que usualmete o partido obtém 40% de preferêcia popular? b) Utilizado uma estimativa exagerada. 46

47 Exemplo 5 a) p = 0,4 1- p = 0,6 E 0 = 0,03 Nível de cofiaça = 0,95 Z = 1,96 (1 ) 1,96 0,4 0,6 = z p p 0 104, E0 0,03 b) p = 0,5 1- p = 0,5 E 0 = 0,03 Nível de cofiaça = 0,95 Z = 1,96 (1 ) 1,96 0,5 0,5 = z p p , E0 0,03 47