Avaliação de Desempenho de Sistemas Discretos

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1 Distribuições Comus Avaliação de Desempeho de Sistemas Discretos Probabilidade e Estatística 2 Uiforme Normal Poisso Hipergeométrica Biomial Studet's Geométrica Logormal Expoecial Beta Gamma Qui-Quadrado Weibull Pareto Erlag Pascal Professor: Reialdo Gomes reialdo@dsc.ufcg.edu.br Distribuição de Poisso Distribuição de Poisso 3 Parâmetro: λ (média) 4 Número de pessoas que chegam em um lugar por hora Número de chamadas telefôicas em uma cetral Número de coexões TCP recebidas em um servidor por hora Número de vezes que um servidor Web é acessado por miuto Número de carros que passam a rua em um período Número de avios que chegam o porto por dia Em geral: Processos de ascimeto Distribuição Uiforme - Cotíua Distribuição Uiforme - Cotíua 5 Parâmetros: a e b (limite iferior e superior) 6 Quado a probabilidade de evetos é a mesma O úmero observado o laçameto de um dado Direção do movimeto de um usuário em um rede celular Dia do mês do aiversário de uma pessoa 1

2 Distribuição Uiforme - Discreta Distribuição Expoecial 7 8 Parâmetro: λ (média) Tempo etre evetos sucessivos O tempo etre acidetes de carro Tempo etre chamadas telefôicas Tempo etre requisições a um servidor de BD Tempo etre falhas de um equipameto Distribuição Expoecial (Gaussiaa) 9 10 Parâmetros: µ, σ² (média e variâcia) Aleatoriedade causada por várias fotes idepedetes agido em cojuto Erros em medições Dados relativamete padroizados (Gaussiaa) Aplicações da Média Normal (m, v) Variâcia Altura das mulheres etre 18 e 24 é uma Normal( 164, 6²) cm 68% têm etre 158 e 170 (média ± 1 Desvio Padrão) 95% têm etre 154 e 176 (média ± 2 Desvios Padrão) 2

3 13 14 Aplicações da A probabilidade de uma variável aleatória X ter um valor detro do itervalo [a,b] é a área sob a curva o itervalo etre x=a e x=b Assuma um coeficiete k que determia os potos A e B em fução do desvio padrão. k=0.1 A=99 B=101 P[A x B]=7.96% k=0.5 A=95 B=105 P[A x B]=38.29% k=1 A=90 B=110 P[A x B]=68.27% k=2 A=80 B=120 P[A x B]=95.45% k=3 A=70 B=130 P[A x B]=99.73% 3

4 19 20 k=4 A=60 B=140 P[A x B]=99.99% k=5 A=50 B=150 P[A x B]= % 21 Caracteristicas A fução desidade é simétrica em toro da média A média é também a moda e a mediaa % da área sob a curva está a 1 desvio padrão (DP) da média % da área sob a curva está a 2 DP da média % da área sob a curva está a 3 DP da média % da área sob a curva está a 4 DP da média % da área sob a curva está a 5 DP da média % da área sob a curva está a 6 DP da média % da área sob a curva está a 7 DP da média 22 Probabilidade e Estatística Amostragem e estimação de parâmetros Itervalo de cofiaça para média 23 População, Amostra e Estimador Amostra é um subcojuto de uma população Exemplo: População: Todas as mulheres do Brasil Amostra: 1000 mulheres de 5 cidades diferetes Qual a altura média da mulher brasileira? Usamos a média da amostra para estimar a média da população Média da amostra = 168cm, desvio padrão = 4cm µ é a média da população (parâmetro estimado) χ é a média amostral (da amostra) e o estimador de µ 24 População, Amostra e Estimador Qual a certeza de que a média da amostra estima bem a média da população? Não é possível ter um estimador perfeito a partir de uma amostra de tamaho fiito O melhor que podemos fazer é obter limites probabilísticos, Ou seja, ao ivés de dizermos: a média de altura da mulher brasileira é 168cm Dizemos: a média da mulher brasileira é algum valor etre 168-c e 168+c, com probabilidade p Quato mais próximo de 1 for p, mais certeza haverá E c depede: De p: maior p maior c Do tamaho da amostra: poucas amostras maior c Da variabilidade observada a amostra: muita variabilidade maior c 4

5 Média Amostral Seja x i uma V.A. obtida de uma população que tem distribuição de probabilidade estacioária com média fiita e variâcia 2 Seja x m a média amostral quado observações idepedetes são feitas para x i (observe que x i também é uma V.R.), ode: x m = 1/ x i i = 1 26 Itervalo de cofiaça Itervalo de cofiaça é um itervalo que cotém o parâmetro estimado com uma certa probabilidade Determia os limites probabilísticos: Probabilidade{ c1 µ c2 } = 1 α c1 = x c e c2 = x + c O itervalo (c1,c2) é o itervalo de cofiaça α é o ível de sigificâcia (meor é melhor) 100(1-α) é o ível de cofiaça (ex: 90%, 95%, 99%) p=(1-α) é a probabilidade de acerto do estimador Como calcular c? Itervalo de Cofiaça Deseja-se ecotrar um itervalo em toro de x m ode se pode afirmar que a média verdadeira µ se localiza com probabilidade 1- α (chamada ível de cofiaça) Do Teorema do Limite Cetral, a distribuição de x m tede a uma distribuição ormal com média µ e variâcia σ 2 (σ 2 é a verdadeira variâcia da medida) Para se usar tabelas estatísticas padrões, cosidera-se a V.R. Z = (x m - µ ) / (σ / ) que aproximadamete tem distribuição ormal com média 0 e variâcia 1 (distribuição ormal padrão) 28 Sem Itervalo de Cofiaça Com Itervalo de Cofiaça Distribuição t-studet 29 Na prática, σ 2 ão é cohecida, sedo substituída por s 2 = 1/(-1) (x i - x m ) 2 i=1 Agora, a variável z ão pode mais ser aproximada pela distribuição ormal e sim pela distribuição t-studet ou, simplesmete distribuição t, com (-1) graus de liberdade 5

6 Nível de cofiaça Resumido: para ecotrar um itervalo em toro de x m (x m - w ; x m + w) ode se pode afirmar que a média verdadeira µ se localiza com probabilidade 1- α (Nível de Cofiaça - NC) temos: W = t (α /2, -1) * s 2 / Ode: NC = (1- α)% t (α /2, -1) = valor da distribuição t (t-distributio), para NC (100- α)%, com -1 graus de liberdade Nível de cofiaça Que ível de cofiaça usar? Quata perda você pode suportar caso o parâmetro da população esteja fora do seu itervalo? Quato gaho você teria se o parâmetro estivesse detro do itervalo? Precisão: repetibilidade dos valores obtidos através das medições feitas Se medir várias vezes o mesmo feômeo, quão dispersos são os resultados? Acurácia: é a difereça etre o valor medido e um valor de referêcia Quão perto do correto está a medição? Meor α => Maior IC => Maior cofiaça IC maior => Meor a precisão Existe mais icerteza sobre quem de fato é a média Nível de cofiaça Calculado o Itervalo de Cofiaça 34 Amostras=1000 Média=168 Desvio=4 Nível de cofiaça=95% α = 0.05 P=1-α = 0.95 Probabilidade{ µ } = 0.95 Ou a mulher brasileira tem etre e de altura com probabilidade de 95% Com Itervalo de Cofiaça Exemplo 35 Um modelo de um caal de comuicação de uma RC foi simulado para se obter o tempo médio de trasmissão de pacotes (microsegudos). Os valores ecotrados em 10 simulações realizadas foram: 9,252; 9,273; 9,413; 9,198; 9,532 9,355; 9,155; 9,558; 9,310; 9,269 Deseja-se ecotrar o tempo médio de trasmissão dos pacotes e o itervalo de cofiaça para um ível de cofiaça igual a 95%. 6

7 Exemplo Temos: = 10 NC = 95% = (100- α)% => α =0.05 Da distribuição t, para α /2=0,025, com 9 graus de liberdade t (α /2, -1) = t (0,025, 9) = 2,26 Etão: x m = 1/ x i i = 1 => x m =9,331 s 2 = 1/(-1) (x i - x m ) 2 => s 2 = 0,018 i=1 x m ± w = ± <= => 9,235 9,331 9,427 x m Calculado o Itervalo de Cofiaça Com Itervalo de Cofiaça é um valor tabelado, baseado a distribuição Normal Reduzida N(0,1) s é o desvio padrão da amostra é o tamaho da amostra Tamaho da Amostra 41 Quatas observações são ecessárias para obtermos uma precisão de r% com um ível de cofiaça de 100(1-α)%? O itervalo de cofiaça deve ficar etre Quatidade de repetições: 42 7