SUMÁRIO 1. AMOSTRAGEM Conceitos básicos 4

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2 SUMÁRIO 1. AMOSTRAGEM Coceitos básicos Distribuição amostral dos estimadores Distribuição amostral da média Distribuição amostral da variâcia Distribuição amostral da proporção 13. ESTIMAÇÃO Propriedades dos estimadores 16.. Estimação por poto Estimação por itervalo Da média populacioal Da proporção populacioal Da variâcia populacioal (σ) Do desvio padrão populacioal (σ) 3. EXERCÍCIOS 4 4. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 7 5. REFERÊNCIAS 9 3

3 1. AMOSTRAGEM 1.1. CONCEITOS BÁSICOS Estatística Idutiva. Muitas vezes, apesar dos recursos computacioais e da boa votade ão é possível estudar todo um cojuto de dados de iteresse. Neste caso estuda-se uma parte do cojuto. O pricipal motivo para se trabalhar com uma parte do cojuto ao ivés do cojuto iteiro é o custo. O cojuto de todos os elemetos que se deseja estudar é deomiado de população. Note-se que o termo população é usado um setido amplo e ão sigifica, em geral, cojuto de pessoas. Pode-se defiir uma população como sedo: Uma coleção de todos os possíveis elemetos, objetos ou medidas de iteresse. Assim, são exemplos de populações: O cojuto das redas de todos os habitates de Porto Alegre; O cojuto de todas as otas dos aluos de Estatística; O cojuto das alturas de todos os aluos da Uiversidade; etc. Um levatameto efetuado sobre toda uma população é deomiado de levatameto cesitário ou Ceso. Fazer levatametos, estudos, pesquisas, sobre toda uma população (ceso) é, em geral, muito difícil. Isto se deve à vários fatores. O pricipal é o custo. Um ceso custa muito caro e demada um tempo cosiderável para ser realizado. Assim, ormalmete, se trabalha com partes da população deomiadas de amostras. Uma amostra pode ser caracterizada como: Uma porção ou parte de uma população de iteresse. Utilizar amostras para se ter cohecimeto sobre populações é realizado itesamete a Agricultura, Política, Negócios, Marketig, Govero, etc., como se pode ver pelos seguites exemplos: Ates da eleição diversos órgãos de pesquisa e impresa ouvem um cojuto selecioado de eleitores para ter uma idéia do desempeho dos vários cadidatos as futuras eleições. Uma empresa metal-mecâica toma uma amostra do produto fabricado em itervalos de tempo especificados para verificar se o processo está sob cotrole e evitar a fabricação de ites defeituosos. O IBGE faz levatametos periódicos sobre emprego, desemprego, iflação, etc. Redes de rádio e TV se utilizam costatemete dos ídices de popularidade dos programas para fixar valores da propagada ou etão modificar ou elimiar programas com audiêcia isatisfatória. Biólogos marcam pássaros, peixes, etc. para tetar prever e estudar seus hábitos. O processo de escolha de uma amostra da população é deomiado de amostragem. Riscos da amostragem. O processo de amostragem evolve riscos, pois toma-se decisões sobre toda a população com base em apeas uma parte dela. A teoria da probabilidade pode ser utilizada para forecer uma idéia do risco evolvido, ou seja, do erro cometido ao utilizar uma amostra ao i- 4

4 vés de toda a população, desde que, é claro, a amostra seja selecioada através de critérios probabilísticos, isto é, ao acaso. Baseado os coceitos ateriores pode-se defiir Estatística Idutiva ou Iferecial como sedo: A coleção de métodos e técicas utilizados para se estudar uma população baseados em amostras probabilísticas desta mesma população. Uma amostra é dita probabilística se todos os elemetos da população tiverem probabilidade cohecida e ão zero de pertecer a amostra. Detre as várias maeiras de se selecioar uma amostra probabilística ou aleatória de uma população a mais simples é atribuir a todos os elemetos da população a mesma probabilidade de pertecer a amostra. Uma amostra que satisfaça tal critério é deomiada de amostra aleatória simples (aas). Uma aas pode ser extraída de uma população de acordo com os critérios: (a) com reposição e (b) sem reposição. Se a população for ifiita etão as retiradas com e sem reposição serão equivaletes, isto é, se a população for ifiita (ou etão muito grade), o fato de se recolocar o elemeto retirado de volta a população. ão vai afetar em ada a probabilidade de extração do elemeto seguite. Se, o etato, a população for fiita (e pequea) será ecessário fazer uma distição etre os dois procedimetos, pois a extração com reposição as diversas retiradas serão idepedetes, mas o processo sem reposição haverá depedêcia etre as retiradas, isto é, o fato de ão recolocar o elemeto retirado afeta a probabilidade do elemeto seguite ser retirado. A amostragem sem reposição é mais eficiete que a amostragem com reposição e reduz a variabilidade uma vez que ão é possível retirar elemetos extremos mais do que uma vez. Assim se N represeta o tamaho da população e < N o tamaho da amostra, etão o úmero de amostras possíveis de acordo com os critérios com e sem reposição será: (a) Com reposição k = úmero de amostras = N (b) Sem reposição k = úmero de amostras = N Exemplo: N! =!( N )! Cosidere a população P = { 1, 3, 5, 6 }. Etão o úmero de amostras possíveis de tamahos = e = 3, de acordo com os critérios com e sem reposição será: (a) Sem reposição (1) = Como N = 4 e =, etão o úmero de amostras possíveis será: N = 4 = 4! = 6!( 4 )! 5

5 Estas amostras serão: (1, 3) (1, 5) (1, 6) (3, 5) (3, 6) (5, 6) () = 3 Como N = 4 e = 3, etão o úmero de amostras possíveis será: N = 4 3 Estas amostras serão: (1, 3, 5) (1, 3, 6) (1, 5, 6) (3, 5, 6). (b) Com reposição = 4! = 4 3!( 4 3)! (1) = Como N = 4 e =, etão o úmero de amostras possíveis será N = 4 = 16. Estas amostras serão: (1, 1) (1, 3) (1, 5) (1, 6) (3, 3) (3, 5) (3, 6) (5, 5) (5, 6) (6, 6) (3, 1) (5, 1) (6, 1) ( 5, 3) (6, 3) (6, 5) Como pode ser observado este caso as amostras (a, b) e (b, a) são cosideradas diferetes, isto é, a amostragem com reposição as amostras são ordeadas. () = 3 Como N = 4 e = 3, etão o úmero de amostras possíveis será N = 4 3 = 64 Algumas destas amostras são: (1, 1, 1) (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1) (1, 3, 5) (1, 5, 3) ( 5, 3, 1) (5, 1, 3) (1, 3, 6) (3, 3, 3), (5, 5, 5) (5, 5, 6) (1, 5, 6) (3, 5, 6), etc. Estimador, estimativas e parâmetros Uma característica da população é deomiada parâmetro. Um parâmetro é uma costate, isto é, é um úmero que represeta uma característica úica da população. Assim se P é uma população, os pricipais parâmetros seriam: (i) A média de P, aotada por µ P (ii) A variâcia de P, aotada por P σ (iii) O desvio padrão de P, aotado por σ P (iv) A proporção de elemetos de P que apresetam determiada característica, aotada por: π, etre outros. Exemplo: Para a população P = { 1, 3, 5, 6 } os parâmetros acima seriam: (i) µ P = ( ) / 4 = 15 / 4 = 3,75 (ii) P σ = ( ) / 4-3,75 = 71/4-3,75 = 17,75-14,065 = 3,6875 = 3,69. (iv) σ P = 1,903 = 1,9 (v) π = 1 / 4 = 5%, ode o umerador represeta o úmero de elemetos pares a população 6

6 Estimador Um estimador é uma característica da amostra. Como a amostra é aleatória um estimador é uma variável aleatória. Assim tudo o que foi visto em probabilidade sobre variáveis aleatórias, aplica-se aos estimadores. A distribuição de probabilidade de um estimador é deomiada de distribuição amostral. Os pricipais estimadores são: (I) A média da amostra, X que é um estimador da média da população: µ (ii) A variâcia amostral, S que é um estimador da variâcia populacioal: σ (iii) A proporção amostral, P, que é um estimador amostral da proporção populacioal π. Estimativa Uma estimativa é um valor particular de um estimador Assim x = é uma estimativa. O estimador é a expressão (fórmula) equato que a estimativa é o valor particular que ele assume (úmero). Cálculo dos pricipais estimadores. Se (X 1, X,..., X ) é uma amostra aleatória de tamaho extraída de uma população, etão: (a) X = Xi / é uma estimativa da média populacioal quado a amostra ão está agrupada e X = fix / é uma estimativa da média da amostra quado a amostra está agrupada em uma distribuição de freqüêcias (por poto ou por i valores). X X 1 (b) S = ( i ) amostra ão está agrupada e = i X X é uma estimativa da variâcia populacioal quado a 1 f X X f X X S = ( i i ) i i = é uma estimativa da variâcia populacioal quado a 1 1 amostra está agrupada em uma distribuição de freqüêcias. Note-se que agora a variâcia é calculada com - 1 o deomiador. Isto se deve ao fato de que a variâcia for calculada com o deomiador, a média de sua distribuição amostral ão será igual a variâcia populacioal o que caracterizaria um estimador tedecioso. Embora a variâcia seja calculada com - 1 o deomiador com o objetivo de que as estimativas variem em toro do parâmetro, isto ão irá ocorrer se a amostragem for sem reposição de população fiita. Neste caso é ecessário utilizar, aida, uma correção para a variâcia que cosiste em multiplicá-la pelo valor (N - 1) / N. Evidetemete esta correção só será ecessária se a população for pequea, caso cotrário o quociete acima será aproximadamete igual a um e a correção ão precisará ser feita. Assim se a população for fiita (e pequea) e a amostragem for realizada sem reposição a variâcia deverá ser calculada por: S = N 1 S N 7

7 (c) P = f /, ode f = freqüêcia de elemetos a amostra com determiada característica é uma estimativa da proporção populacioal π. 1.. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES Distribuição amostral da média (1) Amostragem com reposição Cosidere-se a população P = { 1, 3, 5, 6 } e todas as amostras possíveis de tamaho = extraídas com reposição. Para cada amostra vai-se calcular a média. Ter-se-á assim um cojuto de 16 valores que serão dispostos em uma tabela, com as respectivas probabilidades, e que costituirá etão a distribuição amostral da média da amostra. As possíveis amostras com as respectivas médias são: Amostras (1, 1) (1, 3) (1, 5) (1, 6) (3, 3) (3, 5) (3, 6) (5, 5) 1 3 3, ,5 5 Amostras (5, 6) (6, 6) (3, 1) (5, 1) (6, 1) ( 5, 3) (6, 3) (6, 5) x 5, ,5 4 4,5 5,5 Colocado estes resultados em uma tabela (distribuição amostral da média) vem: x f( x ) = P( X = x ) x f( x ) x f( x ) 1,0 1/16 1/16 1,0/16,0 /16 4/16 8,0/16 3,0 3/16 9/16 7,0/16 3,5 /16 7/16 4,5/16 4,0 /16 8/16 3,0/16 4,5 /16 9/16 40,5/16 5,0 1/16 5/16 5,0/16 5,5 /16 11/16 60,5/16 6,0 1/16 6/16 36,0/ /16 54,5/16 Pela tabela pode-se verificar que: E(X) = x f(x ) = 60/16 = 3,75 = µ, isto é a expectâcia (média) de todas as médias amostrais, extraídas com reposição da população P, é igual a média populacioal (parâmetro populacioal média). V(X) = x f(x ) - µ X = 54,5/16-3,75 = 1,84375 = σ / = 3,6875/, isto é, a variâcia etre as médias amostrais é vezes (este caso vezes) meor que a variâcia populacioal. O valor σ X = 1,36 é deomiado erro padrão da média. Ele mede a variabilidade etre as médias amostrais e dá uma idéia do erro que se comete ao se substituir a média da população pela média da amostra. De fato, verificado a tabela acima, pode-se ver que se por exemplo, fosse selecioada a amostra (1, 1) seríamos levados a crer que a média da população seria um, quado de fato ela vale 3,75, cometedo assim um erro de,75 uidades. Felizmete este erro (o maior possível este caso) só vai ocorrer com uma probabilidade de 1/16 = 6,5%. Se por exemplo, fosse selecioada a amostra (1, 8

8 6) a média amostral seria 3,5 e o erro cometido (este caso) seria de 0,5 uidades. Este erro bem meor que o aterior ocorre com uma probabilidade de /16 = 1,5%. O que o desvio padrão da distribuição amostral da média faz é determiar o erro médio, sedo por isso deomiado, etão, de erro padrão da amostragem. () Amostragem sem reposição Cosidere-se a população P = { 1, 3, 5, 6 } e todas as amostras possíveis de tamaho = extraídas sem reposição. As possíveis amostras com as respectivas médias são: Amostras (1, 3) (1, 5) (1, 6) (3, 5) (3, 6) (5, 6) x 3 3,5 4 4,5 5,5 Colocado estes resultados em uma tabela (distribuição amostral da média) vem: x f(x ) = P(X = x ) x f(x ) x f(x ),0 1 / 6,0 / 6 04,00 / 6 3,0 1 / 6 3,0 / 6 09,00 / 6 3,5 1 / 6 3,5 / 6 1,5 / 6 4,0 1 / 6 4,0 / 6 16,00 / 6 4,5 1 / 6 4,5 / 6 0,5 / 6 5,5 1 / 6 5,5 / 6 30,5 / 6 1,5 / 6 91,75 / 6 Da tabela segue: E(X) = x f(x ) =,5/6 = 3,75 = µ, isto é a expectâcia (média) de todas as médias amostrais, extraídas sem reposição da população P, também é igual a média populacioal (parâmetro populacioal média). σ N. V(X) = x f(x ) - µ X = 91,75/6-3,75 = 1,9 = = 1, (/3), isto é, a variâcia etre as médias amostrais é vezes (este caso vezes) meor que a variâcia populacioal N 1 multiplicada pelo fator de correção de população fiita. Este fator, pode ser cosiderado como o fator de eficiêcia da amostragem sem reposição sobre a amostragem com reposição, que este caso (N = 4 e =) vale /3. Como a amostragem sem reposição ão é possível retirar o mesmo elemeto duas vezes, as médias ão podem assumir valores tão extremos, como por exemplo, o valor um ou seis que assumiram a amostragem com reposição. Isto faz com que a erro padrão a amostragem sem reposição seja meor do que a amostragem com reposição. O fator de redução da variâcia a amostragem sem reposição é: (N - ) / (N -1) Pode-se perceber facilmete que quato maior for a difereça etre o tamaho da população e o tamaho da amostra mais próximo de um será este fator. Etão, como regra prática, pode-se admitir como ecessária a correção para a variâcia das médias amostrais sempre que o tamaho da amostra exceder a 5% do tamaho da população. Caso isto ão ocorra ão é ecessário fazer-se a distição etre os dois procedimetos (com e sem reposição). Evidetemete as cosiderações acima valem para populações pequeas. Se a população é bastate grade ou ifiita, ão mais será possível pesar em costruir tabelas para represetar a distri- 9

9 buição das médias amostrais. Neste caso é ecessário procurar por modelos probabilísticos que descrevam a distribuição da média amostral. Neste caso, também, como declarado acima a distição etre amostragem com e sem reposição ão será ecessário, pois o fator de correção será aproximadamete um e ão ecessitará ser utilizado. Os modelos probabilísticos são cohecidos a partir dos dois seguites resultados: (a) Se (X 1, X,..., X ) é uma amostra aleatória de uma população com distribuição ormal de média µ e desvio padrão σ, etão a média da amostra (X) terá uma distribuição também ormal com a mesma média da população e com desvio padrão (erro padrão) raiz de vezes meor que o desvio padrão da população, isto é: Se X é N(µ, σ) etão X será N(µ, σ ) (b) Teorema Cetral do Limite Se (X 1, X,..., X ) é uma amostra aleatória extraída de uma população com qualquer distribuição de média µ e desvio padrão σ, etão a média da amostra (X) terá uma distribuição aproximadamete ormal com a mesma média da população e com desvio padrão (erro padrão) raiz de vezes meor que o desvio padrão da população à medida que o tamaho da amostra aumeta. OBS.: Para amostras de 30 ou mais valores, em geral, a aproximação já será suficiete boa, para se poder utilizar este resultado. Assim: Se X tem qualquer distribuição etão X terá uma distribuição aproximadamete N(µ, para grade ( 30). Exemplos: (1) Uma população X tem uma distribuição ormal de média 100 e desvio padrão 10. (a) Qual P(95 < X < 105)? (b) Se X é a média de 16 elemetos extraída desta população, qual a P(95 < X < 105)? Solução: (a) Como X é uma N(100, 10) vem: P(95 < X < 105) = P(-0,5 < Z < 0,5) = Φ(0,5) - Φ(-0,5) = 0,6915-0,3185 = 38,30%. Neste caso X é uma N(100;,5), etão: σ ) (b) P(95 < X < 105) = P(-,0 < Z <,0) = Φ(,0) - Φ(-,0) = 0,977-0,08 = 95,44%. () A reda de um cojuto de pessoas de uma certa região tem média 6 s.m. e desvio padrão de s.m. Se desta população for extraída uma amostra de = 100 pessoas, qual a probabilidade de a média desta amostra acuse um valor superior a 6,3 s.m? Solução: Neste caso, como ão foi declarado que a população é ormal é ecessário aplicar o teorema cetral do limite, uma vez que = 100 > 30, isto é possível. A média da amostra terá uma distribuição aproximadamete ormal com média 6 s.m. e desvio padrão de: / 10 = 0,0, uma vez que o erro pa- 10

10 drão da média é raiz de vezes meor do que o desvio padrão populacioal. Etão, a probabilidade pedida será: P(X > 6,30) = P(Z > (6,30-6)/0,0 ) = P (Z > 1,5) = Φ(-1,5) = 6,68%, isto é, apeas 6,68% das médias de amostras de tamaho = 100 apresetarão um valor superior a 6,30 s.m Distribuição amostral da variâcia (1) Amostragem COM reposição Cosidere-se a população P = { 1, 3, 5, 6 } e todas as amostras possíveis de tamaho = extraídas com reposição. Para cada amostra vai-se calcular a variâcia. Ter-se-á assim um cojuto de 16 valores que serão dispostos em uma tabela, com as respectivas probabilidades, e que costituirá etão a distribuição amostral da variâcia. As possíveis amostras com as respectivas variâcias são: Amostras (1, 1) (1, 3) (1, 5) (1, 6) (3, 3) (3, 5) (3, 6) (5, 5) x 1 3 3, ,5 5 s 0 8 1,5 0 4,5 0 Amostras (5, 6) (6, 6) (3, 1) (5, 1) (6, 1) ( 5, 3) (6, 3) (6, 5) x 5, ,5 4 4,5 5,5 s 0, ,5 4,5 0,5 Colocado estes resultados em uma tabela(distribuição amostral da variâcia) vem: s f(s ) = P(S = s f(s ) s ) 0,0 4/16 0/16 0,5 /16 1/16,0 4/16 8/16 4,5 /16 9/16 8,0 /16 16/16 1,5 /16 5/ /16 Pela tabela segue que: E(S ) = s f(s ) = 59/16 = 3,6875 = σ, isto é a expectâcia (média) de todas as variâcias das amostras de tamaho =, extraídas com reposição da população P, é igual a variâcia populacioal (parâmetro populacioal variâcia). Em outras palavras, pode-se dizer que quado a amostragem é com reposição a variâcia amostral S é um estimador ão tedecioso da variâcia populacioal σ. Desta forma, sempre que se desejar estimar a variâcia de uma população ode as amostras foram retiradas com reposição, pode-se usar a variâcia amostral como estimador. () Amostragem SEM reposição Cosidere-se a população P = { 1, 3, 5, 6 } e todas as amostras possíveis de tamaho = obtidas sem reposição. 11

11 As possíveis amostras com as respectivas variâcias são: Amostras (1, 3) (1, 5) (1, 6) (3, 5) (3, 6) (5, 6) x 3 3,5 4 4,5 5,5 s 8 1,5 4,5 0,5 Colocado estes resultados em uma tabela (distribuição amostral da variâcia) vem: s f(s ) = P(S = s f(s ) s ) 0,5 1/6 0,5/6,0 /6 4,0/6 4,5 1/6 4,5/6 8,0 1/6 8,0/6 1,5 1/6 1,5/6 1 9,5/6 Pela tabela pode-se ver que: E(S ) = s f(s ) = 9,5/6 3,6875 = σ, isto é a expectâcia (média) de todas as variâcias das amostras de tamaho =, extraídas sem reposição da população fiita P, ão é igual a variâcia populacioal (parâmetro populacioal variâcia). Neste caso, para que se obteha um estimador ão tedecioso da variâcia populacioal é ecessário corrigir a variâcia amostral através do fator (N - 1) / N. Assim se cada variâcia acima for multiplicada por este fator, que este caso será, (N - 1) / N = 3 / 4 = 0,75, etão, se terá: s f( s ) = P( S = s ) s f( s ) 0,375 1/6 0,375/6 1,500 /6 3,000/6 3,375 1/6 3,375/6 6,000 1/6 6,000/6 9,375 1/6 9,375/6 1,15/6 E( S ) = s f( s ) =,15 / 6 = 3,6875 = σ, isto é a expectâcia (média) de todas as variâcias corrigidas é igual ao parâmetro populacioal σ. Assim quado a população é pequea e amostragem for sem reposição é ecessário corrigir a variâcia da amostra pelo fator (N - 1) / N, para que ela seja um bom estimador da variâcia populacioal. É claro que esta correção só será importate para populações pequeas. Se a população for grade, por exemplo, N = 1000, etão o fator (N - 1) / N = 999 / 1000 = 0,999 o que é aproximadamete 1. Neste caso, ão é ecessário usar esta correção e a amostragem sem reposição pode ser cosiderada equivalete a com reposição para efeitos de estimação da variâcia populacioal. Evidetemete as cosiderações acima valem para populações pequeas. Se a população é bastate grade ou ifiita, ão mais será possível pesar em costruir tabelas para represetar a distribuição das variâcias amostrais. Neste caso é ecessário procurar por modelos probabilísticos (fuções) que descrevam a distribuição da variâcia amostral. Para a variâcia este modelo existe e é deomiado de distribuição Qui-quadrado (χ ). 1

12 1..3. Distribuição amostral da proporção (1) Amostragem COM reposição Cosidere-se a população P = { 1, 3, 5, 6 } e todas as amostras possíveis de tamaho = obtidas com reposição. Para cada amostra vai-se calcular a proporção P de elemetos pares a população. Ter-se-á assim um cojuto de 16 valores que serão dispostos em uma tabela, com as respectivas probabilidades, e que formarão etão a distribuição amostral da proporção. As possíveis amostras com as respectivas proporções são: Amostras (1, 1) (1, 3) (1, 5) (1, 6) (3, 3) (3, 5) (3, 6) (5, 5) p / 0 0 1/ 0 Amostras (5, 6) (6, 6) (3, 1) (5, 1) (6, 1) ( 5, 3) (6, 3) (6, 5) p 1/ / 0 1/ 1/ Colocado estes resultados em uma tabela (distribuição amostral da proporção) vem: p f(p) = P(P = p) pf(p) p f(p) 0,0 9/16 0/16 0,0/16 0,5 6/16 3/16 1,5/16 1,0 1/16 1/16 1,0/16 1 4/16,5/16 Pode-se etão calcular a expectâcia e a variâcia: E(P) = pf(p) = 4/16 = 0,5 = π, isto é o valor esperado (média) de todas as proporções amostrais, extraídas com reposição da população P, e é igual a proporção populacioal (parâmetro populacioal π). Isto sigifica, que o estimador P é um estimador ão tedecioso (ou ão viciado) da proporção populacioal π, quado as amostras são extraídas com reposição da população. V(P) = p f(p) - µ P =,5/16-0,5 = 0,09375 = π(1 - π) /, isto é, a variâcia etre as proporções amostrais é vezes (este caso vezes) meor que a variâcia populacioal. Isto porque quado se está trabalhado com proporções, pode-se mostrar que a variâcia populacioal é igual a π(1 - π). π( 1 π) O valor σ P = = 0,09375 é deomiado erro padrão da proporção. Ele mede a variabilidade etre as proporções amostrais e dá uma idéia do erro que se comete ao se substituir a pro- porção da população pela proporção da amostra. () Amostragem SEM reposição Cosidere-se a população P = { 1, 3, 5, 6 } e todas as amostras possíveis de tamaho = extraídas sem reposição. As possíveis amostras com as respectivas proporções são: 13

13 Amostras (1, 3) (1, 5) (1, 6) (3, 5) (3, 6) (5, 6) p 0 0 1/ 0 1/ 1/ Colocado estes resultados em uma tabela (distribuição amostral da proporção) vem: p f(p) = P(P = p) pf(p) p f(p) 0,0 1/ 0,0/ 0,00/ 0,5 1/ 0,5/ 0,5/ 1 0,5/ 0,5/ Portato: E(P) = pf(p) = 0,5/ = 0,5 = π, isto é a expectâcia (média) de todas as proporções amostrais, extraídas sem reposição da população P, e é igual a proporção populacioal (parâmetro populacioal π). Isto sigifica, que o estimador P é um estimador ão tedecioso (ou ão viciado) da proporção populacioal π, quado as amostras são retiradas sem reposição. V(P) = p f(p) - µ P = 0,5/ - 0,5 = 0,065 = π( 1 π) N., isto é, a variâcia etre as proporções amostrais é vezes (este caso vezes) meor que a variâcia populacioal multiplicada N 1 pelo fator de correção de população fiita. Este fator, pode ser cosiderado como o fator de eficiêcia da amostragem sem reposição sobre a amostragem com reposição que, este exemplo, (N = 4 e = ) vale /3. Evidetemete as cosiderações acima valem para populações pequeas. Se a população é bastate grade ou ifiita, ão mais será possível pesar em costruir tabelas para represetar a distribuição das proporções amostrais. Nesta situação é ecessário procurar por modelos probabilísticos que descrevam a distribuição da proporção amostral. Neste caso, também, como declarado acima a distição etre amostragem com e sem reposição ão será ecessária, pois o fator de correção será aproximadamete um e ão precisará ser utilizado. O modelo probabilístico para a proporção amostral é dada pelo seguite resultado: (a) Se (X 1, X,..., X ) é uma amostra aleatória retirada de uma população com proporção π, etão a distribuição da proporção amostral será aproximadamete ormal com média µ P = π e desvio π( 1 π) padrão σ P =. OBS.: Para amostras de 30 ou mais valores, em geral, a aproximação já será suficiete boa, para se poder utilizar este resultado. Para amostras pequeas a distribuição da proporção amostral é Biomial. Exemplo: (1) A proporção de eleitores do cadidato D. M. A. Gogo uma certa região é de 0%. Extraída uma amostra de 100 eleitores desta região, qual a probabilidade que ela apresete um úmero de eleitores do cadidato (a) Abaixo de 15% (b) Superior a 30% 14

14 σ = Solução: Como > 30 pode-se usar a distribuição ormal com média µ = π = 0% e desvio padrão π( 1 π) 01, ( 0, ) = = 0,04 = 4%, Etão: 100 (a) P(P < 15%) = P(Z < -1,5) = Φ(-1,5) = 10,56%. (b) P(P > 30) = P(Z >,5) = Φ(-,5) = 0,6%. 15

15 . ESTIMAÇÃO A iferêcia estatística tem por objetivo fazer geeralizações sobre uma população com base em valores amostrais. A iferêcia pode ser feita estimado os parâmetros: (a) Por poto e (b) Por itervalo. A estimação por poto é feita através de um úico valor, equato que a estimação por itervalo forece um itervalo de valores em toro do valor da estimativa potual. Exemplo: Uma amostra aleatória simples de 400 pessoas de uma cidade é extraída e 300 respodem que acham a admiistração muicipal boa ou ótima. Etão o valor p = 300/400 = 75% é uma estimativa por poto do percetual de pessoas da cidade que acham a admiistração boa ou ótima. Esta mesma estimativa poderia ser euciado como de: 70% a 80% das pessoas da cidade acham a admiistração boa ou ótima. Neste caso, teríamos uma estimativa por itervalo da proporção. Note-se que o cetro do itervalo é o valor 75% da estimativa potual..1. PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES Seja X uma população com um parâmetro de iteresse θ e seja (X 1, X,..., X ) uma amostra aleatória simples extraída desta população. Seja θ um estimador do parâmetro θ. Etão: (i) Se E( θ ) = θ se dirá que θ é um estimador ão-tedecioso ou ão viciado do parâmetro populacioal θ. Neste caso, a média do estimador θ é o parâmetro populacioal θ, ou aida, pode-se dizer que o estimador varia em toro do parâmetro populacioal. (ii) Se θ é um estimador ão tedecioso de um parâmetro θ, se dirá que θ é cosistete se à medida que o tamaho da amostra aumeta a variabilidade do estimador dimiui, isto é, as observações vão ficado cada vez mais cocetradas em toro do parâmetro a medida em que a amostra vai ficado cada vez maior. Em símbolos: lim V() θ = 0.. ESTIMAÇÃO POR PONTO Seja X uma população com média µ, desvio padrão σ e com uma proporção π e seja (X 1, X,..., X ) uma amostra aleatória simples extraída desta população. Etão: (a) X é um estimador ão-tedecioso e cosistete da média da população µ. (b) P é um estimador ão-tedecioso e cosistete da proporção populacioal π. (c) S é estimador ão-tedecioso e cosistete da variâcia da população σ, a meos que a extração seja sem reposição de população fiita. Neste caso, o estimador é S = N 1 S. N.3. ESTIMAÇÃO POR INTERVALO O estimador por poto ão permite ter uma idéia do erro cometido ao se fazer a estimativa do parâmetro. Para que se possa associar uma cofiaça (probabilidade) a uma estimativa é ecessário 16

16 costruir um itervalo em toro da estimativa por poto. Este itervalo é costruído baseado a distribuição amostral do estimador Da média populacioal (a) Desvio padrão populacioal (σ) cohecido O itervalo de cofiaça para a média (µ) de uma população é costruído em toro da estimativa potual X. Para costruir este itervalo fixa-se uma probabilidade 1 - α de que o itervalo costruído coteha o parâmetro populacioal. Desta forma, α será a probabilidade de que o itervalo obtido ão coteha o valor do parâmetro, isto é, α será a probabilidade de erro. Sabe-se que a média da amostra tem distribuição ormal de média µ e desvio padrão σ se a população de ode for extraída a amostra for ormal (ou se a amostra for superior a 30 e retirada de qualquer população ) de média µ e de desvio padrão σ, pode-se etão utilizar a curva ormal para estabelecer os limites para o itervalo de cofiaça. Lembrado que o que se quer é um itervalo que coteha o parâmetro populacioal µ com probabilidade 1 - α tem-se etão: α/. P(-z α/ < Z < z α/ ) = 1 - α, ode z α/ é o valor da ormal padrão com área à direita é igual a Mas Z = (X - µ) / σ substituido a expressão acima vem: P(-z α/ < (X - µ) / σ < z α/ ) = 1 - α. Trabalhado esta desigualdade, segue que: P(X - z α/ σ < µ <X + z α/ σ ) = 1 - α. Que é o itervalo procurado. Assim o itervalo de cofiaça (probabilidade) de 1 - α para a média de uma população é dado por: [X - z α/ σ ; X + z α/ σ ] ode: X é a estimativa por poto da média da população. σ é o desvio padrão da população e z α/ é o valor da distribuição ormal padrão cuja área à direita é igual a α/, isto é, é o valor de Z tal que: P(Z > z α/ ) = α/, ou etão: Φ(-z α/ ) = α/. Exemplo: Uma população tem um desvio padrão igual a 10 e média descohecida. Uma amostra de tamaho = 100 é retirada e forece uma média x = 50. Qual o itervalo de 95% de cofiaça para a média desta população? Solução: Tem-se 1 - α = 95%, etão α = 5% e α / =,5%. O coeficiete de cofiaça que deve ser buscado a ormal padrão é valor z α/ de Z tal que: P(Z > z α/ ) =,5%, ou etão: Φ(-z α/ ) =,5%. 17

17 será: Este valor vale 1,96. Etão o itervalo de cofiaça de 95% para a média desta população [X - z α/ σ ; X + z α/ σ ] = [50-1,96.10/10; ,96.10/10] = [50-1,96; ,96] = [48,04; 51,96], ou seja, pode-se afirmar com uma certeza de 95% de que este itervalo coterá a média desta população. Obs.: O valor ε = z α/ σ é deomiado de erro padrão da estimação. Não cofudir com o valor σ que é o erro padrão da amostragem. O erro padrão da estimação é a semi-amplitude do itervalo de cofiaça. A amplitude do itervalo de cofiaça (IC) será; ε. (b) Desvio padrão populacioal (σ) descohecido Quado o desvio padrão da população (σ) é descohecido é ecessário utilizar sua estimativa s. Só que ao substituir-se o desvio padrão populacioal pelo sua estimativa o quociete: (X - µ) / σ ão se terá mais uma ormal padrão. De fato, coforme demostrado pelo estatístico iglês W. S. Gosset, cohecido por Studet o comportameto do quociete: (X - µ) / S segue uma distribuição simétrica em toro de zero, porém com uma variabilidade maior do que a da ormal padrão. A distribuição do quociete acima é cohecida como distribui- ção t de Studet. Na realidade existem ifiitas distribuições t, uma para cada tamaho de amostra. Estas distribuições a exemplo da ormal padrão ecotram-se tabeladas. A tabela para a distribuição t segue uma metodologia um pouco diferete daquela da ormal padrão. De fato, como existem muitas distribuições de Studet ão seria possível tabelá-las da mesma forma que a da ormal padrão. Assim cada liha de uma tabela represeta uma distribuição diferete e cada colua represeta um valor de cofiaça que poderá ser α ou α/, isto é, a tabela poderá ser uilateral ou bilateral. A liha de cada tabela forece a distribuição t com parâmetro - 1 deomiado de graus de liberdade, isto é, o grau de liberdade = ν = - 1 = liha da tabela. Neste caso, o itervalo de cofiaça com probabilidade 1 - α para a média será: [X - t α/ S ; X + t α/ S ] ode: X é a estimativa por poto da média da população; S é o desvio padrão da amostra e uma estimativa do desvio padrão da população σ e t α/ é o valor da distribuição t cuja área à direita é igual a α/, isto é, é o valor de t tal que: P(t > t α/ ) = α/, ou etão: P(- t α/ < t < t α/ ) = 1 - α. Exemplo: Uma amostra de tamaho 5 foi retirada de uma população com o objetivo de estimar a sua média e foreceu os valores x = 50 e s = 10. Qual o itervalo de 95% de cofiaça para a média desta população? 18

18 Solução: Tem-se 1 - α = 95%, etão α = 5% e α / =,5%. O coeficiete de cofiaça que deve ser buscado a distribuição t com ν = - 1 = 5-1 = 4. Esta é a liha da tabela. A colua poderá ser o valor α = 5% ou etão o valor α / =,5%, depededo do tipo de tabela. Em qualquer caso o que se procura é o valor t com grau de liberdade igual a 4, isto é, o valor t 4 tal que: P(- t α/ < t 4 < t α/ ) = 95% Este valor vale,064. (Note-se que a a ormal este mesmo valor valia 1,96). Etão o itervalo de cofiaça de 95% para a média desta população será: [X - t α/ S ; X + t α/ S ] = [50 -,064.10/5; 50 +,064.10/5] = [50-4,13; ,13] = [45,87; 54,13], ou seja, pode-se afirmar com uma certeza de 95% de que este itervalo coterá a média desta população. Covém otar que a última liha da tabela da distribuição t apreseta valores coicidetes com aqueles que seriam obtidos se fosse utilizado a distribuição ormal padrão. Isto ocorre porque a distribuição t tede a distribuição ormal à medida que o tamaho da amostra aumeta, isto é, a distribuição ormal é o limite da distribuição t quado o tamaho da amostra tede ao ifiito. Esta aproximação já será bastate boa para amostras de tamaho > 30. Assim se a amostra for superior a 30 pode-se utilizar a distribuição ormal ao ivés da distribuição t, isto é, pode-se ler os valores a ormal padrão, ou etão a última liha da tabela t..3.. Da proporção populacioal Seja P = proporção amostral. Sabe-se que para > 30 a distribuição amostral de P é aproximadamete ormal com média µ P = π e desvio padrão (erro padrão) σ P =. Pode-se etão utili- π( 1 π) zar a curva ormal para estabelecer os limites para o itervalo de cofiaça. Lembrado que o que se quer é um itervalo que coteha o parâmetro populacioal π com probabilidade 1 - α etão tem-se: α/. P(-z α/ < Z < z α/ ) = 1 - α, ode z α/ é o valor da ormal padrão com área à direita é igual a Mas Z = (P- µ P ) / σ P etão substituido a expressão acima vem: P(-z α/ < (P - µ P ) / σ P < z α/ ) = 1 - α. Trabalhado esta desigualdade, segue que: P(P - z α/ σ P < µ P <P + z α/ σ P ) = P(P - z α/ σ P < π <P + z α/ σ P ) = 1 - α. Que é o itervalo procurado. Assim o itervalo de cofiaça (probabilidade) de 1 - α para a proporção P de uma população é dado por: π( 1 π) π( 1 π) [P- z α/ ; P + z α/ ]. Observado-se a expressão acima pode-se perceber que o itervalo de cofiaça para a proporção populacioal π, depede dele mesmo, isto é, é ecessário calcular o erro amostral que está expresso em fução de π. Como o objetivo é estimar este valor, evidetemete ele ão é cohecido. As- 19

19 sim é ecessário utilizar, sua estimativa σ P, isto é, é ecessário substituir π por P a expressão σ P = π( 1 π). Desta forma o itervalo acima ficará: P( 1 P) P( 1 P) [P- z α/ ; P + z α/ ], ode: P é a estimativa por poto da proporção populacioal π. σ P= P( 1 P) é uma estimativa do erro padrão, isto é, do desvio padrão amostral e z α/ é o valor da distribuição ormal padrão cuja área à direita é igual a α/. É o valor de Z tal que: P(Z > z α/ ) = α/, ou etão: Φ(-z α/ ) = α/. Exemplo 1: Numa pesquisa de mercado, 400 pessoas foram etrevistadas sobre sua preferêcia por determiado produto. Destas 400 pessoas, 40 disseram preferir o produto. Determiar um itervalo de cofiaça de 95% de probabilidade para o percetual de preferêcia dos cosumidores em geral para este produto. Solução: Tem-se 1 - α = 95%, etão α = 5% e α / =,5%. O coeficiete de cofiaça que deve ser buscado a ormal padrão é valor z α/ de Z tal que: P(Z > z α/ ) =,5%, ou etão: Φ(-z α/ ) =,5%. Este valor vale 1,96. A estimativa por poto para a proporção populacioal será: p = f/ = 40/400 = 0,60 = 60%. Etão o itervalo de cofiaça de 95% para a proporção populacioal será: P( 1 P) P( 1 P) 0601, ( 060, ) 0601, ( 060, ) [P- z α/ ; P + z α/ ] = [0,60-1,96.; 0,60 + 1,96 ] = [60% - 4,80% ; 60% + 4,80%] = [55,0%; 64,80%], ou seja, pode-se afirmar com uma certeza de 95% de que este itervalo coterá a proporção populacioal, isto é, a verdadeira percetagem dos cosumidores que preferem o produto pesquisado. Exemplo : Numa pesquisa de mercado para estudar a preferêcia da população de uma cidade em relação ao cosumo de um determiado produto, colheu-se uma amostra aleatória de 300 cosumidores da cidade e observou-se que 180 cosumiam o produto. Determiar um IC de 99% para a proporção populacioal de cosumidores do produto. Solução: Tem-se 1 - α = 99%, etão α = 1% e α / = 0,5%. O coeficiete de cofiaça que deve ser buscado a ormal padrão é valor z α/ de Z tal que: P(Z > z α/ ) = 0,5%, ou etão: Φ(-z α/ ) = 0,5%. Este valor vale,575. A estimativa por poto para a proporção populacioal será: p = f/ = 180/300 = 0,60 = 60%. 0

20 Etão o itervalo de cofiaça de 99% para a proporção populacioal será: P( 1 P) P( 1 P) 0601, ( 060, ) 0601, ( 060, ) [P- z α/ ; P + z α/ ] = [0,60 -,58.; 0,60 +,58 ] = [60% - 7,8% ; 60% + 7,8%] = [5,7%; 67,8%], ou seja, pode-se afirmar com uma certeza de 99% de que este itervalo coterá a proporção populacioal, isto é, a verdadeira percetagem dos cosumidores que preferem o produto pesquisado Da variâcia populacioal (σ) Sabe-se que o estimador ão-tedecioso de σ é S e que E(S ) = σ, equato V (S ) = σ /( -1). No etato, para se costruir um itervalo de cofiaça para σ é ecessário, aida cohecer qual é o comportameto de S, isto é, qual é o modelo teórico (probabilístico) seguido pelo estimador. Assim ates de se costruir um itervalo de cofiaça para a variâcia populacioal é ecessário se cohecer um ovo modelo probabilístico deomiado de qui-quadrado e represetado por χ (c grego). A distribuição qui-quadrado A distribuição ou modelo qui-quadrado pode ser obtida de uma soma de variáveis ormais padroizadas, isto é, χ = Z. i= 1 i A distribuição χ é assimétrica positiva (possuí uma cauda à direita) e de depede do parâmetro ν. Sabe-se também que: E(χ ) = ν e que V(χ ) = ν. A figura.1 mostra algus exemplos de modelos qui-quadrado. 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 0,0 0,7 1,4,1,8 3,5 4, 4,9 5,6 6,3 7,0 7,7 8,4 9,1 9,8 Figura.1 - Algumas distribuições qui-quadrado A comportameto, distribuição de probabilidade, apresetado pela variâcia amostral (S ) está relacioado com a distribuição (modelo) χ através do seguite resultado: 1

21 ( 1) χ 1 = S, isto é, a variâcia segue uma distribuição χ com " - 1" graus de liberdade a σ meos de uma costate. Neste caso ν = -1. Tabelas A distribuição χ está tabelada em fução do grau de liberdade - 1 = ν (liha da tabela) e área à sua direita, isto é, P(χ > c) = α. Na realidade o que está tabelado é a fução iversa da χ, isto é, etrado com o valor do parâmetro (graus de liberdade) e uma determiada probabilidade (área), a tabela forece um valor da variável (abscissa) tal que a probabilidade à direita (área) deste valor seja igual a área especificada. O itervalo Supoha que seja fixado um ível de cofiaça de 1 - α e que χ 1 e χ da distribuição χ tais que P( χ 1 < χ < χ ) = 1 - α. sejam dois valores P( χ 1 < χ < χ ) = 1 - α P( χ 1 < ( 1) S σ 1 P( χ < σ 1) S ( < χ ) = 1 - α 1 < χ ) = 1 - α 1 ( 1) P( S < σ < χ ( χ 1) S 1 ) = 1 - α Assim o itervalo de cofiaça (probabilidade) de 1 - α para a variâcia da população é dado por: ( 1)S ( 1) ; S χ χ Do desvio padrão populacioal (σ) Para determiar um itervalo de cofiaça de "1 - α" de probabilidade para o desvio padrão populacioal basta apeas tomar a raiz quadrada positiva dos termos do itervalo para a variâcia populacioal. Assim o itervalo será: ( 1)S ( 1) S ; χ χ 1 O sigificado deste itervalo é:

22 ( 1)S ( 1)S P < σ < = 1 α. χ χ1 Exemplo: Uma amostra extraída de uma população ormal foreceu uma variâcia de s = 8,38. Determiar um itervalo de cofiaça de 90% para a variâcia da população e um itervalo de mesma cofiabilidade para o desvio padrão da população. Solução. Neste caso é ecessário iicialmete determiar os valores da distribuição χ, de modo, que χ 1 teha uma área (probabilidade) à direita igual a 95% e χ teha uma área (probabilidade) à direita igual a 5%. Estes valores são: χ 1 = 3,940 e χ = 18,307. O itervalo de cofiaça, para a variâcia, será: ( 1)S ( 1) ; S χ χ1 ( 11 1). 8, 38 18, 307 ; ( 11 1). 8, 38 3, 940 [4,58; 1,7] O itervalo de cofiaça, para o desvio padrão, será: ( 1)S ( 1) S ; χ χ 1 ( 11 1). 8, 38 ; 18, 307 4,58; 1,7; ] ( 11 1). 8, 38 3, 940 [,14; 4,61]. 3

23 3. EXERCÍCIOS (01) De uma população com N = 1 elemetos é retirada uma amostra aleatória simples, sem reposição, de = 5. (01.1) Quatas são as possíveis amostras? (01.) Qual a probabilidade de cada uma destas amostras ser selecioada? (0) Uma população é composta dos elemetos: A, B, C, D e F. (0.1) Liste todas as possíveis amostras aleatórias simples, sem reposição, com =. (0.) Liste todas as aas, sem reposição, de tamaho = 3. (0.3) Determie a probabilidade de ser sorteada a amostra BC. (0.4) Determie a probabilidade de ser sorteada a amostra ACD. (03) A tabela, ao lado, é a distribuição de freqüêcias de uma amostra proveiete de determiada população. (03.1) Determie o tamaho da amostra. (03.) Determie uma estimativa da média da população. (03.3) Determie uma estimativa da variâcia da população. (03.4) Determie uma estimativa da proporção de valores pares a população. X f (04) A tabela ao lado apreseta valores amostrais. (04.1) Qual o tamaho da amostra? (04.) Determie uma estimativa para a média da população. (04.3) Determie uma estimativa do desvio padrão populacioal. (04.4) Determie uma estimativa dos valores ímpares de X. Elemetos X A 5 B 7 C 1 D 15 E 10 (05) Uma população é formada pelos elemetos: A = 3, B = 6, C = 9 e D = 1. (05.1) Determie os seguites parâmetros: (a) média, (b) variâcia e (c) proporção de elemetos meores que 8. (05.) (a) Costrua a distribuição amostral da média da amostra utilizado aas, sem reposição, de tamaho =. (b) Determie a expectâcia e a variâcia da distribuição amostral em (a) (c) Costrua a distribuição amostral da média da amostra utilizado aas, sem reposição, de tamaho = 3. (d) Determie a expectâcia e a variâcia da distribuição amostral em (c) (5.3) (a) Costrua a distribuição amostral da variâcia amostral utilizado aas, sem reposição, de tamaho = e determie a sua expectâcia. (b) Utilize a correção de população fiita para as variâcias obtidas em (a) obtedo a distribuição amostral da variâcia corrigida e determie sua expectâcia. (c) Costrua a distribuição amostral da variâcia corrigida utilizado aas, sem reposição, de tamaho = 3 e determie sua expectâcia. 4

24 (d) Utilize a correção de população fiita para as variâcias obtidas em (c) obtedo a distribuição amostral da variâcia corrigida e determie sua expectâcia. (5.4) (a) Costrua a distribuição amostral para o estimador da proporção de elemetos meores que 8 utilizado aas, sem reposição, de tamaho =. (b) Determie a expectâcia e a variâcia da distribuição em (a). (c) Costrua a distribuição amostral para o estimador da proporção de elemetos meores que 8 utilizado aas, sem reposição, de tamaho = 3. (d) Determie a expectâcia e a variâcia da distribuição em (c). (06) Utilize os valores da amostra tabelada ao lado, extraída aleatoriamete e sem reposição, de uma população com N = 000 elemetos, para estimar: (06.1) A média da população. (06.) A variâcia da população. (06.3) O percetual de elemetos meores que 6. (06.4) O erro amostral da média. X f (07) De uma população com N = 4000 pessoas de uma região foi obtida uma amostra aleatória, sem reposição, de 400 pessoas que revelou 60 aalfabetos. Estime: (07.1) A proporção de aalfabetos da região. (07.) O erro amostral do estimador proporção. (08) Uma aas de tamaho 900 extraída de uma população bastate grade apresetou 40% de pessoas do sexo masculio. Estime o erro amostral do estimador proporção de pessoas do sexo masculio. (09) Uma população tem média 500 e desvio padrão 30. (09.1) Determiar a probabilidade que uma aas de 100 elemetos apresetar um valor médio superior a 504,50. (09.) Calcule a probabilidade de que uma aas com = 64 valores apresetar média etre 49,5 e 507,5. (09.3) Se uma aas de = 144 for extraída desta população, qual o percetual de médias amostrais que estarão etre 495,5 e 504,5? (10) Uma população é ormalmete distribuída com média 800 e desvio padrão 60. (10.1) Determie a probabilidade de que uma aas de tamaho 9 apresetar média meor que 780. (10.) Calcule a probabilidade de que uma aas de tamaho = 16 teha média etre os valores 781,4 e 818,6. (10.3) Que percetual de médias amostrais de uma amostra de tamaho = 5 estarão o itervalo [776; 84]? (11) A proporção de eleitores de um cadidato é 0%. (11.1) Qual a probabilidade de uma amostra aleatória simples de 100 eleitores apresetar uma proporção amostral superior a 6%? (11.) Qual a probabilidade de uma amostra aleatória simples de 400 eleitores apresetar uma proporção de eleitores do cadidato etre 17% e 3%? (11.3) Se a amostra aleatória for de 65 eleitores, qual a percetual de valores do estimador proporção amostral que estarão o itervalo [0,16864; 0,3136]? (1) Admitido que a probabilidade ascer um meio ou uma meia seja iguais, determie a probabilidade de que das próximas 400 criaças a ascerem: 5

25 (1.1) Meos de 45% sejam meias. (1.) Mais de 54% sejam meios. (13) De uma distribuição ormal com variâcia,5, obteve-se a seguite amostra: 7,5; 5,6; 8,; 6,1 e 5,0 Determiar um itervalo de cofiaça para a média desta população com cofiaças de: (13.1) 95% (13.) 99% (14) Através de uma aas de 145 profissioais de certa região, verificou-se que o salário médio é de 8 salários míimos (s.m.) com um desvio padrão de 1,8 s.m. A amostra também foreceu a iformação de que 70% dos profissioais eram casados. (14.1) Determie e iterprete o itervalo de cofiaça de 95% para o salário médio de todos os profissioais desta região. (14.) Determie e iterprete o itervalo de cofiaça de 99% para a proporção de profissioais casados desta região? (14.3) Determie e iterprete um Itervalo de Cofiaça de 90% para σ. (15) A amostra apreseta os valores da variável tamaho da família coletados através de uma aas em uma vila popular. (15.1) Determie e iterprete o itervalo de cofiaça de 95% para o parâmetro tamaho familiar médio por domicílio da vila. (15.) Determie e iterprete o itervalo de cofiaça de 90% para o parâmetro proporção de domicílios da vila com tamaho igual ou superior a cico. (16) A variâcia de uma população é 150. Deseja-se obter um itervalo de cofiaça para a média da população com uma cofiabilidade de 95% e um erro máximo de. Quatos valores desta população devem ser retirados aleatoriamete? (17) Quer-se estimar a média de uma população de variâcia descohecida através de um itervalo de cofiaça de 95% e com erro de estimação máximo de 5 uidades. Através de uma amostra piloto de 100 valores a variâcia foi estimada em 400 uidades. Que tamaho deve ter a amostra fial? (18) Uma amostra prelimiar de pessoas de uma determiada comuidade apresetou 18% de aalfabetos. Com este resultado quer-se estimar a proporção de aalfabetos da população com uma cofiabilidade de 95% e com um erro de estimação máximo de,5%. Qual o tamaho da amostra a ser utilizada? (19) De uma população ormalmete distribuída foi extraída uma aas de = 10 que apresetou os valores abaixo: (19.1) Determie uma estimativa da variâcia populacioal. (19.) Determie uma estimativa da média populacioal e do correspodete erro amostral? (19.3) Determie um itervalo de cofiaça de 95% para a média desta população. (0) A tabela apreseta os valores de uma amostra retirada de uma população ormal. Determie: (0.1) Um itervalo de cofiaça de 95% para a média desta população. (0.) Um itervalo de cofiaça de 99% para a média desta população. X f X f

26 4. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (01) (1.1) 79 (1.) 1/79 (0) (.1) AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE (.) ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE (.3) 1/10 (.4) 1/10 (03) (3.1) 100 (3.) 1,8 (3.3) 0,73 (3.4) 0,5 = 5% (04) (4.1) 5 (4.) 9,80 (4.3) 3,96 (4.4) 0,60 = 60% (05) (5.1) (a) µ = 7,50 (b) σ = 11,5 (c) π = 0,50 (5.) (a) x f(x ) 1/4 1/4 1/4 1/4 (b) E(X) = 7,50 V(X) = 3,75 (c) x 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5 f(x ) 1/6 1/6 /6 1/6 1/6 (d) E(X) = 7,50 V(X) = 1,5 (5.3) (a) s 4,5 18,0 40,5 f(s ) 3/6 /6 1/6 E(S ) = 15 σ (b) s 3,375 13,500 30,375 f( s ) 3/6 /6 1/6 E( S ) = 11,5 = σ (c) s 9 1 f(s) 1/ 1/ E(S ) = 15 σ (d) s 9 17 f( s ) 1/ 1/ E( S ) = 11,5 = σ (5.4) (a) p 0 0,5 1 f(p) 1/ 6 4/ 6 1/ 6 (b) E(P) = 0,50 V(P) = 1/1 7

27 (c) p 1/3 /3 f(p) 1/ 1/ (d) E(P) = 0,50 V(P) = 1/36 (06) (6.1) x = 4,93 (6.) s = 6,168 (6.3) p = 63,50% (6.4) 0,1666 (07) (7.1) 60/400 = 15% (7.) 1,69% (08) 1,63% (09) (9.1) 6,68% (9.) 95,44 (9.3) 9,8% (10) (10.1) 15,87% (10.) 78,50% (10.3) 95,44% (11) (11.1) 6,68% (11.) 86,64% (11.3) 95% (1) (1.1),8% (1.) 5,48% (13) (13.1) [5,17; 7,79] (13,) [4,75; 8,1] (14) (14.1) [7,71; 8,9] Tem-se 95% de certeza de que o salário médio de todos os profissioais da área está etre 7,71 s.m. e 8,9 s.m. (14.) [60,0%; 79,80%] Tem-se 99% de cofiaça de que a percetagem de profissioais da área que são casados esteja etre 60,0% e 79,80%. (14.3) [,70; 3,98]. Tem-se 90% de cofiaça de que o valor da variâcia populacioal perteça a este itervalo. (15) (15.1) [4,6; 5,] Tem-se 95% de cofiaça de que o valor médio do tamaho familiar da vila esteja etre 4,6 e 5, membros. (15.) [53,3%; 7,93%] Há 90 de certeza de que o percetual de famílias com 5 ou mais membros esteja etre 53,3% e 7,93%. (16) = 145 (17) = 6, como a amostra piloto utilizada foi de = 100 é mais cofiável ficar com a amostra piloto. (18) = 908 (19) (19.1) 6,67 (19.) 8 e 0,8 (19.3) [6,15; 9,85] (0) (0.1) [9,19; 1,65] (0.) [8,58; 13,6] 8

28 5. REFERÊNCIAS [BUS86] BUSSAB, Wilto O, MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 3. ed. São Paulo, Atual, [HOF80] HOFFMAN, Rodolfo. Estatística para Ecoomistas. São Paulo. Livraria Pioeira Editora, [NET74] NETO, Pedro Luiz de Oliveira Costa. Estatística. São Paulo, Edgard Blücher, [NET74] NETO, Pedro Luiz de Oliveira Costa, CYMBALISTA, Melvi. Probabilidades: resumos teóricos, exercícios resolvidos, exercícios propostos. São Paulo, Edgard Blücher, [MAS90] MASON, Robert D., DOUGLAS, Lid A. Statistical Techiques i Busiess Ad Ecoomics. IRWIN, Bosto, [MEY78] MEYER, Paul L. Probabilidade: aplicações à Estatística. Tradução do Prof. Ruy C. B. Loureço Filho. Rio de Jaeiro, Livros Técicos e Cietíficos Editora S.A., 1978 [STE81] STEVENSON, William J. Estatística Aplicada à Admiistração. São Paulo. Editora Harbra, [WON85] WONNACOTT, Roald J., WONNACOTT, Thomas. Fudametos de Estatística. Rio de Jaeiro. Livros Técicos e Cietíficos Editora S. A.,