5. A nota final será a soma dos pontos (negativos e positivos) de todas as questões

Transcrição

1 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA - UFMG PROVA DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE SELEÇÃO - MESTRADO/ UFMG /2014 Istruções: 1. Cada questão respodida corretamete vale 1 (um) poto. 2. Cada questão respodida icorretamete vale -1 (meos um) poto. 3. Cada questão deixada em braco vale 0 (zero) potos 4. Pelo meos 9 (ove) questões devem ser respodidas pelo aluo 5. A ota fial será a soma dos potos (egativos e positivos) de todas as questões 6. As opções escolhidas devem ser assialadas a folha de respostas o fial da prova. A prova tem duração de 3 horas. É proibido: usar celular; cosultar referêcias bibliográficas diferetes das que estão estabelecidas o edital de seleção; emprestar calculadoras e/ou livros para cosulta de outros cadidatos durate a prova 1

2 Nome do Cadidato(a): DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA - UFMG PROVA DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE SELEÇÃO - MESTRADO/ UFMG /2014 Questão 1. Seja X uma variável aleatória com distribuição gama, Γ(5,2). Dado X = x, uma variável aleatória Y é escolhida uiformemete o itervalo [0, x]. A desidade da distribuição gama, Γ(,α), é dada por f(x) = 1 Γ() α x 1 e αx x > 0, α > 0, > 0. Idique o valor de E(Y). a. 5/2 b. 5/4 c. 5 d. 5/3 Questão 2. O par de variáveis aleatórias discretas (X, Y) tem a fução de probabilidade cojuta P(X = i,y = j) = θ i+j+1 se i,j = 0,1,2, paraalgumθ > 0ezeroemcasocotrário. Idiquesesãofalsasouverdadeirasasafirmaçõesseguites: 1. θ +2θ 2 +3θ 3 +2θ 4 +θ 5 = 1 2. E(XY) = θ 3 +4θ 4 +4θ 5 3. E(X) = θ 2 +3θ 3 +3θ 4 +2θ 5 a. VFF b. VVF c. VVV d. VFV Questão 3. Cosidere a variável aleatória cotíua X com distribuição expoecial e desidade dada por f(x) = λe λx x > 0, λ > 0. A fução geradora de mometos de uma variável aleatória, se existir, é dada por E[e tx ], ode t R. Cosidere s > 0 e E[e sx ] = 0,25, idique o valor de E[e 2sX ]. a. 1 b. 1/3 c. 1/5 2

3 d. 1/7 Questão 4. Sejam U e V variáveis aleatórias ormais idepedetes com média 0 e variâcia 1. Defiimos X = U, Y = ρu +( 1 ρ 2 )V, ρ < 1. Idique o valor de Var(X +Y). a. 2(1 ρ) b. 2(1+ρ) c. 2+ρ d. 2 ρ Questão 5. Sejam X 1,,X uma amostra aleatória da variável aleatória X com distribuição uiforme o itervalo [0,θ], com θ > 0. Assuma T = max{x 1,,X } e cosidere um estimador para θ, defiido por δ = at, ode a é uma costate real. Ecotre o valor de a que miimiza a fução risco deste estimador. A fução risco é dada por a b c d. +1 R(θ,δ) = E θ (at θ) 2. Questão 6. Se U é uma variável aleatória uiforme o itervalo [0, 1], idique a fórmula certa para simular uma variável aleatória Pareto de tipo I. A desidade da variável Pareto de tipo I é dada por ( ) α θ α+1 se x θ, α > 0, θ > 0, f(x) = θ x 0 se x < θ, a. θ(1 U) 1/α b. θ 1 (1 U) 1/α c. θ(1 U) 1/α ( α ) 1/(α+1) d. θ 1 θu Questão 7. Seja X 1,X 2,...,X uma amostra aleatória da distribuição geométrica com fução distribuição de probabilidade P(X = x) = θ (1 θ) x 1 para x = 1,2,..., sedo 0 < θ < 1. O limite iferior da desigualdade de Cramer-Rao para a variâcia de estimadores ão viciados de 1 θ é dado por: 3

4 a. θ(1 θ) 2 b. θ(1 θ)2 c. θ2 (1 θ) d. θ 2 (1 θ) Questão 8. Para respoder esta questão, a seguite iformação pode ser útil: Z δ = quatil da N(0,1) com área δ à esquerda. Z 0,99 = 2,32; Z 0,95 = 1,64; Z 0,90 = 1,28. t δ;ν = quatil da t-studet com ν graus de liberdade (área δ à esquerda). t 0,99;20 = 2,52; t 0,95;20 = 1,72; t 0,90;20 = 1,32. χ 2 δ;ν = quatil da Qui-Quadrado com ν graus de liberdade (área δ à esquerda). χ 2 0,99;20 = 37,56; χ2 0,95;20 = 31,41; χ2 0,90;20 = 28,41; χ 2 0,01;20 = 8,26; χ2 0,05;20 = 10,85; χ2 0,10;20 = 12,44. F δ;ν1,ν 2 = quatil da F ν1,ν 2 com área δ à esquerda. F 0,99;1,20 = 8,09; F 0,95;1,20 = 4,35; F 0,90;1,20 = 2,97; F 0,01;1,20 = 0,0001; F 0,05;1,20 = 0,0040; F 0,10;1,20 = 0,0162. Supoha que X 1,X 2,...,X seja uma amostra aleatória proveiete da distribuição N(µ,σ 2 ) com média µ cohecida e variâcia σ 2 descohecida. Desejamos testar as hipóteses: H 0 : σ 2 11 cotra H 1 : σ 2 < 11. Qual é o procedimeto de teste uiformemete mais poderoso assumido que = 20 e α = 0,01? a. Rejeitar H 0 se 20 i=1 (X i µ) 2 < 119,35. b. Rejeitar H 0 se 20 i=1 (X i µ) 2 < 90,86. c. Rejeitar H 0 se 20 i=1 X2 i < 9,53. d. Rejeitar H 0 se 20 i=1 X2 i < 10,92. Questão 9. Cosidere que: X 1,X 2,...,X é uma amostra aleatória da distribuição expoecial com média θ 1 > 0, e Y 1,Y 2,...,Y é uma amostra aleatória da expoecial com média θ 2 > 0. Assuma também que X i e Y j são idepedetes para todo i,j = 1,2,...,. Desejamos testar as hipóteses: H 0 : θ 1 = θ 2 cotra H 1 : θ 1 θ 2. O teste da razão de verossimilhaças, para este caso, rejeitará H 0 se: a. XȲ < c ode c é uma costate. ( X +Ȳ)1/2 b. XȲ X +Ȳ < c ode c é uma costate. c. ( XȲ)2 X +Ȳ < c ode c é uma costate. d. XȲ < c ode c é uma costate. ( X +Ȳ)2 4

5 Questão 10. Para respoder esta questão, a seguite iformação pode ser útil: Z δ = quatil da N(0,1) com área δ à esquerda. Z 0,99 = 2,32; Z 0,95 = 1,64; Z 0,90 = 1,28. t δ;ν = quatil da t-studet com ν graus de liberdade (área δ à esquerda). t 0,99;14 = 2.62; t 0,95;14 = 1.76; t 0,90;14 = χ 2 δ;ν = quatil da Qui-Quadrado com ν graus de liberdade (área δ à esquerda). χ 2 0,99;14 = 29,14; χ2 0,95;14 = 23,68; χ2 0,90;14 = 21,06. F δ;ν1,ν 2 = quatil da F ν1,ν 2 com área δ à esquerda. F 0,99;2,12 = 6,92; F 0,95;2,12 = 3,88; F 0,90;2,12 = 2,81; F 0,99;3,11 = 6,21; F 0,95;3,11 = 3,58; F 0,90;3,11 = 2,66. Um experimeto foi coduzido para ivestigar o efeito da cor do papel (azul, verde ou laraja) sobre a proporção de questioários respodidos. Quize supermercados foram selecioados em uma cidade e formou-se aleatoriamete 3 grupos de cico estabelecimetos. Em cada grupo utilizou-se uma das cores o papel do questioário. Os dados (em %) são mostrados a tabela abaixo. Supermercado Cor Azul Verde Laraja O modelo assumido para este cojuto de dados é: Y ij = µ i +ǫ ij com µ i represetado a média do tratameto i = 1,2,3 e ǫ ij represetado o erro da observação j = 1,2,3,4,5 do tratameto i. Outras iformações sobre este cojuto de dados são forecidas a seguir: Fote de variação Soma de quadrados Tratameto 7,60 Erro 116,40 Total 124,00 Assumido um ível de sigificâcia de 10%, desejamos testar se há difereça etre as porcetages médias de respostas de cada cor. Este teste terá a seguite coclusão: a. Não rejeitamos H 0, pois temos: estatística de teste = 0,239 meor que o poto crítico. b. Não rejeitamos H 0, pois temos: estatística de teste = 0,392 meor que o poto crítico. c. Rejeitamos H 0, pois temos: estatística de teste = 2,55 maior que o poto crítico. d. Rejeitamos H 0, pois temos: estatística de teste = 4,17 maior que o poto crítico. Questão 11. Seja Z uma variável aleatória com distribuição de Poisso com média, com N. O limite em distribuição de Y = (Z )/, quado, a. é uiforme o itervalo ( 1, 1). b. é t-studet com média 0 e variâcia 1. c. é ormal com média 0 e variâcia 1. 5

6 d. ão existe. Questão 12. Sejam X 1,...,X variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas uiformemete o itervalo [0, θ], θ > 0. Os estimadores de máxima verossimilhaça e do método dos mometos de θ são respectivamete a. max{x 1,...,X } e 2 i=1 X i/. b. max{x 1,...,X } e i=1 X i/. c. i=1 X i/ e max{x 1,...,X }. d. i=1 X i e 2 i=1 X i/. Questão 13. Seja Y uma variável aleatória com distribuição biomial com parâmetros = 300 e p (0,1). Se o valor observado de Y é y = 75, um itervalo de cofiaça para p com cobertura aproximada de 90% é a. (0, 209; 0, 291). b. (0, 229; 0, 271). c. (0, 188; 0, 313). d. (0, 178; 0, 323). Questão 14. Cosidere uma fábrica que produz um certo tipo de peça e defia p como sedo a proporção de peças defeituosas. Supoha que 500 peças sejam testadas a fabricação e 10 sejam defeituosas. Supoha que estamos iteressados em testar a hipótese H 0 : p = 0,03 cotra H 1 : p < 0,03. O p-valor este caso fica dado por a. 0,012. b. 0,051. c. 0,065. d. 0,095. Questão 15. Sejam X 1,...,X uma amostra aleatória de uma distribuição com fução de desidade dada por f(x) = θx θ 1, 0 < x < 1, θ > 0 e f(x) = 0, caso cotrário. O estimador de máxima verossimilhaça e uma estatística suficiete para θ são respectivamete a. max{x 1,...,X } e i=1 X i. b. i=1 logx i/ e i=1 X i. c. i=1 X i e / i=1 logx i. d. / i=1 logx i e i=1 X i. 6