Probabilidade II Aula 9

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1 Coteúdo Probabilidade II Aula 9 Maio de 9 Môica Barros, D.Sc. Estatísticas de Ordem Distribuição do Máximo e Míimo de uma amostra Uiforme(,) Distribuição do Máximo e Míimo caso geral Distribuição das Estatísticas de Ordem Distribuição da Amplitude Estatísticas sticas de Ordem Sejam X, X,..., X um cojuto de variáveis iid (idepedetes e ideticamete distribuídas) com desidade (ou fução de probabilidade) f(x) e fução de distribuição acumulada x). Estatísticas sticas de Ordem Sejam: X () mí(x, X,..., X ), X () o. meor detre X, X,..., X,... X () máx(x, X,..., X ). Supoha que ordeamos X, X,..., X. X (), X (),..., X () são também variáveis aleatórias, e estamos iteressados em descobrir qual as suas distribuições. 3 4

2 Estatísticas sticas de Ordem Começamos este estudo pelas distribuições do míimo e do máximo. Exemplo Cosidere um cojuto de variáveis iid com a desidade Uif(,). A seguir fazemos uma simulação e, em seguida, obtemos a distribuição teórica correspodete aos dados simulados. A seguir geramos 5 cojutos destas variáveis. Isso os permite obter 5 valores míimos e 5 máximos (detre outras variáveis). 5 6 Exemplo Assim, a partir dos 5 valores gerados, podemos tetar iferir sobre a cara das distribuições do míimo e do máximo das amostras de variáveis Uif(,). Também, podemos calcular a Amplitude, defiida como o (máximo míimo), e teremos também uma aproximação para a distribuição teórica desta quatidade. 7 Exemplo Distribuição simulada do míimo Frequêcia.5 x 4 Histograma dos míimos

3 Exemplo Distribuição simulada do máximo.5 x 4 Histograma dos máximos Exemplo Distribuição simulada da amplitude 4 Histograma da amplitude Frequêcia.5 Frequêcia Exemplo Estatísticas Descritivas MÍNIMO MÁXIMO AMPLITUDE umero de amostras simuladas tamaho de cada amostra média amostral mediaa amostral desvio padrao miimo máximo Dos gráficos fica claro que as distribuições do máximo, míimo e amplitude ão são Uif(,). Note também que a média dos 5 mil míimos gerados é.9, a mediaa.67. Veja as outras estatísticas descritivas... Exemplo Podemos também obter a fução de distribuição empírica dos dados simulados. A idéia por trás da costrução da fução de distribuição empírica é simples. Supoha que defiimos uma fução de probabilidade que associa o valor /N a cada um dos N valores observados.

4 Exemplo Exemplo distribuição empírica do míimom Neste caso, geramos N 5 míimos, por exemplo. Etão, podemos atribuir uma probabilidade /5 acada um destes míimos observados..9.8 Fucao de distribuição empírica do míimo A fução de distribuição empírica F* tem o aspecto de uma fução degrau, e é tal que F*(x) úmero de valores observados meores ou iguais a x dividido por N (N 5 aqui). Nos gráficos a seguir, a forma de degrau da fução de distribuição empírica ão fica evidete, pois foram gerados muitos valores e a fução se aproxima de uma fução cotíua. 3 Frequêcia Relativa Por exemplo, cerca de 6% dos valores míimos gerados estão abaixo de. 4 Exemplo distribuição empírica do máximom Exemplo distribuição empírica da amplitude Fucao de distribuição empírica do máximo Fucao de distribuição empírica da amplitude Frequêcia Relativa Frequêcia Relativa

5 Exemplo Uma questão que deve ser ivestigada é: Como o tamaho da amostra Uiforme iflui estes resultados? Parece ituitivo que, se partimos de uma amostra grade, o míimo da amostra deve estar mais próximo de zero que se usarmos uma amostra pequea. Aalogamete, para uma amostra grade, o máximo deve estar mais perto de um que uma amostra pequea. Exemplo Para verificar estas cojecturas, repetimos o experimeto do Exemplo, mas agora geramos 5 amostras de tamaho 5 da Uiforme(,), ao ivés de amostras de tamaho, como foi feito o exemplo aterior. Os resultados das simulações seguem os próximos slides. 7 8 Exemplo Distribuição simulada do míimo Frequêcia x 4 Histograma dos míimos Compare com o gráfico do slide 8. Que difereças você ota? Exemplo Distribuição simulada do máximo Frequêcia x 4 Histograma dos máximos Compare com a figura do slide 9

6 Exemplo Distribuição simulada da amplitude Frequêcia Histograma da amplitude Compare com a figura do slide Exemplo distribuição empírica do míimom Frequêcia Relativa Fucao de distribuição empírica do míimo Compare com a figura do slide 4 Por exemplo, quase % dos valores míimos gerados estão abaixo de. Exemplo distribuição empírica do máximom Exemplo distribuição empírica da amplitude.9.8 Fucao de distribuição empírica do máximo Compare com a figura do slide Fucao de distribuição empírica da amplitude Compare com a figura do slide 6 Frequêcia Relativa Frequêcia Relativa

7 Exemplo Estatísticas descritivas MÍNIMO MÁXIMO AMPLITUDE umero de amostras simuladas tamaho de cada amostra média amostral mediaa amostral desvio padrao miimo máximo a média dos 5 mil míimos gerados é., a mediaa.4. Compare com as estatísticas descritivas do Exemplo. Exemplo Em resumo... O efeito do tamaho da amostra () Uiforme(,) é claro, como a comparação das as simulações revela. Quato maior o tamaho da amostra, mais perto de está o míimo da amostra, e mais perto de está o máximo da amostra. Que coclusões você tira acerca da amplitude? 5 6 Exemplo 3 O próximo passo é derivar aaliticamete as desidades do míimo e do máximo de uma amostra de tamaho da Uiforme(,). Qual a distribuição do míimo? Seja X () mí(x, X,..., X ) 7 Exemplo 3 Ecotraremos a desidade de X () através do método da fução de distribuição. Para isso, é bom recordar quem é a fução de distribuição de uma variável Uif(,). Se U tem desidade Uif(,) etão: Pr( U u se u < se u se u > 8

8 Exemplo 3 A fução de distribuição de X () é: ( X Pr( X > G ( Pr () () Pr ( X > u, X > u,..., X > Pela idepedêcia dos X i, esta última probabilidade pode ser escrita como o proto das probabilidades idiviais e etão: Exemplo 3 G ( Pr Pr G ( Pr ( X Pr( X > u, X > u,..., X > ( X > Pr( X >...Pr( X > () ( X Pr( X > Pr( X >...Pr( X > { Pr( X > } () Mas, os X i s são ideticamete distribuídos, e etão todos os termos o proto acima são iguais. Logo: Como os X i s são Uif(,), segue que Pr(X > -u. Logo: G ( () ( X { u} Pr 9 3 Exemplo 3 A desidade de X () é apeas a derivada da fução de distribuição: dg ( d { u} g ( + (. u ( { } ( ) { u } Γ Γ ( + ) ( ) Γ( ) ( para < u < Ou seja, X () tem desidade Beta(,). Em particular, sua média é /(+). u Exemplo 3 Do último slide, a depedêcia da desidade do míimo da amostra o tamaho da amostra deve ter ficado explícita. Note que, em particular, se tomarmos uma amostra de tamaho grade, a média dos X () se aproxima de zero. 3 3

9 Exemplo 3 Por exemplo, uma amostra de tamaho (vide exemplo ), o valor esperado de X () é /.99 Exemplo 3 Neste mesmo cotexto (amostra de tamaho da Uif(,)) qual a desidade do máximo? Numa amostra de tamaho 5 (vide exemplo ), a média de X () é /5.96 Compare estes valores com os ecotrados as simulações dos exemplos e. A fução de distribuição de X () é: G ( Pr ( X Pr( X u, X u,..., X ( ) Pr( X Pr( X...Pr( X { Pr( X } { } ( Exemplo 3 A desidade de X () é: dg ( d g( Γ. u ( Γ { u } { u} ( + ) ( ) Γ( ) u ( para < u < Ou seja, X () é Beta(,). Em particular, E{X () } /(+) Exemplo 4 Os resultados ecotrados para o míimo e o máximo de uma amostra Uiforme(,) podem ser facilmete geeralizados para uma amostra de uma desidade f(x) qualquer. Sejam X, X,..., X um cojuto de variáveis CONTÍNUAS iid (idepedetes e ideticamete distribuídas) com desidade f(x) e fução de distribuição acumulada x)

10 Exemplo 4 Etão a fução de distribuição do míimo é: ( X Pr( X > Pr( X >...Pr( X > G ( Pr () { } E a desidade do míimo é: { { } } dg ( d d g ( ( ) { } +. f ( ( ) 37 Exemplo 4 Aalogamete, a fução de distribuição do máximo é: G ( Pr ( X Pr( X u, X u,..., X ( ) Pr( X Pr( X...Pr( X { Pr( X } { } E a desidade do máximo é: dg ( d g( { } d { } { } 38. f ( u ) Exemplo 5 Sejam X, X,..., X um cojuto de variáveis Expo(λ). Ecotre a desidade do míimo destas variáveis. Solução Lembre-se que a fução de distribuição dos X s é: x) exp(-λ.x) e etão x) exp(-λ.x) Exemplo 5 Dos resultados ateriores: g ( +. f ( λ. e λu λu λu ( ). λ. e { e } Assim, X() é Expoecial com parâmetro.λ 39 4

11 Distribuição das Estatísticas sticas de Ordem Teorema A desidade de X (k) a k-ésima estatística de ordem, é: f k ( x)! ( k )!( k)! { } x k k f ( x). F ( x) ) 4 Distribuição das Estatísticas sticas de Ordem Demostração Seja dx um úmero positivo pequeo. Etão: f ( x). dx Pr x X x dx ( ) k ( k ) + O eveto x X (k) x + dx ocorre se k- observações são meores que x, uma observação está em [x, x + dx] e k observações estão acima de x + dx. A probabilidade de qualquer sequêcia deste tipo é f(x).{x)} k-.{ x)} -k.dx e existem!/{(k-)!!(k)!} sequêcias deste tipo. 4 Distribuição das Estatísticas sticas de Ordem Do teorema aterior podemos descobrir facilmete quais são as distribuições de todas as estaísticas de ordem de uma amostra Uiforme(,), como idicado o próximo teorema. Distribuição Beta e relação com a Uiforme(,) Teorema Sejam X, X,..., X variáveis aleatórias idepedetes com desidade Uif(,). Seja X (k) a k-ésima estatística de ordem da amostra. Etão X (k) tem desidade Beta com parâmetros k e k

12 Exemplo 6 Um computador gera úmeros aleatórios uiformemete o itervalo (,). Calcule a probabilidade de que o meor destes úmeros será maior que.5. Solução Pelo teorema aterior, a desidade do meor dos úmeros é uma Beta com parâmetros e. Isto é, se Y deota este úmero temos: Exemplo 6 A desidade de Y é: ( ) Γ( ) ( ) Γ( )! ( ) ( ) ( ) ode <y< Γ.!9! 9 9 f y y y y y A probabilidade deste úmero exceder.5 é: 9 Pr ( Y >.5) ( y) dy.5 Faça a mudaça de variável: t - y dt - dy e se y.5, t.5 e se y, t. Logo: Pr ( Y >.5) t ( dt ) t dt t (.5).977% Distribuição Beta (para casa) Cosidere uma amostra de tamaho > 3 da desidade Uiforme(,). Calcule, como fução do tamaho da amostra, as seguites probabilidades: a) De que o maior úmero a amostra exceda.8; b) De que o meor úmero a amostra seja meor que.. c) Faça um gráfico das probabilidades os ítes a) e b) versus. Distribuição Beta (para casa) Um computador gera 6 úmeros aleatórios uiformemete distribuídos o itervalo (,). Calcule a probabilidade de que o meor destes úmeros será maior que.. Calcule o valor esperado do meor destes úmeros. Ecotre a desidade do o. meor destes úmeros e calcule a sua média e variâcia. Calcule a probabilidade de que o maior destes úmeros exceda

13 Distribuição da Amplitude Para ecotrar a distribuição da amplitude é preciso achar a distribuição cojuta do míimo e do máximo. Supoha que (pois se < a amplitude é zero). Seja u v. Etão: Distribuição da Amplitude Pr(X () > x, X () y) Pr(x < X y, x < X y,..., x < X y) {Pr(x < X y)} { y) x) } Também: Pr(X () y) { y)} Assim a fução de distribuição cojuta de X () e X () é: 49 5 Distribuição da Amplitude F X () Pr, X ( x, y) Pr( X x X y) (), ( ) ( ) ( X y) Pr( X > x, X y) ( ) () ( ) { y) } { y) x) } A desidade cojuta de X () e X () é dada por: f X (), X ( ) ( x, y) + ( ) f ( x) f ( y) FX, (, ) () X x y ( ) x y { y) x) } para x y Distribuição da Amplitude A desidade cojuta é zero se x > y. A desidade da amplitude, R X () - X () é dada por uma ligeira modificação da desidade da soma: f r) ( ) se r < R ( f ( x) f ( r + x) { r + x) x) } dx se r > 5 5

14 Distribuição da Amplitude Exemplo 7 Podemos aplicar o resultado do slide aterior a uma amostra de tamaho da desidade Uif(,). A desidade da amplitude é: f R ( r) ( ) f ( r) ( ) r R r se r < ()() {( r + x) ( x) } ( -r) Γ Γ( + ) ( ) Γ( ) dx ( ). r r (- r) ( r) se < r < se < r < 53 Distribuição da Amplitude Exemplo 7 Ou seja, a amplitude R tem desidade Beta(-, ). Sua média é: E( R) + + Assim, quado o tamaho da amostra cresce, a amplitude se aproxima de. 54 Distribuição da Amplitude Exemplo 7 Assim, para uma amostra de tamaho da Uif(,), E(R) 9/.88. Na simulação do Exemplo, a média da distribuição simulada foi.883. Para uma amostra de tamaho 5 da Uif(,), E(R) 49/5.968, e ecotramos o Exemplo o mesmo valor como média amostral da distribuição simulada. 55