3. Seja C o conjunto dos números complexos. Defina a soma em C por

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1 Eercícios Espaços vetoriais. Cosidere os vetores = (8 ) e = ( -) em. (a) Ecotre o comprimeto de cada vetor. (b) Seja = +. Determie o comprimeto de. Qual a relação etre seu comprimeto e a soma dos comprimetos de e? (c) Desehe um gráfico ilustrado como pode ser costruído geometricamete usado e. Use esse gráfico para dar uma iterpretação geométrica da sua resposta em (b).. Repita o eercício para os vetores = ( ) e = ( ).. Seja C o cojuto dos úmeros compleos. Defia a soma em C por a bi c di a c b d i e defia a multiplicação por um escalar por a bi a bi Para todos os úmeros reais. Mostre que C é um espaços vetoriais em relação a essas operações. m. Mostre que R com as operações usuais de soma e multiplicação por um escalar satisfaz os oito aiomas de espaços vetoriais.. Mostre que a b C com as operações usuais de soma e multiplicação por um escalar satisfaz os oito aiomas de espaços vetoriais.. Seja P o cojuto de todos os poliômios. Mostre que P com as operações usuais de soma e multiplicação por um escalar para fuções forma um espaço vetorial. 7. Mostre que o elemeto de um espaço vetorial é úico. 8. Sejam y e z vetores de um espaço vetorial V. Mostre que se + y = + z etão y =. 9. Seja V um espaço vetorial e seja V. Mostre que: (a) para todos os escalares ; (b) se etão = ou =.. Seja S o cojuto de todos os pares ordeados de úmeros reais. Defia a multiplicação por um escalar e a soma em S por y y y Usado o símbolo para deotar a soma esse sistema para evitar cofusão com a soma usual de + y de vetores lihas. Mostre que S juto com a multiplicação

2 usual por um escalar e a operação ão é um espaço vetorial. Quais dos oito aiomas ão são válidos?. Seja V o cojuto de todos os pares ordeados de úmeros reais com a soma defiida por y y y y e a multiplicação por um escalar defiida por Como a multiplicação por um escalar é defiida de maeira diferete da usual usamos um símbolo diferete para evitar cofusão com a multiplicação usual de um vetor liha por um escalar. V é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique sua resposta.. Deote por R o cojuto dos úmeros reais positivos. Defia a operação de multiplicação por um escalar por Para cada R e para cada úmero real. Defia a operação de soma por y y para todos y R Etão para esse sistema o produto do escalar por é dado por 8 e a soma de com é dada por R é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique sua resposta.. Seja R o cojuto de todos os úmeros reais. Defia a multiplicação por um escalar por (a multiplicação usual de úmeros reais) e a soma deotada por por y ma y (o máimo etre dois úmeros) R é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique sua resposta.. Deote por Z o cojuto de todos os úmeros iteiros com a soma defiida da maeira usual e a multiplicação por um escalar defiida por k k para todos k Z ode deota o maiôs iteiro meor ou igual a. Por eemplo 8 Mostre que Z ão é um espaço vetorial em relação a essas operações. Quais dos aiomas ão são válidos?. Deote por S o cojuto de todas as seqüêcias ifiitas de úmeros reais com a multiplicação por um escalar e a soma defiida por

3 Mostre que S é um espaço vetorial. a a a b a b. Podemos defiir uma bijeção etre os elemetos de P e de R por p a a a a a a Mostre que se p a e q b etão (a) p a qualquer que seja o escalar ; (b) p q a b. Eercícios Subespaços:. Determie se cada cojuto a seguir é ou ão um subespaço de R. (a) / (b) / (c) / (d) /. Determie se cada cojuto a seguir é ou ão um subespaço de R. (a) / (b) / (c) / (d) /. Determie se cada cojuto a seguir é ou ão um subespaço de R. (a) O cojuto de todas as matrizes diagoais. (b) O cojuto de todas as matrizes triagulares iferiores. (c) O cojuto de todas as matrizes A tais que a =. (d) O cojuto de todas as matrizes B tais que b =. (e) O cojuto de todas as matrizes simétricas. (f) O cojuto de todas as matrizes sigulares.. Determie o úcleo de cada uma das matrizes a seguir. (a) (b)

4 (c) (d). Determie se cada cojuto a seguir é ou ão um subespaço de P. (Cuidado!) (a) O cojuto dos poliômios em de grau par. (b) O cojuto dos poliômios de grau. (c) O cojuto dos poliômios p() em P tais que p() =. (d) O cojuto dos poliômios em P que tem pelo meos uma raiz real.. Determie se cada cojuto a seguir é ou ão um subespaço de C[- ]. (a) O cojuto das fuções f em C[- ] tais f (-) = f (). (b) O cojuto das fuções ímpares em C[- ]. (c) O cojuto das fuções ão decrescetes em [- ]. (d) O cojuto das fuções em f em C [- ] tais f (-) = e f () =. (e) O cojuto das fuções f em C [- ] tais f (-) = ou f () =. 7. Mostre que C [a b] é um subespaço de C[a b]. 8. Seja A um vetor particular em R. Determie se cada cojuto a seguir é ou ão um subespaço de R. (a) BA AB R B S / (b) BA AB R B S / (c) / BA R B S 9. Determie se cada cojuto a seguir é ou ão um cojuto gerador para R. (a) (b) (c) (d) (e). Quais dos cojutos a seguir são ou ão cojutos geradores para R? Justifique suas respostas. (a) {( ) ( ) ( ) } (b) {( ) ( ) ( ) ( ) }

5 . Sejam (a) (b) (c) {( -) ( - ) ( ) } (d) {( -) (- - ) ( -) } (e) {( ) ( ) } y 9? y?. Quais dos cojutos a seguir são cojutos geradores para P? Justifique suas respostas. (a) { } (b) { + } (c) { + + } (d) { + }. Em R sejam E E E Mostre que E E E E geram R. E. Seja S o espaço vetorial das seqüêcias ifiitas defiido o eercício da seção. Seja S o cojuto das seqüêcias a tais que a quado. Mostre que S é um subespaço de S.. Prove que se S é um subespaço de R etão S = {{ ou S = R.. Seja A uma matriz. prove que as seguites afirmações são equivaletes: (a) N(A) = {}: (b) A é ivertível: (c) Para cada b R o sistema A = b tem uma úica solução. 7. Sejam U e V subespaços de um espaço vetorial W. prove que U V também é um subespaço de W.

6 8. Seja S o subespaço de R gerado por e e seja o subespaço de R gerado por e. S é um subespaço de R? Eplique. 9. Sejam U e V subespaços de um espaço vetorial W. defia U + V = {z/ z = u + v ode u U e v V} Mostre que U + V é um subespaço de W. Eercícios Idepedêcia liear. Determie se os vetores dados são ou ão liearmete idepedete em R. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( e d c b a. Determie se os vetores são ou ão liearmete idepedetes em R. (a) (b) (c) (d) (e). Descreva geometricamete o espaço gerado por cada um dos seguites vetores o eercício.. Determie se os vetores dados são ou ão liearmete idepedete em R. (a) (b)

7 (c). Determie se os vetores dados são ão liearmete idepedetes em P. ( a) ( c) ( b) ( d). Mostre que os vetores dados são liearmete i8depedetes em C [ ]. ( a) cos se ( c) e e e e ( b) ( d) e e e 7. Determie se os vetores cos se (/) são liearmete idepedetes em C. 8. Cosidere os vetores cos e se em C. Para que valores de os dois vetores vão ser liearmete depedetes? Iterprete graficamete sua resposta. 9. Dadas as fuções e // mostre que: (a) esses dois vetores são liearmete idepedetes em C[- ; (b) esses dois vetores são liearmete idepedetes em C [ ].. Prove que qualquer cojuto fiito de vetores cotedo o vetor ulo tem que ser liearmete depedete.. Sejam v e v dois vetores em um espaço vetorial V. Mostre que v e v são liearmete depedetes se e somete se um dos vetores é múltiplo do outro.. Prove que qualquer subcojuto ão-vazio de um cojuto liearmete idepedete de vetores {v... v } também é liearmete idepedete.. Seja A uma matriz m. Mostre que se os vetores coluas de A são liearmete idepedetes etão N(A) = {}. (Sugestão: para todo R A a a a ). Sejam... k vetores liearmete idepedetes em R e seja A uma matriz ivertível em m.defia y i = A i para i =... k. Mostre que y...y k são liearmete idepedetes.. Seja {v... v } um cojuto gerador para o espaço vetorial V e seja v um outro vetor qualquer em V. Mostre que v v... v são liearmete idepedetes.]sejam

8 v v... v vetores liearmete idepedetes em um espaço vetorial V. Mostre que v... v v... v ão podem gerar V. Eercícios Base e dimesão:. Idique se os vetores dados o Eercício da seção formam ou ão base para R.. Idique se os vetores dados o Eercício da seção formam ou ão uma base para R.. Cosidere os vetores 7 (a) Mostre que e formam uma base para R. (b) Por que têm que ser liearmete depedete? (c) Qual a dimesão de [{ }]?. Cosidere os vetores Qual a dimesão de [{ }]? 8. Cosidere (a) Mostre que são liearmete depedetes. (b) Mostre que são liearmete idepedetes. (c) Qual a dimesão de [{ }]? (d) Descreva geometricamete [{ }].. Algus dos cojutos do eercício da seção formam subespaços de R. em cada um desses casos ecotre uma base para o subespaço e determie sua dimesão. 7. Ecotre uma base para o subespaço S de R formado por todos os vetores da forma (a + b a b + c b c) ode a b c são úmeros reais. Qual a dimesão de S? 8. Cosidere os vetores = ( ) e = ( - ). (a) e geram R? Eplique.

9 (b) Seja um terceiro vetor em R e defia X = { }. Que codição (ou codições) X tem que satisfazer para que formem uma base para R? (c) Ecotre um terceiro vetor que esteda o cojuto { } a uma base para R. 9. Os vetores 7 Geram R. Retire algum (ou algus) elemetos de { } de modo a obter uma base para R.. Seja S o subespaço de P formado por todos os poliômios da forma a +b+a+b. Ecotre uma base para S.. Algus dos cojutos do Eercício da seção formavam subespaços de R. Em cada um desses casos Ecotre uma base para o subespaço e determie sua dimesão.. Ecotre a dimesão o subespaço gerado por cos cos em C.. Ecotre a dimesão do subespaço P gerado pelos vetores dados em cada um dos ites a seguir. (a) + (b) + (c) + (d).. Seja S o subespaço de P formado por todos os poliômios p() satisfazedo p() = e seja o subespaço de todos os poliômios q() tais que q() =. ecotre bases para (a) S (b) (c) S. Seja U o subespaço de r formado pelos vetores da forma (u u ) e seja V o subespaço de todos os vetores da forma ( v v ). quais as dimesões de U V U V U + V? Ecotre uma base para cada um desses subespaços.. É possível ecotrar um par de subespaços bidimesioais U e V de R tais que U V = {}? Justifique sua resposta. Iterprete geograficamete sua coclusão. [Sugestão: sejam {u u } e {v v } bases para U e V respectivamete; mostre que u u v v São liearmete depedetes.] Eercícios Mudaça de base

10 . Para um dos ites a seguir ecotre a matriz que correspode à mudaça de base [U u ] para a base [e e ]. (a) u = ( ) u = (- ) (b) u = ( ) u = ( ) (c) u = ( ) u = ( ). Para cada uma das bases coordeadas [u u ] o Eercício ecotre a matriz mudaça de base de [e e ] para [u u ].. Sejam v = ( ) e v = ( ). para cada uma das bases ordeadas [u u ] o Eercício ecotre a matriz mudaça de base de [v v ] para [u u ].. Seja E = [( ) ( ) ] e sejam = ( ) y = ( -) e z = ( 7). Ecotre os vetores de coordeadas[] E [y] E e [z] E.. Sejam u = ( ) u = ( ) e u = ( ). (a) Ecotre a matriz mudaça de base de [e e e ] para [u u u ]. (b) Ecotre as coordeadas de cada um dos vetores a seguir em relação a [u u u ]. (i) ( ) (ii) ( ) (iii) ( ). Sejam v = ( 7) v = ( ) e v = ( ) e sejam u u e u os vetores dados o Eercício. (a) Ecotre a matriz mudaça de base de [v v v ] para [u u u ]. (b) Se = v + v v determie as coordeadas de em relação a [u u u ]. 7. Cosidere v v S Ecotre vetores w e w tais que S é a matriz mudaça de base de [w w ] para [v v ]. 8. Cosidere v v S Ecotre vetores u e u tais que S é a matriz mudaça de base de [v v ] para [u u ]. 9. Sejam [ ] e [ + ] duas bases ordeadas para P.

11 (a) Ecotre a matriz mudaça de base que represeta a mudaça de coordeadas de [ + ] para [ ]. (b) Ecotre a matriz mudaça de base que represeta a mudaça de coordeadas de [ ] para [ + ].. Ecotre a matriz mudaça de base que represeta a mudaça de coordeadas em P da base ordeada [ ] para a base ordeada [ ].. Seja E = [u... u ] e F = [v... v ] duas bases ordeadas para R e defia U = (u... u ) e V = (v... v ) Mostre que a matriz mudaça de base de E para F pode ser determiada calculado-se a forma escada reduzida por lihas de (U\V). Eercícios Espaço liha e colua:. Para cada uma das matrizes a seguir ecotre uma base para o espaço liha uma base para o espaço colua e uma base para o úcleo. (a) 8 7 (b) 8 (c). Em cada um dos ites a seguir determie a dimesão do subespaço de R gerado pelos vetores dados. (a) (b) (c). Seja A (a) Calcule a forma escada reduzida por lihas U de A. Quais os vetores coluas de U que correspodem às variáveis livres? Escreva cada um desses vetores coluas como uma combiação liear dos vetores coluas correspodetes às variáveis líderes.

12 (b) Quais os vetores coluas de A que correspodem as variáveis lideres de U? Esses vetores coluas formam uma base para o espaço colua de A. Escreva cada um dos vetores coluas de A como uma combiação liear dos vetores dessa base.. Para cada uma das escolhas de A e b a seguir determie se b pertece ao espaço colua de A e diga se o sistema A = b é ou ão compatível. (a) A = b = 8 (b) A = b = (c) A = b = (d) A = b = (e) A = b = (f) A = b =. Para cada um dos sistemas compatíveis o Eercício eamie os vetores coluas da matriz de coeficietes para determiar se o sistema tem uma ou uma ifiidade de soluções.. Quatas soluções os sistema A = b vai ter se b pertecer ao espaço colua de A e se os vetores coluas de A forem liearmete idepedetes? Eplique. 7. Seja A uma matriz m com m >. Seja b m R e supoha que N(A) = {}. (a) O que você pode cocluir sobre os vetores coluas de A? Eles são liearmete idepedetes? Eles geram m R? Eplique. (b) Quatas soluções o sistema A = b vai ter se b ão pertecer ao espaço colua de A? Quatas soluções o sistema vai ter se b pertecer ao espaço colua de A? Eplique. 8. Sejam A e B matrizes X. Se dim N(A) = qual o posto de A? Se o posto de B for qual vai ser a dim N(B)? 9. Sejam A e B matrizes equivaletes por lihas.

13 (a) Mostre que a dimesão do espaço colua de A é igual a dimesão do espaço colua de B. (b) Os espaços coluas de A e B são ecessariamete iguais? Justifique sua resposta.. Prove que um sistema liear A = b e compatível se e somete se o posto de (A/b) é igual ao posto de A.. Seja A uma matriz m. (a) Se B é uma matriz m m ivertível mostre que BA e A têm o mesmo úcleo e portato o mesmo posto. (b) Se C e uma matriz ivertível mostre que AC e A tem o mesmo posto.. Prove o Corolário.... Supoha que A e B são matrizes m com a propriedade de que A = B para todo R. Mostre que: (a) N(A -B) = R ; (b) A B têm que ter posto ulo e portato A = B.. Sejam A e B matrizes. Mostre que AB = O se e somete se o espaço colua de B e um subespaço do úcleo de A.. Sejam A Rm b as afirmações a seguir. m R e uma solução particular do sistema A = b. Prove (a) Um vetor y em R é uma solução de A = b se e somete se y = + z ode zn(a). (b) Se N(A) = () etão a solução é úica.. Sejam e y vetores ão-ulos em R m e R respectivamete e seja A = y. (a) Mostre que [ é uma base para o espaço colua de A e que {y } é uma base para o espaço liha de A. (b) Qual a dimesão de N(A)? 7. Sejam A e R m r B R r e C = AB. Mostre que: (a) O espaço colua de C e um subespaço do espaço colua de A; (b) O espaço liha de C é um subespaço do espaço liha de B; (c) Posto(C) mi{posto(a) posto(b)}. 8. Sejam A R m B R r e C = AB. Mostre que: (a) Se ambos A e B têm vetores coluas liearmete idepedetes etão os vetores coluas de C também são liearmete idepedetes.

14 (b) Se ambos A e B têm vetores lihas liearmete idepedetes etão os vetores lihas de C também são liearmete idepedetes. [Sugestão: aplique a parte (a) a C ] 9. Sejam A R r B R r e C = AB. Mostre que: (a) Se os vetores coluas de B são liearmete depedetes etão os vetores coluas de C também são liearmete depedetes. (b) Se os vetores lihas de A são liearmete depedetes etão os vetores lihas de C também são liearmete depedetes. [Sugestão: aplique a parte (a) a C.]. Dizemos que uma matriz A m tem uma iversa à direita se eiste uma matriz C m tal que AC = I m. Dizemos que A tem uma iversa à esquerda se eiste uma matriz D m tal que DA = I. (a) Mostre que se A tem iversa à direita etão os vetores coluas de A geram R m. (b) É possível para uma matriz m ter uma iversa à direita se < m? E se m? Eplique.. Prove que se A é uma matriz m tal que os vetores coluas de A geram R m etão A tem uma iversa à direita. [Sugestão: deote por e j a j-ésima colua de I m e resolva. A = e j para j=...m.]. Mostre que uma matriz B tem iversa à esquerda se e somete se B tem iversa à direita.. Seja B uma matriz m cujas coluas são liearmete idepedetes. Mostre que B tem iversa à esquerda.. Prove que se uma matriz B tem iversa à esquerda etão as coluas de B são liearmete idepedetes.. Se uma matriz U esta em forma escada etão os vetores lihas ão-ulos formam uma base para o espaço liha de U.