DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

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2 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Seja uma v.a. que assume os valores,,..., com probabilidade p, p,..., p associadas a cada elemeto de, sedo p p... p diz-se que está defiida um Distribuição de Probabilidade. - v.a. discretas Fução de Probabilidade - v.a. cotíuas Fução Desidade de Probabilidade. FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO. DEFINIÇÃO: Seja uma v.a. defii-se a fução F como a Fução Distribuição (Acumulada) da v. a. como F () P( ), R.

3 ESPERANÇA E ARIANCIA DE UMA ARÁEL ALEATÓRIA ESPERANÇA: Esperaça ou Epectâcia de uma v. a. é um valor médio dos possíveis valores de, poderada coforme sua distribuição, i.e.; é uma média poderada ode os pesos são as probabilidades p( i ). É aida, o cetro de gravidade da uidade de massa que é determiada pela fução desidade de. Assim E() é uma medida de localização ou cetro de v.a. ARIÂNCIA: Se é uma v.a., defiimos a variâcia de como a dispersão da desidade de em relação ao seu valor de localização cetral de desidade(e()) e é dada por: () E[-E()] E(-µ) E{ - E() [E()] } E( ) - E()E() [E() ] (E() é um costate) E( ) - [E()] //

4 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS UNIFORME DISCRETA Uma v.a. tem distribuição uiforme discreta quado sua fução de probabilidade for dada por: p ( ) N 0 c/c,,..., N PROPRIEDADES: E() N () N EEMPLO: Seja ε laçar um dado, etão: {,, 3, 4, 5, 6 } p( i ) /6 E() 3,5 (),9

5 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS BERNOULLI: Uma v.a. tem distr. Beroulli se sua f.p. for dada por: p ( ) p 0 ( p ) c/c 0, PROPRIEDADES: E() p () p.q ode q -p PROCESSO DE BERNOULLI: É o processo de amostragem o qual :. Em cada tetativa eistem resultados possíveis mutuamete eclusivos (sucesso e fracasso).. As séries de tetativas são idepedetes. 3. A probabilidade de sucesso (p) permaece costate de tetativa para tetativa ou seja o processo é estacioário.

6 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS BINOMIAL: Uma v.a. possui distribuição biomial se sua f.p. for dada por: p().p.q 0,,..., C!!( )!!.(-).(-)... A distribuição biomial é utilizada para determiar a probabilidade de se obter um dado úmero de sucessos em um processo de Beroulli. úmero de sucessos úmero de tetativas p probabilidade de sucessos em cada tetativa. PROPRIEDADES: E() p () pq

7 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS POISSON: Uma v.a. tem distr. Poisso se sua f.p. for dada por: p ( ) λ 0.e! λ c/c 0,,,... A distr. de Poisso pode ser usada para determiar a probabilidade de um dado úmero de sucessos quado os evetos ocorrem em um cotiuum de tempo ou espaço. É similar ao processo de Beroulli, eceto que os evetos ocorrem em um cotiuum ao ivés de ocorrerem em tetativas fiadas, tal como o processo de Beroulli os evetos são idepedetes e o processo é estacioário. λ úmero médio de sucessos para uma específica dimesão de tempo e espaço. úmero de sucessos desejados. PROPRIEDADE: E() λ () λ

8 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS UNIFORME OU RETÂNGULAR: Uma v.a. é uiformemete distribuida am b se sua f.d.p. for: f ( ) b a 0 PROPRIEDADES: a c/c b E ( ) a b () ( b - a )

9 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS): Uma v.a. ~ N(µ, s ) se sua f.d.p. for dada por: PROPRIEDADES: µ f ( ) e - < <, - < µ < e > 0 π. f() > 0, R. f() é crescete para (-, µ) e decrescete para (µ, ). 3. Poto de máimo da fução em µ. Etão µ é também a moda da distribuição. 4. f () é simétrica em relação a µ. 8. alor esperado : µ 9.ariâcia 0. A área da curva correspodete etre: (µ - ) e (µ ) 68,7% (µ - ) e (µ ) 95,45% (µ - 3) e (µ 3) 99,73%

10 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS IMPORTÂCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL:. Poder de modelameto. Medidas produzidas em diversos processos aleatórios seguem a distr. ormal.. Capacidade de aproimação de outras distr. como Biomial e Poisso. 3. As distr. de estatísticas da amostra freqüetemete seguem a distr. ormal idepedete da distr. da população. DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA: Quado µ 0 e (caso particular) (chamada "stadard", ormalizada, padrão) z i µ EEMPLO : Sedo os QI's Femiio e Masculio com média igual a 00 e desvio padrão 5 e 0 respectivamete. Calcular as probabilidades de ecotrarmos QI's acima de 0 para ambos os seos. EEMPLO : Com os dados do eercício aterior calcular as probabilidades de ecotrarmos QI's abaio de 85.

11 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL Seja,,..., v.a. ideticamete distribuídas (iid); com a mesma µ e. e seja S... a média aritmética de v.a. idepedetes Z ) S ( ) S E ( S N(0,) pois E(S ) E(... ) µ µ...µ µ (S )... Uma dedução feita através do Teorema do Limite Cetral é que uma distribuição amostral de médias tede uma distr. ormal quado é suficietemete grade ( 30). ) ( ) E (, N µ µ ode: ( ) ( ) ( ) [ ] µ µ µ E... E E... E ( ) E ( ) ( ) ( ) [ ] ( )