PREVISÃO DE PRECIPITAÇÃO

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1 4 PREVISÃO DE PRECIPITAÇÃO PROBABILIDADE NOS PROJETOS Em Egeharia o cohecimeto das magitudes das precipitações apreseta grade iteresse prático por sua freqüete aplicação os projetos hidráulicos. Nos projetos de vertedouros de barrages, o dimesioameto de caais, a defiição das obras de desvio dos cursos d'água, a determiação das dimesões de galerias de águas pluviais, deve-se cohecer a magitude das echetes que poderiam ocorrer com uma determiada freqüêcia. Já os projetos de irrigação e abastecimeto de água, há de se cohecer a gradeza das estiages que adviriam e com que freqüêcia ocorreriam. A freqüêcia é estabelecida com base o coceito de período de retoro, como sedo o itervalo de tempo médio, em aos, para que um eveto seja igualado ou superado Em geral, estruturas hidráulicas mais robustas devem ser projetadas para suportar evetos etremos de magitudes maiores. Cietes de que estruturas mais robustas implicam em custos também maiores, os projetos são cocebidos de maeira a admitir certo risco de falha durate a sua vida útil, para que ele se viabilize ecoomicamete. Tal risco é variável à medida que trate de obras de maior ou meor resposabilidade. Para o dimesioameto de órgãos de descarga, adota-se geralmete a echete com período de retoro de (decamilear). Costruções provisórias, como eceradeiras, podem ser projetadas com meor seguraça, sedo, esses casos, o período de retoro admitido de 20 a 50 aos. Face ao eposto, pode-se dizer que o egeheiro deve dispor de elemetos para avaliar o provável risco associado a vazões de projeto. Tais aálises só são possíveis com o suporte de modelos de distribuição probabilística teóricos. Para tato, realizam-se aálises estatísticas de evetos registrados o passado, verificado-se a freqüêcia associada a cada magitude. Em seguida, verifica-se o ajuste de tais dados a leis probabilísticas teóricas para, com o amparo das mesmas, avaliar as probabilidades de evetos etremos maiores por etrapolação. Há distribuições probabilísticas teóricas tipicamete ajustáveis a gradezas hidrológicas como os totais precipitados auais e máimos e míimos auais. Duas delas serão mostradas aqui, a título de eemplo. DISTRIBUIÇÃO DOS TOTAIS PRECIPITADOS Tem-se verificado que quado a série de observações pluviométricas auais é bastate loga, a freqüêcia se adapta bem à lei de Gauss, segudo a qual a probabilidade, F(), de um total aual qualquer ser iferior a ; um determiado total aual de precipitação, pode ser epressa como: F( ) = 2π z e z 2 / 2 dz

2 ode: z = variável reduzida da distribuição ormal, aqui deomiada variável ormal, µ= média aritmética dos dados observados =desvio padrão dos valores observados z = µ ; = i= ( i µ ) 2 No caso da Distribuição Normal, o período de retoro é defiido por: T = [ F( )] Observar que F() correspode à itegral da curva ormal de distribuição de probabilidade, coforme ilustra a Fig.. A mesma figura mostra, que a curva é simétrica em relação à média, possibilitado que, cohecido F(), seja avaliado [-F()].,2 0,8 e -z*z/2 0,6 0,4 0,2 F() [-2.F()] F() z Curva de Gauss O ajuste da série de valores auais de precipitação segudo a curva ormal pode ser facilitado pelo uso de papéis de probabilidade, o qual a distribuição ormal se apreseta como uma reta que passa por 3 potos característicos: µ : F ( µ ) = 50 % µ µ + : F ( µ ) = 5,87 % : F ( µ + ) = 84,3 % Observa-se que atualmete istrumetos que facilitem o trabalho dos egeheiros mais aptos ao uso de computador devem ser empregados. Nesse setido, embora em sala de aula algus eercícios utilizem os papéis de probabilidade, aqui são apresetadas duas aplicações cujos resultados foram obtidos diretamete via plailhas Ecel. As aálises de freqüêcia admitem que a freqüêcia teórica "F()" para um eveto de ordem m, em ordem crescete das observações, é : m F = (Método de Kimbal ou Weibull) +

3 Se, por eemplo, for detectada uma chace de 5% de um total precipitado aual ser iferior a 600 mm, há probabilidade de 95% desse valor vir a ser igualado ou superado. Esse tipo de aálise é útil aos projetos de abastecimeto de água e problemas de plaejameto de recursos hídricos em geral. Mas, o projetista pode estar preocupado com a dreagem ou problemas relativos à abudâcia de água e, etão, é coveiete cohecer os totais precipitados com probabilidade de serem ecedidos 0, 25, etc. porceto do tempo. Da mesma forma que, cohecidos os limites superior e iferior de tolerâcia de uma cultura, a probabilidade de falha da cultura devida a ecesso ou falta de água pode ser avaliada. Ou, aida, através das curvas de probabilidade de diversas estações, é possível mapear as chaces de cheia, falha de culturas, ou outros problemas associados à ocorrêcia de precipitação. Observa-se aida que, caso a distribuição ormal ão se ajuste aos valores da série origial, pode-se proceder à trasformação das variávies origiais. Dessa maeira, por eemplo, variáveis que ão se distribuam segudo a lei de Gauss, podem ter seus logaritmos assim distribuídos. Nesse caso, é dito que a trasformação logarítmica é ormalizate. Eistem diversas outras possibilidades de trasformações ormalizates a literatura especializada. APLICAÇÃO (Villela e Matos, 975): A aálise estatística do posto D4-5 (Estação da CPEF) em São Carlos, cujos dados são apresetados a tabela 3.2, foi feita tomado-se os totais auais de 94 a 968, agrupado-os em itervalos de 50mm de amplitude, tabela 3.3, e calculado-se a média, o desvio padrão e o coeficiete de variação, ecotraram-se respectivamete = 378,6 mm e S=290,89. A repartição de freqüêcia calculada a tabela 3.3 é mostrada a figura 3.8. Para o traçado da reta (distribuição ormal) foram determiados os seguites potos (087,7; 5,87%); (378,6; 50%) e (669,5; 84,3%).

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5 Com base a figura 3.8 foram estabelecidos as seguites alturas pluviométricas esperadas para São Carlos: Período de retoro Alturas pluviométricas prováveis (mm) Máima míima 5 aos aos aos aos

6 SOLUÇÃO UTILIZANDO TABELAS EM EXCEL: É mostrado aqui o eercício etraído de Villela e Matos (975), para o qual realiza-se a verificação do ajuste da distribuição ormal de totais precipitados auais, através de plailha eletrôica. Assim os dados costates da Tabela, referem-se ao do posto D4-5 (Estação da CPEF) em São Carlos. Tabela ao P(mm) m F=m/(+) Variável Normal Obs. Teórica ao P(mm) m F=m/(+) Variável Normal Obs. Teórica 944,0 727, 0,03 -,82-2, ,3 5 0,52 0,04 0,2 963,0 885,9 2 0,07 -,48 -, ,8 6 0,55 0,3 0,8 94,0 066,6 3 0,0 -,26 -, ,0 7 0,59 0,22 0,26 959,0 05,0 4 0,4 -,09-0, , 8 0,62 0,3 0,3 96,0 36,3 5 0,7-0,94-0, ,0 9 0,66 0,40 0,33 968,0 94,6 6 0,2-0,82-0, , 20 0,69 0,49 0,39 952,0 99,2 7 0,24-0,70-0, ,2 2 0,72 0,60 0,6 945,0 205,8 8 0,28-0,60-0, ,0 22 0,76 0,70 0,63 955,0 224,5 9 0,3-0,49-0, ,2 23 0,79 0,82 0,66 966,0 230,9 0 0,34-0,40-0, ,6 24 0,83 0,94 0,95 948,0 245,3 0,38-0,3-0, ,7 25 0,86,09,03 953,0 248,8 2 0,4-0,22-0, ,7 26 0,90,26,59 95,0 25,5 3 0,45-0,3-0, ,0 27 0,93,48,64 949,0 40,8 4 0,48-0,04 0, ,9 28 0,97,82 2,25 media d.p. 377,2 mm 287,7 mm 2,5 2 variavel ormal, z,5 0,5 0-0,5 - Teórica Obs. -,5-2 -2, P(mm)

7 FREQUÊNCIA DE MÁXIMOS O fato dos projetos hidráulicos em geral serem cocebidos cosiderado o custo míimo associado a um risco admissível de falha, requer a previsão de gradezas hidrológicas de grade magitude, tais como as máimas vazões ou precipitações que podem vir a ocorrer em certa localidade, com determiada freqüêcia. Assim, as séries de máimos valores são empregadas para ajuste, segudo a lei probabilística que melhor descreva o processo, possibilitado etrapolações. As séries hidrológicas de máimos podem ser costituídas pelos valores mais elevados observados em cada ao, costituido as séries auais. Para o propósito de dimesioameto de órgãos de descarga, adota-se geralmete a echete com probabilidade de 0,0% (decamilear). Algus autores recomedam que os máimos auais tomem por base o ao hidrológico e ao ivés do ao civil. Etretato, à medida que se dispõe de séries históricas mais etesas, tora-se idiferete. O ao hidrológico compreede um ciclo completo de cheia e estiagem, começado o mês em que as descargas do rio estão subido, depois de um período seco. Para a maioria dos rios da região Cetro-Sul do país, o ao hidrológico compreede os meses de outubro a setembro, porque aí, geralmete o mês de outubro, começa a estação mais chuvosa; as descargas máimas acotecem os meses de dezembro a março, e depois dimiuem, chegado ao míimo os meses de agosto e setembro. Algus rios o Sul do Estado de São Paulo e mais par o Sul, às vezes, têm uma echete os meses de juho a agosto. No Sul do país, ode o clima é mais temperado, a distribuição dos períodos secos e chuvosos durate o ao é meos regular e o ao hidrológico tem iício algus meses mais cedo que a região Cetro-Sul. Utilizar as descargas máimas com base o ao civil pode resultar em erros substaciais. Uma oda de echete, por eemplo, pode esteder-se dos meses de dezembro a fevereiro, com a pota o mês de jaeiro. No ao civil parece, etão, acotecer um máimo o mês de dezembro de um ao, e outro o mês de jaeiro do ao seguite, equato se trata de uma só oda de echete com a pota o mês de jaeiro. As séries auais de valores máimos de cheias forecem os melhores elemetos para uma aálise visado a determiação da cheia de projeto para um etravasor ou para um bueiro, embora às vezes sejam criticadas pelo fato de que em algus aos da série, o valor da seguda maior cheia ser maior do que os valores máimos costates em outros aos da série. Assim, as séries parciais, costituídas por todos os valores de cheias acima de uma vazão arbitrária fiada, são às vezes utilizadas em substituição às séries auais. Os dois tipos de séries levam a períodos de retoro muito próimos para períodos de retoro mais curtos. As séries parciais ão devem ser etrapoladas por métodos estatísticos para avaliação de evetos raros. Se o maior iteresse for em relação às meores vazões e sobretudo quado tiver sido estipulado um período de retoro meor do que um ao, as séries parciais devem ser utilizadas marcado uicamete os valores máimos em fução de T e esboçado, a olho, uma curva que melhor se adapte. Outra possibilidade é que os maiores valores observados o período sejam utilizados para compor as séries parciais, sedo o úmero de aos do período cosiderado. A difereça básica etre ambas as séries citadas é que, equato as séries auais têm como termo de distribuição o tempo (ao), as séries parciais têm como termo de distribuição a magitude dos valores etremos. Por essa razão as séries auais revelamse mais sigificativas. Diversas são as distribuições probabilísticas empregadas para eprimir os valores etremos de gradezas hidrológicas, destacado-se a Log Pearso Tipo III e a distribuição Tipo I de Fisher-Tippett, cohecida também como distribuição de Gumbel, cujos pricípios são apresetados a seguir. Aos dados observados classificados em ordem decrescete atribui-se o seu úmero de ordem "m", variável de a, sedo o úmero de aos de observação. Assim, é o úmero de ordem correspodete ao máimo valor observado para o referido período de registro.

8 A freqüêcia teórica "F", chamada de ecedêcia, com que um eveto de ordem m, em coformidade com a ordem decrescete das observações, e magitude cohecida foi igualado ou superado é : m F = (Método de Kimbal ou Weibull) + Cosiderado-se a freqüêcia como uma boa estimativa da probabilidade teórica (P) e recordado-se tempo de recorrêcia ou período de retoro como sedo o período de tempo médio, em aos, em que um determiado eveto deve ser igualado ou superado pelo meos uma vez, tem-se a seguite relação: T = ou P F Para períodos de retoro bem meores que o úmero de aos de observação, o valor ecotrado para F pode dar uma boa idéia do valor real de P, mas para grades períodos de recorrêcia a repartição de freqüêcia deve ser ajustada a uma lei probabilística teórica, para possibilitar um cálculo mais correto da probabilidade. DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL A distribuição de Gumbel é epressa por: P( X ) = e y e sedo P( X ) a probabilidade de um valor etremo qualquer X da série ser maior ou igual a, ou seja, P( X ) =[-F()], e y é a variável reduzida ou variável Gumbel, epressa como: sedo: y = ( X f ). () =desvio padrão da variável reduzida y =desvio padrão da variável X =moda dos valores etremos X, epressa por: f f y =. ode = média aritmética da variável X; y = média aritmética da variável reduzida y. A substituição de (2) em () produz: y = ( X + y. ). Os valores de y e ecotram-se a Tabela 2, em fução do período de observação. (2) (3)

9 Tabela 2. Média e desvio padrão da variável Gumbel y em fução do úmero de observações. Fote: Gumbel (958) y y y 8 0,4843 0, ,5403, ,5533, ,4902 0, ,540, ,5538,84 0 0,4952 0, ,548, ,5543,834 0,4996 0, ,5424, ,5548, ,5035 0, ,5430, , ,5070 0, ,5436, ,5557, ,500, ,5442, ,556, ,528, ,5448, ,5565, ,557, ,5453, ,5569, ,58, ,5458, ,5572, ,5202, ,5463, ,5576, ,5220, ,5468, ,5580, ,5236, ,5473, , ,5252, ,5477, ,5586, ,5268, ,548, ,5589, ,5283, ,5485, ,5592, ,5296, ,5489, ,5595, ,5309, ,5493, ,5598, ,5320, ,5497, ,5600, ,5332, ,550, ,5646, ,5343, ,5504, ,5672, , ,5508, ,5688, ,5362, ,55, ,5699, ,537, ,555, ,574, ,5380, ,558, ,5724, ,5388, ,552, ,5738, ,5396, ,5527, ,5745,2685 (3) coduz a: Observa-se que a substituição dos valores y =0,57 e =,28, para =, em y = ( X + 0,45. ). 0,7797 (4) A equação (3) pode aida ser escrita de maeira ligeiramete diferete como: y y X = +., que substituída da equação de Ve Te Chow, que mostrou que a maioria das fuções de freqüêcia teóricas aplicáveis a aálise hidrológica podem ser resolvidas por: X = µ + k sedo: X - magitude ou itesidade do eveto; µ - média dos valores de itesidade observados X; k - fator de freqüêcia que depede do tamaho da amostra, do período de retoro e do tipo de distribuição; - desvio padrão das variáveis X. resulta: K = y y (5)

10 sedo K é o fator de freqüêcia, fução do período de retoro,t, e do úmero de valores etremos que costituem a série. y é avaliado por: y = l( l( )), e os T valores de y e ecotram-se a Tabela 2, em fução do úmero de observações. Weiss costruiu um moograma para determiar o valor de K (fator de freqüêcia) em fução de T (período de retoro em aos) e (período de dados em aos), a ser utilizado a equação de Ve Te Chouw para previsão de um valor etremo. O gráfico de Weiss é mostrado a próima figura.