FILAS PARALELAS COM SERVIDORES HETEROGÊNEOS E JOCKEYING PROBABILÍSTICO

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1 CAÍTULO FILAS ARALELAS COM SERVIDORES HETEROGÊNEOS E JOCKEYING ROBABILÍSTICO Nesse capítulo mostraremos a ovidade desse trabalho que é a obteção das equações de balaço de um sistema de filas paralelas com três servidores heterogêeos cosiderado a possibilidade de troca etre filas pelos usuários. Essas trocas têm uma probabilidade de ocorrêcia sedo proporcioal a difereça existete etre o comprimeto das filas evolvidas e o seu grau de vizihaça. As características do sistema aqui descrito obedecem em grade parte aos padrões utilizados pelos pesquisadores: os usuários chegam ao sistema através de um fluxo de chegada úico segudo um processo de oisso igressam a fila mais curta e são servidos por servidores expoeciais heterogêeos dispostos em paralelo com possibilidade de trocas etre filas. Icorpora-se esses padrões o fato da troca etre filas ser opcioal para os usuários e que esses dificilmete percebem que existe uma fila de tamaho meor para fazer a troca quado há grade distâcia etre elas existido por esse motivo trocas etre filas bem próximas coseguido o usuário exergar até a seguda fila viziha à dele para fazer a troca quado coveiete. Esse grau de vizihaça e a expasão para três servidores foram os igredietes iseridos o osso trabalho e ão cosiderados os estudos de Koeigsberg []. Trata-se etão de uma extesão dos resultados de Koeigsberg []. Deduzimos as equações de trasição de um sistema de filas paralelas com jockeyig probabilístico com três 9

2 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico servidores heterogêeos equato Koeigsberg [] obteve essas equações para dois servidores heterogêeos. No fial do capítulo exibiremos algus resultados uméricos comparado com aqueles do problema da vida real a fim de mostrar a eficiêcia do sistema com três servidores heterogêeos projetado e desevolvido esse estudo. Adotaremos para esse osso estudo as seguites otações e defiições: i : úmero de usuários diate do servidor i (i ) cosiderado os que estão a fila e em serviço; i : o comprimeto das filas de espera diate do servidor i ( i ) com: i se i i se i V m : a taxa de jockeyig da m-ésima vizihaça quado i-j > com m i-j i j; : probabilidade de o sistema estar o estado ( ); ( ): o sistema se ecotra o estado com pessoas diate do servidor diate do servidor e diate do servidor ; Defiição : Graus de Vizihaça etre filas Dadas três filas paralelas chamamos de primeira viziha se existir a fila imediatamete paralela a sua direita (ou esquerda) aquela a qual o usuário se ecotra e de seguda viziha se existir a seguda fila paralela a sua direita (ou esquerda) aquela a qual o usuário se ecotra. Ao cotrário das trocas obrigatórias etre filas em que o usuário sempre troca de fila aalisamos o caso em que essa obrigatoriedade ão existe e as trocas etre filas passam a ser uma opção dispoível para o usuário podedo ele trocar ou ão de fila. Se sua opção é pela troca de fila ele a faz da fila maior para a meor e aalisa a difereça etre os comprimetos das filas evolvidas e o grau de vizihaça etre elas. Quato maior for essa difereça e maior o grau de vizihaça maior é a chace de ocorrer a troca. Desse modo as trocas etre filas passam a ter uma probabilidade de acotecer ou ão.

3 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico Esse é o caráter probabilístico que damos ao osso sistema de filas paralelas difereciado-o dos tradicioais já estudados. Defiimos etão as trocas probabilísticas etre filas como: Defiição : Trocas probabilísticas etre filas. Se o úmero de usuários da fila i é maior que o úmero de usuários da fila j ou seja i > j os usuários trocam da fila i para a j com uma taxa proporcioal V m i j ode i e j são os tamahos das respectivas filas e V m é a taxa de jockeyig da m-ésima vizihaça quado i j > com m i j.. DESCRIÇÃO DO SISTEMA O sistema de filas paralelas cosiderado cosiste de três servidores operado em paralelo idepedetes um dos outros e cada um tedo sua própria fila deotado por M/(M i /) com jockeyig probabilístico com i. Os usuários chegam o sistema através de um fluxo de chegada úico segudo um rocesso de oisso com taxa de chegada e igressam em uma das três filas de acordo com as regras estabelecidas a secção.. Depois de ter igressado em uma das filas ele poderá permaecer ela ou trocar de fila coforme os critérios estabelecidos a secção.. O usuário é etão atedido por um dos servidores heterogêeos cada um tedo o seu tempo de serviço distribuído coforme uma expoecial egativa com taxas de serviços i i. Após termiado o serviço o usuário deixa o sistema. Cosidera-se aida o processo de serviço sedo idepedete do processo de chegada. O sistema pode ser visualizado a figura. a seguir.

4 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico Servidor V () V Servidor Servidor Fig.. Sistema M/(M i /) com jockeyig probabilístico. SELEÇÃO DAS FILAS Os usuários ao chegarem o sistema de filas paralelas podem escolher a fila que deseja igressar de acordo com as codições: i) se todos os três servidores estão ocupados uma chegada juta-se à fila mais curta. Caso duas ou mais filas têm igual comprimeto o usuário escolhe qualquer uma delas com igual probabilidade; ii) iii) se apeas um servidor está livre o usuário que chega ocupa o caal livre; se dois ou mais servidores estão livres o usuário que chega escolhe qualquer um deles com igual probabilidade.

5 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico. ESTRATÉGIAS DE TROCAS ENTRE FILAS Coforme descrevemos ateriormete as trocas etre filas são probabilísticas e obedecem aos seguites critérios: i) as trocas de filas acotecem da fila mais loga para a mais curta etre as três e desde que a difereça etre seus tamahos seja maior que a uidade; ii) iii) iv) se a fila diate do servidor i é maior que a fila diate do servidor j ou seja i > j e são filas de ª vizihaça os usuários deixam a fila diate do servidor i com uma taxa V i j e igressam a fila diate do servidor j sempre que i j > ; se a fila diate do servidor i é maior que a fila diate do servidor j ou seja i > j e são filas de ª vizihaça os usuários deixam a fila diate do servidor i com uma taxa V i j e igressam a fila diate do servidor j sempre que i j > ; quado houver duas filas de meor tamaho mas iguais a troca ocorrerá para uma ou para outra de acordo com sua probabilidade de ocorrêcia..4 EQUAÇÕES DE TRANSIÇÃO No sistema de três filas paralelas cosiderado as mudaças de estado ocorrem ão apeas com um chegada ou um térmio de serviço mas também quado os usuários trocam de fila por que a outra fila é mais curta. A estratégia de troca de filas adotada é probabilística sedo também proporcioal à difereça etre os tamahos das filas alvo de troca cujas taxas de trocas são dadas por V m i j m e i j. Assim os usuários podem ou ão realizar a troca de filas de acordo com sua coveiêcia. or esse motivo todos os estados do sistema passam a existir ão havedo redução da sua quatidade como ocorre tradicioalmete quado se adota as trocas de filas istatâeas.

6 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico Cosiderado o sistema em equilíbrio as equações de balaço para cada estado do sistema foram obtidas usado a Lei de Coservação dos Fluxos que estabelece para cada estado que o fluxo que etra deve ser igual ao fluxo que sai desse estado. O diagrama de trasição do sistema ão foi exibido por completo mas somete algus de seus estados mostrado os fluxos de etrada e saída com suas respectivas taxas icluido aquelas relacioadas com as trocas de filas. Deste modo o leitor poderá iduzir para os estados ão exibidos a correspodete equação cosiderado a Lei de Coservação dos Fluxos. Observado os padrões de formação ocorridos as equações de cada estado do sistema foi possível deduzir uma Equação Geral capaz de gerar todas as equações do sistema cosiderado. Iicialmete escreveremos as equações para os estados ode existe pelo meos um servidor desocupado que são cohecidos como estados ão-saturados tais como: estado ( ): ( ) ( ) ( ) / / / ( ) (.) 4

7 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico estado ( ): ( ) / ( ) / / ( ) ( ) ( ) (.) ( ) estado ( ): (.) ( ) 5

8 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico estado ( ): (.4) ( ) estado ( ): V V (.5) ( ) V V estado ( ): ( ) ( ) ( ) / / ( ) V ( ) V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V 6

9 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico (.6) ( ) V V estado ( ): V V (.7) ( ) V V estado ( ): V V V V V V (.8) ( ) V V V V V V estado ( ): V V V 7

10 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico (.9) ( ) V V V V estado ( ): V V V V (.) ( ) V V V V estado ( ): V V V V (.) ( ) V V V V 8

11 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico estado ( ): V V (.) ( V ) V estado ( ): V V (.) ( V ) V estado ( ): V V V V (.4) ( ) estado ( ): V V (.5) ( V ) V estado ( ): V V 9

12 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico (.6) ( V ) V estado ( ): V V (.7) ( V V ) estado ( ): V V V V (.8) ( ) estado ( ): { V V (.9) ( V ) V estado ( ): V V 4

13 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico V V (.) ( ) estado ( ): V V V V (.) ( ) V V V V estado ( ): V V V (.) ( _ ) V V V V 4

14 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico estado ( ): V V V V (.) ( ) V V V V estado ( ): V V (.4) ( V V ) estado ( ): V V (.5) ( V ) V estado ( ): V V (.6) ( V V ) 4

15 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico Agora agrupado os estados com apeas um servidor livre depois os estados com dois servidores livres e em seguida os estados com os três servidores ocupados e observado os padrões a formação das equações desses grupos de estados é possível escrever uma só equação que os egloba a qual deomiamos de equação geral do sistema de filas paralelas com três servidores heterogêeos com jockeyig probabilístico. Essa equação é apresetada a seguir: Equação geral dos estados ( ) para... : (.7) ( A B C DV EV FV ) G H I JV LV - NV - RV - SV - TV - ode: A B C D M M E M M F M M com M máx{ } 4

16 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico { } < < caso cotráro G mí e ou e { } < < caso cotráro H mí e ou e { } < < caso cotráro I mí e ou e { } caso cotrário máx J 44

17 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico { } caso cotrário máx L { } caso cotrário máx N { } caso cotrário máx R { } caso cotrário máx S { } caso cotrário máx T 45

18 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico com ( ) ( ) ( ) ( ) > ( ) ( ) > ( ) ( ) ( ) ( ) > ( ) ( ) > ( ) ( ) ( ) ( ) > ( ) ( ) As medidas de desempeho do sistema foram obtidas apeas umericamete usado o softare Mathematica. [6] e calculadas de uma maeira usual coforme as expressões abaixo ode é o úmero de pessoas o sistema e é a probabilidade de haver exatamete pessoas o sistema em equilíbrio substituido V e V pelos valores que foram obtidos a partir dos resultados do Aexo. A partir de experimetos realizados também o Mathematica. [6] para o cálculo das probabilidades de equilíbrio pudemos observar que o máximo de cico usuários diate de cada servidor icluido o que está sedo servido é um valor próximo de zero que é [555]. Obviamete se aumetarmos o úmero máximo de usuários diate de cada servidor esta probabilidade dimiuirá aida mais estabilizado-se em zero. > i) probabilidade de haver usuários o sistema: 5 (.8) 46

19 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico ii) itesidade de tráfego: (.9) ρ iii) úmero médio de pessoas o sistema: 5 (.) E( Q) iv) probabilidade de o sistema estar vazio: (.) ( ) v) probabilidade de ter zero pessoas o servidor : 5 5 (.) ( ) vi) probabilidade de ter zero pessoas o servidor : 5 5 (.) ( ) vii) probabilidade de ter zero pessoas o servidor : 5 5 (.4) ( ) viii) úmero médio de pessoas o servidor : (.5) m ix) úmero médio de pessoas o servidor : (.6) m x) úmero médio de pessoas o servidor : (.7) m

20 Filas aralelas com Servidores Heterogêeos e Jockeyig robabilístico Devido a complexidade da solução do sistema M/(M i /) com jockeyig probabilístico ão foi possível obter expressões algébricas explícitas para as medidas de desempeho do sistema. 48