DETERMINANDO A SIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA PARA AS DIFERENÇAS ENTRE MÉDIAS

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1 DTRMINANDO A SIGNIFIÂNIA STATÍSTIA PARA AS DIFRNÇAS NTR MÉDIAS Ferado Lag da Silveira Istituto de Física - UFRGS lag@if.ufrgs.br O objetivo desse texto é apresetar através de exemplos uméricos como se determia a sigificâcia estatística para a difereça etre médias de grupos de sujeitos em medidas educacioais. São apresetadas três situações diferetes.. OMPARAÇÃO NTR PRÉ PÓS-TST M UM ÚNIO GRUPO O procedimeto descrito a seguir tem como objetivo comparar em um úico grupo de respodetes se há difereça em média etre os escores obtidos em duas aplicações do mesmo teste (pré-teste e pós-teste). Os dados apresetados a tabela são os escores de 45 aluos de Física 8 o teste sobre as ocepções relativas a força e movimeto ates (X) e depois (Y) do esio sobre as Leis de Newto. A partir de X (escore o pré-teste) e Y (escore o pós-teste) calcula-se uma ova variável G (Gaho) pela difereça etre Y e X. A última liha da Tabela apreseta o somatório das respectivas coluas (SG somatório dos gahos; SG somatório dos gahos ao quadrado). O objetivo do procedimeto apresetado a seguir é testar se a média da variável G difere sigificativamete de zero e, portato, existe difereça sigificativa etre as médias do pós e do pré-teste. Tabela omparação etre pré e pós-teste Sujeito X Y G Y - X G

2 SG 84 SG 706 A seguir é apresetado passo a passo como se realiza a comparação através do teste t de Studet para variáveis relacioadas. Primeiro passo álculo do gaho médio. SG 84 G 45 6,3 Segudo passo álculo do desvio padrão (erro padrão) do gaho médio.

3 S SG G 706 6, G 0,680 Terceiro passo álculo da razão t de Studet e determiação do ível de sigificâcia estatística para o gaho médio ou a difereça média etre pós e pré-teste. t G S G 6,3 0,680 9,8 Para se decidir sobre a sigificâcia estatística do gaho médio recorre-se à tabela do Aexo. O úmero de graus de liberdade (g.l.) para a razão t de Studet é o úmero de sujeitos meos um, portato este caso, g.l. 44. Pela tabela do aexo costata-se que o ível de sigificâcia estatística associado a t 9,8 é iferior a 0,0 pois esse ível (0,0) a tabela apreseta para g.l. 40, t,70. Desta forma, se coclui que a probabilidade de que a difereça média etre o pós-teste e o pré-teste teha ocorrido por acaso (ível de sigificâcia estatística) é muito pequea (meor do que %). Acredita-se etão que realmete houve um crescimeto desse grupo de aluos os seus escores sobre as ocepções relativas a força e movimeto.. OMPARAÇÃO NTR O GRUPO XPRIMNTAL O GRUPO D ONTROL PRÉ PÓS-TSTADOS ATRAVÉS DA ANÁLIS D GANHOS O procedimeto descrito a seguir é adequado quado se deseja comparar dois grupos que foram pré e pós-testados (uma alterativa ao procedimeto desta seção se ecotra a seção 3). Os dados apresetados a tabela. a tabela. são os escores de 9 aluos (grupo de cotrole) e de 37 aluos (grupo experimetal) de Física 8 o teste sobre as ocepções relativas a força e movimeto ates (X) e depois (Y) do esio das Leis de Newto. As aulas sobre as Leis de Newto o grupo de cotrole foram tradicioais equato que o grupo experimetal o professor partiu das cocepções alterativas para, somete depois apresetar as Leis de Newto. A partir de X (escore o pré-teste) e Y (escore o pós-teste) calcula-se uma ova variável G (Gaho) pela difereça etre Y e X. A última liha da Tabela. e. apreseta o somatório das respectivas coluas.

4 O objetivo do procedimeto apresetado a seguir é testar se a difereça etre o gaho médio o grupo experimetal e o grupo de cotrole é estatisticamete sigificativa. Tabela. Grupo de cotrole Sujeito X Y G Y - X G SG 37 SG 40 Tabela. Grupo experimetal Sujeito X Y G Y - X G

5 SG 60 SG 55 A seguir é apresetado passo a passo como se realiza a comparação etre os gahos médios os dois grupos através do teste t de Studet amostras idepedetes. Primeiro passo álculo do gaho médio o grupo de cotrole e o grupo experimetal. G SG 37 9,8

6 G SG ,7 Segudo passo álculo do desvio padrão da difereça etre as médias (erro padrão da difereça etre as médias) do gaho os dois grupos. S G G SG + SG + SG SG + S G G ,955 Terceiro passo - álculo da razão t de Studet e determiação do ível de sigificâcia estatística para a difereça etre os gahos médios os dois grupos. t G S G G G 7,7,8 0,955 6,7 Para se decidir sobre a sigificâcia estatística da difereça etre os gahos médios recorre-se à tabela do Aexo. O úmero de graus de liberdade (g.l.) para a razão t de Studet é o úmero total de sujeitos os grupos meos, portato este caso, g.l. 64. Pela tabela do aexo costata-se que o ível de sigificâcia estatística associado a t 6,7 é iferior a 0,0 pois esse ível (0,0) a tabela apreseta para g.l. 60, t,66. Desta forma se coclui que a probabilidade de que a difereça etre os gahos médios os dois grupos teha ocorrido por acaso (ível de sigificâcia estatística) é muito pequea (meor do que %). 3. OMPARAÇÃO NTR DOIS GRUPOS ATRAVÉS DA ANÁLIS D OVARIÂNIA (ANOVA) O procedimeto descrito a seguir se aplica quado dois grupos aluos, grupo experimetal e grupo de cotrole, são submetidos a uma medida iicial, aterior ao tratameto (medida X). O objetivo deste procedimeto é comparar os dois grupos em Y (medida fial), matido X costate. A variável X é deomiada covariável de Y ou simplesmete, covariável. A aálise de covariâcia (ANOVA) calcula por regressão quais seriam os escores fiais Y caso os idivíduos dos dois grupos ão diferissem o(s) escore(s) iiciais X. Desta forma, elimia as difereças iiciais etre os idivíduos e, em coseqüêcia, elimia

7 difereças iiciais etre os dois grupos. A ANOVA é recomedável caso haja correlação etre a medida iicial (o exemplo apresetado adiate a medida X é o resultado em um teste de pré-requisitos ecessários aos coteúdos de Física desevolvidos de maeira experimetal e a forma tradicioal ) e a medida fial Y (resultado o sobre os coteúdos de Física). aso haja correlação etre X e Y a ANOVA, além de equiparar estatisticamete (por regressão) os dois grupos em X, reduz a variâcia da difereça etre as médias de Y os dois grupos. A ANOVA é uma alterativa para a Aálise de gahos desevolvida a seção aterior. Naquele caso, X e Y são medidas da mesma variável ates (X - pré-teste) e depois (Y - pós-teste) do tratameto difereciado dado aos dois grupos de aluos. A seguir apresetamos um exemplo umérico, ode para dois grupos (grupo experimetal com 38 sujeitos e grupo de cotrole com 6 sujeitos) devem ser comparados o resultado do teste fial (escore Y as tabelas 3. e 3.), sedo a covariável o escore X (resultado o teste de pré-requisitos). Os escores X podem assumir valores etre 0 e 5 e os escores Y etre 0 e 0. A ANOVA permite que X e Y sejam medidas de variáveis diferetes: X poderia ser o resultado em um teste de pré-requisitos matemáticos, equato Y poderia ser a ota fial em uma disciplia de mecâica; portato esse procedimeto é aplicável quado X e Y ão são ser comesuráveis, possuido diferetes uidades de medida. As tabelas que seguem (tabelas 3. e 3.) possuem, além das coluas com os escores X e Y, mais três coluas. As três últimas coluas apresetam os resíduos (difereça etre o escore de um idivíduo e a média do seu grupo) dos escores X e Y ao quadrado e o produto dos resíduos de X e Y. A última liha de cada tabela apreseta a soma dos valores a respectiva colua. Tabela 3. - Grupo experimetal Sujeito X Y (X -,85)** (Y - 6,58)** (X -,85)*(Y - 6,58) 5 0,6655,93 0, ,6 0,39 6,0659 7, ,7 7,987,065 4, ,3,404 0,065 0, ,5 3,97,680, ,404 0,7446,09 7 6,4 0,0339 0,069 0, ,,404 0,97, ,6655 0,7446-0, ,5 0,6655 0,37-0,96 5,8 0,6655 0,36 0,75 7,7 0,0339,447 0, ,7 4,7708,447 3, , 0,0339,98 0, ,97 0,088 0, ,9 0,0339 0,056-0, , 0,0339 0,97 0, , 3,97 0,878,706

8 9 5,7 0,6655 0,9 0, , 0,6655 4,498,668 5,5 0,6655 0,4059 0,597 6,7 0,6655 0,369-0, ,6 0,0339 0,43 0, ,5,404,8575, ,6,404 0,43 0, ,8 0,0339,765 0, ,4 4,7708,5949, ,404 0,7446, ,4 4,7708,5949, ,6655 0,7446-0, ,4 0,0339 0,069 0, ,8 0,0339 0,36-0, , 0,6655 0,004 0, ,8 0,6655 0,36 0, , 0,0339 4,556 0, ,6 0,6655 0,43-0, , 0,6655,98-0, ,6 0,0339 0,43 0,0853 SOMA S 449 S 47,7 S3 59,704 S4 43,668 S5 33,49 Tabela 3. - Grupo de cotrole Sujeito X Y (X -,76)** (Y - 6,37)** (X -,76)*(Y - 6,37) 3 7,7,636,447, ,9,636 3,078, ,5 5,7,8575 3, ,7 5,7 0,369, ,8,636 0,4394 0, ,6 0,075 0,43 0, , 3,886 4,498 7, ,9 7,43 5,0046 6, , 0,075,98 0,94 0 6,6 0,568 0,43-0, ,,636,98, ,3,636,353, ,4 0,075 0,5433-0,0 4 7, 0,568 0,97-0, ,9 0,075,5304-0, ,8,9784,7878, ,7,9784,065, ,3 0,075 0,065 0, ,7,636,447, , 0,568 0,004 0, ,5,636,8575,7366 6, 0,075 0,004-0, ,5,9784 0,4059, ,6 0,568,367,56

9 5 7,6 0,075,40 0,40 6 5,9 0,075 0,056-0, ,,9784 0,878, ,6,636 0,43 0, ,3,9784 0,7007, , 0,568 0,878 0, , 7,43 3,753 5, ,6 5,7 0,43, ,3,9784,353 -, , 5,7 0,004 0, ,9 0,568 0,056 0,7 36 4,6 0,075,367-0, , 0,568 0,004 0, ,3 0,568 3,3749, ,6 0,075 0,43 0, , 0,703 4,556 6, ,6 0,075 0,43 0, ,6,9784 0,885 0, ,5,636 0,37 0, ,8,636 0,4394 0, ,3 7,43 0,7007, ,9 0,075 0,58 0, ,8,636 0,4394 0, ,3 0,075 0,7007-0, ,6,9784,367, ,,9784 4,498 3, ,636 0,7446, ,4 5,7 0,069 0, ,5 0,568 0,4059 0, , 0,075 0,004 0, , 5,7 4,556 4, , 0,568 4,498, , 7,43 3,753 5, ,6 5,7 6,0659 5, ,9,636 3,078, ,636 0,088-0, ,7,9784 0,9 0, ,,9784 0,004-0,086 SOMA S 77 S 380,5 S3 5,3395 S4 88,545 S5 86,3304 A seguir é apresetada, passo a passo, a comparação etre as médias dos grupos através da ANOVA. Primeiro passo álculo da média de X e de Y o grupo total (grupo costituído pela uião do grupo experimetal e grupo de cotrole) e os grupos experimetal e de cotrole.

10 S+ S Média de X o grupo total: X T, S 449 Média de X o grupo experimetal: X,85 38 S 77 Média de X o grupo cotrole: X,76 6 S 47,7 Média de Y o grupo experimetal: Y 6, S 380,5 Média de Y o grupo cotrole: Y 6, 37 6 Segudo passo álculo da declividade da reta de regressão de Y cotra X itragrupos. S5 + S5 33, ,3304 b S3 + S3 59, ,3395 0,5648 Terceiro passo álculo da média ajustada de Y em relação a X os dois grupos. Média ajustada o grupo experimetal: Aj Y Y b. X X T 6,58 0,5648.,85,76 ( ) ( ) ( ) 6,487 Média ajustada o grupo cotrole: Aj Y Y b. X X T 6,37 0,5648.,76,76 ( ) ( ) ( ) 6,8 Observa-se que as médias ajustadas pouco diferem das médias sem ajuste. Tal ocorre porque a difereça em X os dois grupos é muito pequea. Quato mais discrepates forem as médias em X (e quato maior for a declividade da reta de regrssão de Y cotra X), tato maior será a difereça etre as médias de Y sem e com ajuste. Quarto passo álculo da variâcia ajustada de Y itra-grupos (isto é, variâcia de Y caso ão houvesse difereça etre os idivíduos em X). Variâcia ajustada de Y itra-grupos:

11 Aj ( var Y ) Itra grupos S4 + S4 + b.(s5+ 3 S5) Aj 43, ,545 0,5648.(33, ,3304) ( var Y ) 0,6656 Itra grupos 97 Observa-se uma importate redução a variâcia ajustada - 0, em relação à variâcia sem ajuste -,349. Quado são feitas medidas ateriores ao experimeto, espera-se que estas sejam relevates em relação a variável afetada pelos tratametos que os dois grupos sofrerão. m outras palavras, espera-se que exista correlação etre as medidas ateriores e posteriores ao experimeto. Por esta razão é que se deve proceder a ANOVA, mesmo que ão haja difereças em média etre os dois grupos o iício. Quito passo álculo da estatística t de Studet e determiação do ível de sigificâcia estatística para a difereça etre as médias ajustadas de Y. O último passo é o cálculo da razão t de Studet (difereça padroizada etre as médias ajustadas) através da qual pode-se decidir sobre a sigificâcia estatística para a difereça etre as médias. t Aj Aj( Y ) Aj( Y ) ( ) ( X X ) var Y. + + Itra grupos S3 + S3 t 0, ,487 6,8 6 + (,85,76 ) 59,704 5,3395 +,9 O úmero de graus de liberdade para esta comparação é o deomiador da expressão para a variâcia ajustada (vide o quarto passo), portato g.l. 97. Pela tabela do Aexo coclui-se que a difereça etre as duas médias é sigificativa em ível iferior a 0,05. Ou seja, a probabilidade de que uma difereça tão grade ou maior do essa seja obtida por acaso é meor do que 5%; portato, rejeita-se a hipótese ula já que a probabilidade de ela ser verdadeira é muito baixa. S4 + S4 43, ,545 - Variâcia de Y sem ajuste: var YItra grupos,

12 OBSRVAÇÕS FINAIS: - A ANOVA pode ser geeralizada para mais de uma covariável, para mais de dois grupos e para regressão ão-liear da variável Y cotra as covariáveis. Os pacotes estatísticos, como por exemplo o SPSS, facilmete permitem tratar dados multivariados com essas características. - Ao aplicar a ANOVA aos dados da tabela. pois tal procedimeto é uma alterativa à aálise de gahos - ecotra-se que as médias ajustadas o pós-teste são respectivamete para o grupo experimetal e cotrole 4,7 acertos e 8, acertos. Ou seja, a difereça etre o grupo experimetal e de cotrole é 6,6 acertos. ste resultado é um pouco maior do que a difereça etre os gahos os dois grupos (6,0) mas qualitativamete cosistete com o fato de que os aluos do grupo experimetal tem um aumeto expressivo de 6 ou mais acertos em um teste ode o úmero máximo perfaz 9 acertos. A razão t de Studet para a difereça etre as médias ajustadas resulta em 7,8, igualmete maior do que razão t de Studet para a difereça etre gahos pois esta resultou em 6,7. A ANOVA é, do poto de vista teórico, um procedimeto mais poderoso do que a aálise de gahos. O poder maior da ANOVA sobre a aálise de gahos sigifica que a ANOVA tem maior capacidade de rejeitar a hipótese ula (caso efetivamete haja difereça etre os grupos) do que a aálise de gahos. tretato como este exemplo já demostrou, usualmete a difereça etre os dois procedimetos é pequea. As grades vatages da ANOVA ecotram-se explicitadas o quesito destas cosiderações fiais.

13 ANXO Valores críticos da razão t de Studet g.l. s 0,0 s 0,05 s 0,0 6,3,7 63,66,9 4,30 9,9 3,35 3,8 5,84 4,3,78 4,60 5,0,57 4,03 6,94,45 3,7 7,89,36 3,50 8,86,3 3,36 9,83,6 3,5 0,8,3 3,7,80, 3,,78,8 3,05 3,77,6 3,0 4,76,4,98 5,75,3,95 6,75,,9 7,74,,90 8,73,0,88 9,73,09,86 0,7,09,85,7,08,83,7,07,8 3,7,07,8 4,7,06,80 5,7,06,79 6,7,06,78 7,70,05,77 8,70,05,76 9,70,05,76 30,70,04,75 35,69,03,7 40,68,0,70 50,68,0,68 60,67,00,66 70,67,99,65 00,66,98,63,65,96,58