Stela Adami Vayego DEST/UFPR

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1 Resumo 3 Resumo dos dados uméricos por meio de úmeros 1. Medidas de Tedêcia Cetral A tedêcia cetral da distribuição de freqüêcias de uma variável em um cojuto de dados é caracterizada pelo valor típico dessa variável. Essa é uma maeira de resumir a iformação cotida os dados, pois escolheremos um valor para represetar todos os outros Média Aritmética Simples ( X ) A média aritmética, ou simplesmete média, é, sem dúvida, a medida de posição mais utilizada. O símbolo (mi) é usado para deotar a média de uma população e X (x barra) para deotar a média de uma amostra. Idepedete de se estar trabalhado com uma população ou uma amostra, a média de um cojuto qualquer de dados é defiida como sedo a soma de todos os valores observados, dividida pelo úmero total de observações. Notação: ode x i é o i-ésimo valor observado da variável em estudo; é o úmero total de observações da amostra; N é o úmero total de observações da população. X = x i i= 1, Obs: Raramete se calcula uma vez que, a maioria das vezes apeas os dados da amostra são cohecidos. Desde modo, desejado cohecer o valor de, calcula-se o valor de X e o usa como uma aproximação, ou estimativa, de. Exemplo 1: Sejam os pesos ao ascer, em Kg, de 10 cordeiros da raça Corriedale: 3,2 3,2 2,8 2,1 2,9 3,1 3,2 3,0 3,5 4,0 O peso médio é de 3,1 Kg. Importate: Nem sempre a média é o valor da variável que ocorre com maior freqüêcia e, ão é, ecessariamete, o poto cetral da distribuição (poto que divide as observações exatamete a metade). A média pode ser tomada como o cetro de gravidade, isto é, o poto de qualquer distribuição em toro do qual se equilibram as discrepâcias (resíduos, afastameto ou desvios) positivas e egativas. Vatages e desvatages da média 1. É uma medida de tedêcia cetral que, por uiformizar os valores de um cojuto de dados, ão represeta bem os cojutos que revelam tedêcias extremas.

2 2. Não ecessariamete tem existêcia real, isto é, em sempre é um valor que faça parte do cojuto de dados, para bem represetá-lo, embora perteça obrigatoriamete ao itervalo etre o maior e o meor valor. 3. É facilmete calculada. 4. Serve para compararmos cojutos semelhates Mediaa (Md ou X ~ ) A mediaa de um cojuto de dados ordeados, é o termo do cojuto que o divide em duas partes iguais, isto é, divide o cojuto em dois subcojutos com o mesmo úmero de elemetos tais que a cada um deles pertecem todos os elemetos meores ou todos os elemetos maiores que a mediaa. - é ímpar. Med = valor da variável que ocupa a posição é par. Med = média etre os valores da variável que ocupam as posições 2 e Exemplo 2: Sejam os pesos ao ascer, em Kg, de 10 cordeiros da raça Corriedale: 2,1 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,2 3,2 3,5 4,0 O peso mediao é de 3,15 Kg. Nota: Não é iflueciada por valores extremos (é uma medida robusta) Vatages e Desvatages da Mediaa 1) Não depede de todos os valores do cojuto de dados, podedo mesmo ão se alterar com a modificação. Observe, por exemplo, que os cojutos C e D abaixo possuem o mesmo valor mediao (Md = 16), embora sejam bem diferetes. Cojuto C : 10, 13, 15, 16, 18, 20 e 21. Cojuto D : 1, 10, 13, 16, 18, 20 e 68. 2) Não é iflueciada por valores extremos (grades) do cojuto de dados. O valor mediao (38) dos cojutos E e F abaixo ão foi iflueciado pelos valores grades (95 e 120) do cojuto F, o que ão acotece com a média. Cojuto E : 29, 31, 33, 34, 38, 42, 45, 50 e 51. Cojuto F : 29, 31, 33, 34, 38, 42, 45, 95 e ) Quado há valores repetidos, a iterpretação do valor mediao ão é tão simples. Admitido como resultado da aplicação de um teste a um cojuto de aluos, as seguites otas: 2, 2, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 5, 8, 8, 5, o valor mediao seria a ota 5 e, o etato, só existem 2 otas meores e 4 maiores do que 5. Esta desvatagem, uida ao fato da iadequacidade da sua expressão para o maejo matemático, faz com que, em aálises estatísticas, a mediaa seja meos utilizada do que a média Moda (Mo ou X ) Moda de um cojuto de observações é defiida como sedo o valor que ocorre com maior freqüêcia.

3 De acordo com o comportameto das observações, pode-se ter: Cojuto amodal: ão existe moda, pois todos os valores do cojuto ocorrem com a mesma freqüêcia. Por exemplo, o cojuto 2, 2, 3, 3, 4, 4, 7, 7, 5 e 5, todos os elemetos têm a mesma freqüêcia (2). Cojuto modal (ou uimodal): existe uma úica moda. Por exemplo, a moda do cojuto 3, 4, 4, 8, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 9, 4, 3 e 6, é Mo = 4. Cojuto bimodal: existem duas modas. Por exemplo, o cojuto 3, 5, 5, 5, 5, 10, 10, 10, 10 e 15, é bimodal, pois possui duas modas, Mo = 5 e Mo = 10. Cojuto multimodal: existem mais de duas modas. Por exemplo, o cojuto 2, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 8, 9 e 10, é multimodal, pois possui três modas, Mo = 2, Mo = 5 e Mo = 8.. Exemplo 3: Sejam os pesos ao ascer, em Kg, de 10 cordeiros da raça Corriedale: 2,1 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,2 3,2 3,5 4,0 A moda é o peso de 3,2 Kg. (uimodal) Vatages e Desvatages da Moda 1) Não depede de todos os valores da série, em de sua ordeação, podedo mesmo ão se alterar com a modificação de algus deles. Como exemplo, observe as séries A e B. Série A: 6, 1, 7, 7, 7, 15, 7, 5, 8, 12, 7, 11. Série B: 11, 7, 7, 12, 5, 5, 56, 7, 7, 58, 60, 7, 15. As séries A e B possuem a mesma moda (Mo = 7), embora sejam bem diferetes. 2) Não é iflueciada por valores extremos (grades) da série. Observe, por exemplo, que a moda (Mo = 12) da série abaixo ão foi iflueciada pelos valores grades ( 88, 89 e 100) da série: Série: 7, 8, 8, 8, 9, 9, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 15, 16, 88, 89 e ) Sempre tem existêcia real, ou seja, sempre é represetada por um elemeto do cojuto de dados, excetuado o caso de classes de freqüêcias, quado trabalhamos com subcojutos (dados agrupados) e ão com cada elemeto isoladamete. Veja, por exemplo, que a moda da série abaixo é Mo = 15, e 15 é um elemeto da série. Série: 7, 9, 13, 13, 15, 15, 15, 15, 18 e A forma da distribuição de freqüêcias e as medidas de tedêcia cetral A distribuição de freqüêcia da população é um coceito muito importate. Na realidade, raramete se cohece a forma exata da distribuição da população que se deseja estudar. Em geral, se tem apeas uma amostra da população e a partir do histograma (ou polígoo de freqüêcia) dessa amostra é que se obtém alguma idéia sobre a forma da distribuição de freqüêcia da população. As medidas de assimetria procuram caracterizar como e quato a distribuição de freqüêcias se afasta da codição de simetria. Veja a Figura 1.

4 Figura 1 - Distribuição de freqüêcias simétrica, assimétrica positiva e assimétrica egativa. Importate: Quado realizamos um estudo descritivo, é muito improvável que a distribuição de freqüêcias seja totalmete simétrica. Na prática, diremos que a distribuição de freqüêcias é simétrica, caso o seja de um modo aproximado. Por outro lado, aida observado cuidadosamete o gráfico, podemos ão ver claramete de que lado estão as freqüêcias mais altas. Defie-se, etão, toda uma família de estatísticas que ajudam a iterpretar a assimetria, deomiadas ídices de assimetria Mometo cetral de terceira ordem Deomia-se mometo cetral de terceira ordem a quatidade: m 3 = 1 x i X 3 Se m 3 0, a distribuição é assimétrica positiva (à direita). Se m 3 0, a distribuição é assimétrica egativa (à esquerda). Se m 3 =0, a distribuição é simétrica Ídice de assimetria de Pearso Deste modo, s Se I A =0 a distribuição é simétrica. I A = X Mo S ou I A =3 X Med S, Se I A 0 a distribuição é assimétrica positiva (à direita).

5 Se I A 0 a distribuição é assimétrica egativa(à esquerda). 3. Outras Medidas de Posição 3.1. Percetis, Quartis e Decis Dados que produzem histogramas simétricos são adequadamete descritos e sitetizados pela média e o desvio-padrão. Isso ão ocorre em distribuições assimétricas. Quado dizemos que certo aluo está etre os 5% melhores do colégio ou que um país está etre os 10% mais pobres, ão precisamos em saber quatos aluos tem o colégio ou em quatos países estão sedo cosideradas as redas. Aqui já houve uma padroização da posição usado-se a porcetagem de aluos ou países com desempeho ou reda abaixo do valor cosiderado. É este raciocíio que defie os percetis. Defiição: O percetil de ordem k (ode k é qualquer valor etre 0 e 100), deotado por Pk, é o valor tal que k% dos valores do cojuto de dados são meores ou iguais a ele. Assim, o percetil de ordem 10, o P10, é o valor da variável tal que 10% dos valores são meores ou iguais a ele; o percetil de ordem 65 deixa 65% dos dados meores ou iguais a ele, etc. Os percetis de ordem 10, 20, 30,..., 90 dividem o cojuto de dados em dez partes com mesmo úmero de observações e são chamados de decis. Os percetis de ordem 25, 50 e 75 dividem o cojuto de dados em quatro partes com o mesmo úmero de observações. Existem vários processos para calcular os percetis, usado iterpolação. Vamos utilizar um método mais simples. As difereças serão muito pequeas e desaparecerão à medida que aumeta o úmero de dados. De modo geral, para se obter o percetil de ordem k, deotado por Pk, após ordear os dados, calcula-se k o valor L= 100. Se L for iteiro, o valor do Pk é a média etre o L-ésimo e o (L+1)-ésimo valores a cotar do meor. Se L ão for iteiro, arredode L para o maior iteiro mais próximo, e o valor de Pk será o L-ésimo valor a cotar do meor. Exemplo 4: Cosidere os pesos, em Kg, de 40 borregas e ovelhas da raça Hampshire Dow, já colocados em ordem crescete: Percetil de ordem 10: 10% de 40 = 4. Etão o P10 = média(4o e 5o valores)=(42+44)/2 = 43. Percetil de ordem 95: 95% de 40 = 38. Etão o P95 = média(38o e 39o valores)=(95+97)/2 = 96. Primeiro Quartil: 25% de 40 = 10. Etão o Q1 = média(10o e 11o valores)=(49+51)/2 = 50. Terceiro Quartil: 75% de 40 = 30. Etão o Q3 = média(30o e 31o valores)=(86+86)/2 = 86. Mediaa: 50% de 40 = 20. Etão mediaa = média(20o e 21o valores)=(66+67)/2 = 66,5. 4. Estatísticas de achatameto

6 Podemos ter iteresse em saber se a distribuição dos dados é mais ou meos achatada (comprida e estreita). Esse achatameto é medido em comparação com uma certa distribuição de freqüêcias que cosideraremos NORMAL (ão por casualidade, é esse o ome que recebe a distribuição de referêcia) Coeficiete de achatameto de Fisher (Curtose) Defie-se o coeficiete de achatameto de Fisher (Curtose) como: 2 = m 4 s 4 3, em que, m 4 é o mometo cetral de quarta ordem dado por m 4 = 1 x i x 4. é um coeficiete adimesioal, ivariate perate trocas de escala e de origem; serve para medir se uma distribuição de frequêcias é muito achatada ou ão. Para afirmar que a distribuição é comprida ou estreita, deve-se ter um padrão de referêcia, que é a distribuição NORMAL ou GAUSSIANA, para a qual se tem: m 4 s 4 =3 2 =0 Desse modo, de acordo com 2 classificam-se as distribuição de frequêcias em: Leptocúrtica: quado 2 0, ou seja, quado a distribuição de frequêcias é mais achatada que o ormal; Mesocúrtica: quado, 2 =0 ou seja, quado a distribuição de frequêcias é tão achatada quato o ormal; Platicúrtica: quado 2 0, ou seja, quado a distribuição de frequêcias é meos achatada que o ormal. 5. Resumo dos 5-Números O resumo de 5-úmeros associa os limites iferior e superior do cojuto de dados aos quartis, forecedo uma idéia bastate razoável da dispersão, da tedêcia cetral e da forma da distribuição, isto é, do grau de deformação. Título Med Q 1 l Q 3 L 5.1. Box-Plot : É uma represetação gráfica dos dados através de seu resumo de 5-úmeros. O Boxplot forece iformações importates sobre o comportameto dos dados, como a simetria e variabilidade, e auxilia a detecção de outliers. Para sua costrução é ecessário ter: O primeiro quartil (Q1) A mediaa (Med)

7 O terceiro quartil (Q3) O desvio iterquartílico (DQ = Q3 Q1)