A letra x representa números reais, portanto

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1 Aula 0 FUNÇÕES UFPA, 8 de março de 05 No ial desta aula, você seja capaz de: Saber dizer o domíio e a imagem das uções esseciais particularmete esta aula as uções potêcias; Fazer o esboço de gráico da ução atribuido algus valores para ; Cuidado com os valores etre - e ; Recohecer, através do gráico, a ução que ele represeta; Obter outras uções a partir das uções esseciais. Caro aluo, aça uma boa leitura das págias do Capítulo do livro teto James Stewart. Você vai ecotrar dieretes maeiras de represetar uma ução (as otas de Aula usaremos a represetação mais usada em Cálculo: represetação algébrica) e apresetação de uções esseciais (esseciais por que é o míimo que você deve saber para cohecer outras uções). A partir de uções cohecidas, você pode obter outras deslocado-a em relação a eio dos ou eio dos y ou aida usado combiação liear das uções esseciais. Não esqueça de cosultar também outros livros de Cálculo I. Fuções e Modelos (Capítulo - pág 0-7). Ates de deiir ução, é bom você lembrar que: A letra represeta úmeros reais, portato R. Ao estudar o, sempre deve se preocupar se este represeta os úmeros egativos, ou zero ou úmeros positivos. Simbolicamete se eles podem ser y. R, ou 0, ou 0, ou 0. Se tiver dois úmeros reais e y y iguais, seão, um é maior (meor) que outro isto é ou y ou As primeiras letras do alabeto a, b, c, d represetam úmeros reais costates (valores costates). As últimas letras do alabeto, y, z e a letra t são usadas para represetar as variáveis reais idepedetes. Geralmete, y, z são usadas para represetar as variáveis espaciais medidas em milímetro, cetímetro, metro, quilometro etc. depededo da uidade 6

2 do problema, e a letra t para variável temporal (tempo) medidos em segudo, hora, dia, semaa, mês, ao etc. As letras i, j, k, l, m, são usadas para represetar úmeros iteiros. As letras, h,, h, u, v, w para represetar as uções. Também usamos as letras gregas,,,,,,,,, para represetar costates, variáveis e uções. Deiição (Fuções) Uma ução é uma lei que associa, a cada elemeto em um cojuto E R. D R, eatamete um elemeto, chamado (deotado), em um cojuto Os cojutos D e E são subcojuto dos úmeros reais. O cojuto D é chamado domíio da ução. O úmero é o cojuto E de todos os valores possíveis de domíio D. O elemeto é o valor de em que se lê: de. A imagem de obtido quado varia por todo D é deomiado variável idepedete, e o elemeto E é deomiado uma variável depedete. Simbolicamete: : D Para visualizar uma ução traçamos seu gráico que cosiste em todos pares ordeados, y o plao cartesiao y tais que y, para D. Em termos de cojuto: gra, y / y, D O E gra os orece uma imagem do comportameto ou histórico ou variação da ução. A coordeada y de qualquer poto de modo que o plao, y sobre o gráico é y, y represeta a altura do poto em relação ao eio dos. O gra também os permite visualizar o domíio de sobre o eio e a imagem o eio y. Estude os eemplos, e das págias e. Se, para dois valores distitos e um itervalo I o eio dos tal que tiverem suas images e sedo o eio dos y, a ução é dita ução crescete o I. É deomiada ução decrescete em I, se para tiverem images o I.. Na igura abaio a ução é crescete o itervalo I e decrescete 7

3 OBSERVAÇÃO : Quado estudar limites e derivadas você terá codições de azer o esboço detalhado da ução determiado poto(s) críticos (máimo/míimo local), o(s) itervalo(s) de crescimeto/decrescimeto, o(s) poto(s) de ileão(ões) (poto(s) ode muda a cocavidade), cocavidade para cima/baio, limites iiitos, limites o iiito. Aqui aremos o esboço da ução atribuido algus valores para a calculado y e traçamos o gráico esses potos, y. O gráico da ução quado corta ou passa ou toca o eio dos o valor da imagem esse poto é igual a zero. Os valores de tal que 0 é chamado zero da ução. Não é óbvio achar esses zeros mas para o esboço do gráico da ução, quado você tiver estudos do comportameto cosegue localizá-lo aproimadamete. Você a disciplia Cálculo Numérico aprederá os métodos para achalos. FUNÇÕES ESSENCIAIS As uções que o aluo deve cohecer são: (I) Fução liear. O domíio e imagem da ução liear são D E R pois qualquer valor dado ao, sempre tem um valor associado a y. O gráico da ução liear é uma reta. A epressão algébrica da reta é: m b,, m 0. y () 8

4 Ode m é o coeiciete agular (icliação) da reta e b é o valor de y ode a reta itercepta o eio dos y chamado coeiciete liear da reta. Como m e b são úmeros reais, podem ser zero, positivo ou egativo. () Como m 0, se 0 b a reta () se reduz a y m e passa a origem,0 (a) Se m 0, o valor de y cresce quado valor de aumeta (reta crescete). (b) Se m 0, o valor de y dimiui quado valor de aumete (reta decrescete). () Se 0 b a reta y m b itercepta o eio dos y em y b. 0. Se b 0 a iterseção da reta com eio dos y ocorre acima do eio dos, caso cotrário a iterseção ocorre abaio do eio dos. Veja igura Quado m 0 em () temos a reta paralela ao eio dos. Nesse caso, a ução é chamada de: (II) Fução costate. É a ução que para qualquer valor de a sua imagem é um úmero real b costate (que ão varia). y b, () Domíio da ução costate é pelo elemeto b mostrada a Figura abaio. D R porém a imagem é cojuto uitário ormado 9

5 Eemplo. Eemplo. Temos R D e E (III) Fuções potêcias. É ução cuja base da potêcia é a variável e epoete iteiro., Z,. () Eemplo. Quado temos:. () 0

6 Esta ução é chamada ução idetidade. Caso particular da ução liear () ode m e b 0. A ução idetidade Eemplo. Quado temos tem E R, D.. (5) Esta ução é chamada ução quadrática. Como o quadrado de qualquer úmero é sempre positivo ou zero, isto é, 0 Eemplo. Quado temos, temos D R, e R 0, Esta ução é chamada ução cúbica. Observe que E.. (6). Como 0, o sial de, só depede do sial de, desta orma temos E R, Eemplo 5. Quado temos Como 0 D.. (7) tem comportameto semelhate da ução Faça estudo ode e eemplos a 5.,,.. Veja a igura 5 abaio os gráicos dos Figura 5. Fuções potêcias para,, e.

7 OBSERVAÇÃO. Na igura 5 podemos observar que, para valores de etre - e a imagem das uções potêcias têm comportameto dierete para e eemplo, temos para,. Por e, para e temos e ialmete para 0 e para temos. Você pode obter esses resultados resolvedo a equação do segudo grau e azer o estudo de sial coorme pág. 9 da Aula. Dois úmeros ou eles são iguais ou dieretes quado isto acotece, um deles é maior que outro (ou um deles é meor que outro). O que você diz para os epoetes iteiros egativos? Veja a igura 7 e tire suas coclusões. Vamos estudar para egativo. Vejamos o caso (o gráico dessa ução é uma hipérbole com uma icliação de 5º em relação ao eio dos ). (8) Observe que a variável é o deomiador, logo dever ser 0, pois ão tem divisão por zero de um úmero dierete de zero (Aula pág ). Atribuido algus valores para, iclusive próimo de zero ates e depois, o gráico de é uma hipérbole cujos ramos são simétricos em relação à origem. Temos E R R 0, 00, D.

8 Eemplo 6. Caso e e. para todos pares egativos, temos D R, 00, e R 0, E. e. (9) Eemplo 7. Quado e 5 e para todos ímpares egativos temos, 0 0 D E R,. São as uções: e 5. (0) Os gráicos para egativos dos eemplos 6 e 7 são mostrados também a igura 8 abaio. Fuções potêcias para epoete racioal do tipo, Z.., Z ()

9 (i) Caso 0 para úmero par. Por Eemplo 8: Para temos a ução raiz quadrada () Como é uma raiz quadrada, o radicado ão é úmero egativo. Assim seu domíio é D 0, e, ão é diícil ver que a sua imagem também é 0, E. Veja igura 8. (ii) Caso 0 para úmero ímpar. Por Eemplo 9: Para temos a ução raiz cúbica: () A igualdade y sigiica que y, R de modo que D E R. Veja os gráicos da igura 8. A ução comportameto das uções poteciais. Tire suas coclusões. oi colocada para comparar a diereça do (iii) Caso 0 para úmero iteiro egativo par ou ímpar. A potêcia do epoete egativo é o iverso da potêcia de epoete positivo veja os eemplos 0 e. Eemplo 0: Para Eemplo : Para temos temos o iverso da ução raiz quadrada com D E 0, (). (5) Nesse caso E R,0 0, D.

10 Figura 8. Gráico das uções ; ; ; ; e. Façam os eercícios correspodetes ao coteúdo desta aula. Dúvidas, ão guarde com você. Lembre-se que eiste uma equipe de proessores e moitores para lhe ajudar. Até a próima Aula 5