Método dos Mínimos Quadrados. Julia Sawaki Tanaka
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- João Vítor Brezinski de Carvalho
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1 Método dos Míimos Quadrados Julia Sawaki Taaka
2 Diagrama de Dispersão
3 iterpolação ajuste ou aproximação
4 O Método dos Míimos Quadrados é um método de aproximação de fuções. É utilizado quado: Cohecemos potos discretos de uma fução f. Cohecemos a forma aalítica de uma fução f. Desejamos aproximar a fução f por uma fução g.
5 r ( x)= f ( x) g ( x) x r ( x) f(x) g(x) r (x) x x r 2 ( x)
6 O problema é escolher adequadamete a família de fuções aproximadoras. Para isso, ormalmete faz-se a observação do comportameto dos potos o diagrama de dispersão para ver a forma geral dos potos ou etão deve-se basear em fudametos teóricos do experimeto.
7 Apresetaremos o Método dos Míimos Quadrados começado pelo caso particular de ajuste de uma reta a uma tabela de potos (Regressão Liear) e depois geeralizaremos o raciocíio para aproximar uma fução f por uma g da família G de fuções que são combiações lieares de fuções cohecidas, g k, k=0,1,2,...,m. m g ( x)= k=0 a k g k ( x)
8 Regressão Liear O objetivo agora é aproximar uma fução f tabelada os potos,,2,...,, 2, por uma fução g da família a 0 + a 1 x, pelo Método dos Míimos Quadrados. Isto sigifica determiar os parâmetros a 0 e a 1 da reta a 0 + a 1 x de modo que a soma dos quadrados dos resíduos os potos dados, seja míima. O resíduo em cada poto (, f ( )) é dado por: r ( )= f ( ) g ( )
9 g ( x)=a 0 +a 1 x i f ( ) 1 2 2,5 4 E (a 0,a 1 ) = (r ( )) 2 = ( f ( ) g ( )) 2 g ( )=a 0 +a 1
10 2 E (a 0,a 1 ) = E (a 0, a 1 ) a 0 =0 ( f ( ) g ( )) 2 = ( f ( ) a 0 a 1 )( 1) = 0 2 f ( )+ a 0 + a 1 = 0 g ( )=a 0 +a 1 ( f ( ) a 0 a 1 ) 2 E (a 0, a 1 ) a 1 =0 ( f ( ) a 0 a 1 )( ) = 0 f ( )+ a 0 + a 1 2 = 0 a 0 + a 1 = f ( ) a 0 + a 1 x 2 i = f ( ) a 0 1+ a 1 = f ( ) a 0 + a 1 x 2 i = f ( )
11 a 0 a a 1 + a 1 2 = = f ( ) f ( ) Equações Normais [ 1 2] x [a i 0 a 1] = [ f ( )] ) f ( Sistema Normal Este Sistema tem determiate positivo, portato sempre tem solução.
12 Equações Normais a 0 a a 1 + a 1 2 = = f ( ) f ( ) Eq.1 Eq.2 Eq.1 2 a 0 1 x 2 i + a 1 2 = f ( ) 2 Eq.3 Eq.2 a 0 a 1 2 = f ( ) Eq.4 Eq.3 + Eq.4 a 0 1 x 2 i a 0 = f ( ) x 2 i f ( ) a 0 ( 2 ( i)2) x = f ( ) 2 f ( )
13 a 0 = f ( ) 2 2 ( )2 f ( ) a 0 1 x 2 i + a 1 2 = f ( ) 2 Eq.3 a 1 = f ( ) 2 ( )2 f ( )
14 ( a 0, a 1 ) é um poto de míimo de E ( a 0, a 1 ) se o seu Hessiao 2 E (a 0, a 1 ) é uma forma defiida positiva. 2 E ( a 0, a 1 ) = 2 E ( a 0, a 1 ) a 2 =[ 2 E ( a 0, a 1 ) 2 E ( a 0, a 1 ) 2 a 0 a 1 a 0 ] 2 E ( a 0, a 1 ) 2 E ( a 0, a 1 ) 2 a 0 a 1 a 1
15 Exemplo de Regressão Liear Como resultado de algum experimeto, supoha que tehamos obtido os seguites valores para a fução f : i f ( ) 1 2 2,5 4
16 i f ( ) 1 2 2,5 4 g ( x)=a 0 + a 1 x a 0 = f ( ) 2 2 ( )2 f ( ) a 1 = f ( ) 2 ( )2 f ( )
17 a 0 = 0 e a 1 = 0,475 g ( x) = 0,475 x i f ( ) 1 2 2,5 4 g ( ) 0,95 1,9 2,85 3,8
18 Método dos Míimos Quadrados Caso Geral Apresetaremos agora a aproximação de uma fução f por uma fução g da família G: m k=0 a k g k ( x) = a 0 g 0 (x) + a 1 g 1 (x) + + a m g m ( x) liear os parâmetros, pelo Método dos Míimos Quadrados. A escolha das fuções g k deve ser feita baseada tato o comportameto da fução f quato as propriedades desejadas para a fução aproximadora.
19 Podemos dividir os problemas de aproximação de uma fução em dois casos distitos: quado a fução f é tabelada, ou seja, o domíio da fução que se quer aproximar é discreto; quado a forma aalítica da fução f é cohecida, ou seja, o domíio de f é cotíuo.
20 Domíio Discreto Para aproximar uma fução f tabelada em potos distitos x 1, x 2, x 3,...,x, por uma fução g da forma: m g (x) = k=0 a k g k (x) = a 0 g 0 (x) + a 1 g 1 (x) + + a m g m (x) precisamos determiar a 0, a 1,..., a m que miimizam a soma dos quadrados dos resíduos os potos x 1, x 2, x 3,...,x. E (a 0,a 1,..., a m ) = (r ( )) 2 = ( f ( ) g ( )) 2
21 E (a 0,a 1,..., a m ) = (r ( )) 2 = ( f ( ) g ( )) 2 = = ( f ( ) a 0 g 0 ( ) a 1 g 1 ( ) a m g m ( )) 2 E(a 0,..., a m ) a 0 E(a 0,..., a m ) a 1 E (a 0,..., a m ) a m = 2 = 2 = 2 ( f ( ) a 0 g 0 ( ) a m g m ( ))( g 0 ( )) = 0 ( f ( ) a 0 g 0 ( ) a m g m ( ))( g 1 ( )) = 0 ( f ( ) a 0 g 0 ( ) a m g m ( ))( g m ( )) = 0 E(a 0,..., a m ) a s = 2 ( f ( ) a 0 g 0 ( ) a m g m ( ))( g s ( )) = 0 0 s m
22 2 ( f ( ) a 0 g 0 ( ) a m g m ( ))( g s ( )) = 0 0 s m f ( )g s ( )+ a 0 g 0 ( ) g s ( )+ + a m g m ( ) g s ( ) = 0 a 0 g 0 ( )g s ( )+ + a m g m ( )g s ( ) = f ( )g s ( ) As Equações Normais para 0 s m são: a 0 g 0 ( ) g s ( )+ + a m g m ( ) g s ( ) = f ( ) g s ( )
23 Exemplo de um Caso Geral com Domíio Discreto Observado um sial o osciloscópio, verifica-se que ele correspode à superposição de dois efeitos, um oscilatório e outro crescete. Assim, vamos aproximá-lo por uma fução da família g(x) = a 0 x + a 1 cos(x). i f ( ) 1 2 2,5 4 Neste exemplo: =4 e m=1
24 g (x) = a 0 g 0 ( x) + a 1 g 1 (x) g ( x) = a 0 x+ a 1 cos(x) g 0 ( x) = x g 1 ( x) = cos( x)
25 a 0 g 0 ( ) g s ( )+ a 1 g 1 ( ) g s ( )+ + a m g m ( ) g s ( ) = f ( ) g s ( ) 0 s m Em particular, para = 4 e m = 1 temos: 4 a 0 4 g 0 ( ) g 0 ( )+ a 1 4 g 1 ( ) g 0 ( ) = f ( ) g 0 ( ) 4 a 0 4 g 0 ( ) g 1 ( )+ a 1 4 g 1 ( ) g 1 ( ) = f ( ) g 1 ( )
26 4 a 0 4 (g 0 ( )) 2 + a 1 4 g 1 ( ) g 0 ( ) = f ( ) g 0 ( ) 4 a 0 4 g 0 ( ) g 1 ( )+ a 1 4 ( g 1 ( )) 2 = f ( ) g 1 ( ) g 0 ( x) = x g 1 ( x) = cos( x) i f ( ) 1 2 2,5 4 g 0 ( ) g 1 ( ) -0,4161-0,6536 0,9602-0,1455
27 a 0 = 0,4778 e a 1 = 0,2945 g ( x) = 0,4778 x 0,2945cos( x) i f ( ) 1 2 2,5 4 g ( ) 1,0782 2,1038 2,5842 3,8654
28 Exemplo de Aproximação por uma Família de Fuções Não Lieares os Parâmetros Agora desejamos ajustar uma fução f por outra fução g de uma família ão liear os parâmetros. g ( x) = a 0 g 0 (x) + a 1 g 1 (x) + a 2 g 2 ( x) + A dificuldade, e em algus casos até mesmo a impossibilidade de resolver sistemas de equações ão lieares, os leva à liearização os parâmetros.
29 Vamos aproximar a fução f tabelada, por uma fução g ão liear os parâmetros, da família: g (x) = a e b x l(g(x)) = l(a e b x ) = l(a) + l(e b x ) = l(a) + b x l(g(x)) = a 0 + a 1 x ode a 0 = l(a) e a 1 = b a = e a 0 e b = a 1
30 i f ( ) 1 2 2,5 4 l ( f ( )) 0 0,6931 0,9163 1,3863 a 0 = f ( ) 2 2 ( )2 f ( ) a 1 = f ( ) 2 ( )2 f ( )
31 a 0 = 0,3466 e a 1 = 0,2191 g (x) = a e b x l(g(x)) = l(a) + b x = a 0 + a 1 x ode a 0 = l(a) e a 1 = b a 0 = l(a) e a 0 = a a = e 0,3466 a = 0,7071 b = 0,2191 g ( x) = 0,7071 e 0,2191 x
32 g (x) = 0,7071 e 0,2191 x i f ( ) 1 2 2,5 4 g ( ) 1,0959 1,6986 2,6327 4,0805
33 Agora, vamos aproximar a fução f tabelada, por uma fução g ão liear os parâmetros, da família: g (x) = a x b l(g(x)) = l(a x b ) = l(a) + l(x b ) = l(a) + b l( x) l(g(x)) = a 0 + a 1 l(x) ode a 0 = l(a) e a 1 = b a = e a 0 e b = a 1
34 g (x) = a x b l(g(x)) = a 0 + a 1 l(x) ode a 0 = l(a) e a 1 = b i l ( ) 0,6931 1,3863 1,7918 2,0794 f ( ) 1 2 2,5 4 l ( f ( )) 0 0,6931 0,9163 1,3863 a 0 = 0,6627 e a 1 = 0,9489 a 0 = l(a) a = e a 0 a = e 0,6627 a = 0,5155 b = 0,9489 g (x) = 0,5155 x 0,9489
35 Série de Taylor
36 Série de Potêcias Uma Série de Potêcias é uma série da forma: =0 c x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ode x é uma variável e c 's são costates chamadas de coeficietes da série. A forma geral de uma Série de Potêcias cetrada em x = a é: =0 c ( x a) = c 0 + c 1 (x a) + c 2 ( x a) 2 + c 3 (x a) 3 + A Série de Potêcias forece uma maeira de represetar, de forma poliomial, as fuções que aparecem a matemática, física e química.
37 Série de Taylor Seja f uma fução represetada por uma série de potêcias: f (x) = =0 c (x a) f ( x) = c 0 + c 1 (x a) + c 2 ( x a) 2 + c 3 ( x a) c (x a) + (1) Tomado x = a, obtemos: f (a) = c 0 + c 1 (a a) + c 2 (a a) c (a a) + f (a) = c 0 c 0 = f (a)
38 f (x) = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 ( x a) c (x a) + (1) Derivado a fução (1), obtemos: f ' (x) = c c 2 (x a) + 3 c 3 (x a) c ( x a) 1 + (2) Tomado x = a, obtemos: f ' (a) = c c 2 (a a) + 3 c 3 (a a) c (a a) 1 + f ' (a) = c 1 c 1 = f ' (a) 1!
39 f ' (x) = c c 2 (x a) + 3 c 3 ( x a) c 4 ( x a) c (x a) 1 + (2) Derivado a fução (2), obtemos: f ' ' ( x) = 2 c c 3 (x a) c 4 (x a) ( 1) c ( x a) 2 + (3) Tomado x = a, obtemos: f ' ' (a) = 2 c c 3 (a a) c 4 (a a) ( 1) c (a a) 2 + f ' ' (a) = 2c 2 c 2 = f ' ' (a) 2!
40 f ' ' ( x) = 2 c c 3 (x a) c 4 (x a) ( 1) c ( x a) 2 + (3) Derivado a fução (3), obtemos: f ' ' ' (x) = 2 3c c 4 ( x a) + + ( 2) ( 1) c (x a) 3 + Tomado x = a, obtemos: f ' ' ' (a) = 2 3c c 4 (a a) + + ( 2) ( 1) c (a a) 3 + f ' ' ' (a) = 2 3 c 3 c 3 = f ' ' ' (a) 3! No caso geral: c = f () (a)!
41 f (x) = =0 c (x a) Substituido o coeficiete c = f () (a)! a fução f acima, obtemos: f ( x) = =0 f () (a)! (x a) cohecida como Série de Taylor da fução f em x = a (ou ao redor de a ou cetrada em a). O caso especial quado a = 0 é deomiado Série de Maclauri. f (x) = f () (0) =0! x
42 f ( x) = =0 f () (a)! ( x a) f (x) = f (a) + f (1) (a) 1! (x a) + f (2) (a) 2! ( x a) f () (a)! (x a) + P 1 (x) = f (a) + P 2 (x) = f (a) + P (x) = f (a) + f (1) (a) 1! f (1) (a) 1! f (1) (a) 1! (x a) (x a) + f (2) (a) 2! (x a) + f (2) (a) 2! (x a) 2 (x a) f () (a)! (x a)
43 Vamos determiar os poliômios de Taylor para f (x) = se (x) em a = 0. Para = 1: Exemplo de Série de Taylor P 1 (x) = f (a) + f (1) (a) 1! (x a) Como a = 0: P 1 (x) = se(0)+ cos(0) 1 P 1 (x) = f (0) + f (1) (0) 1! x x P 1 (x) = x P 1 ( x) = x
44 Para = 2: P 2 (x) = f (a) + f (1) (a) 1! (x a) + f (2) (a) 2! ( x a) 2 Como a = 0: P 2 ( x) = f (0) + f (1) (0) 1! x + f (2) (0) 2! x 2 Como f (x) = se (x): P 2 (x) = se(0) + cos(0) 1 x se(0) 2 x 2 P 2 ( x) = 0+ 1 x 0 2 P 2 (x) = x
45 Para = 3: P 3 (x) = f (a) + f (1) (a) 1! Como a = 0: (x a) + f (2) (a) 2! (x a) 2 + f (3) (a) 3! (x a) 3 P 3 (x) = f (0) + f (1) (0) 1! Como f (x) = se (x): x + f (2) (0) 2! x 2 + f (3) (0) 3! x 3 P 3 (x) = se(0) + cos(0) 1 x se(0) 2 x 2 cos(0) 6 x 3 P 3 (x) = 0+ 1 x x3 P 3 ( x) = x x3 6
46 Para = 5: P 5 ( x) = f (0) + f (1) (0) 1! x + f (2) (0) 2! x 2 + f (3) (0) 3! x 3 + f (4) (0) 4! x 4 + f (5) (0) 5! x 5 P 5 ( x) = se(0) + cos(0) 1 x se(0) 2 x 2 cos(0) 6 x 3 + se(0) 24 x 4 + cos(0) 120 x5 P 5 ( x) = 0+ 1 x x x5 P 5 ( x) = x x3 6 + x5 120
47 Para = 7: P 7 ( x) = cos(0) 1! x cos(0) 3! x 3 + cos(0) 5! x 5 cos(0) 7! x 7 P 7 (x) = x 1 6 x x x7 P 7 (x) = x x3 6 + x5 120 x7 5040
48 Liearização por Expasão em Série de Taylor Para liearizar uma fução, podemos expadir a fução ão-liear em Série de Taylor em toro de um poto, desprezado-se todos os termos após a primeira derivada. f (x) f (a) + f (1) (a) 1! (x a) f (a) f ( a) + f ' ( a)(a a) ode a a = ε 0 f (a) f ( a) + f ' ( a)ε 0
49 Vamos liearizar a fução g (x) = a e b x expadido-a em Série de Taylor em toro de um poto a e desprezado todos os termos de ordem superior a 1. f (a) f ( a) + f ' ( a)(a a) h(a,b) = a e b x h(a,b) h( a, b) + h( a, b) a (a a) + h( a, b) b (b b) ode: a a = ε 0 e b b = ε 1 h(a,b) h( a, b) + h( a, b) a ε 0 + h( a, b) b ε 1
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