A exponencial. Praciano-Pereira, Tarcisio

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1 A expoecial Praciao-Pereira, Tarcisio 25 de jaeiro de 206 préprits da Sobral Matemática o Editor Tarcisio Praciao-Pereira Resumo Estou resolvedo, este artigo, a equação y = y, detalhadamete, e usado apeas o Cálculo como pré-requisito. Ates lembro como ela aparece o Cálculo associada ao logaritmo e como solução aproximada duma itegral que ão tem um cálculo formal. palavras chave: equação diferecial ordiária, série de potêcias, expoecial I am solvig i detail the differetial equatio y = y but usig oly Calculus as prerequisite. But to start with I recall how it comes up at Calculus associated to logarithm ad to a approximate solutio for a itegral whose formal calculus is ot possible. keywords: ordiary differetial equatio, power series, expoetial tarcisio@member.ams.org

2 Método alterativo de solução Vou resolver este artigo, detalhadamete, a equação diferecial y = y () que é comumete resolvida o Cálculo, idiretamete, como cosequêcia do Cálculo aproximado da itegral f(x) = log(x) = x dt t (2) Esta itegral é um dos mais boitos exemplos para mostrar que o Cálculo ão pode oferecer meios para calcular uma itegral qualquer abrido logo um mometo iicial a perspectiva de solução aproximada ao mesmo tempo que os ajuda a reescrever a história da Matemática discutido um istrumeto que esteve presete a vida dos calculistas desde a Idade Média até meados do século passado, o logaritmo, evoluido depois para ser um istrumeto de aálise fia e sem mais perspectiva de ser usado como meio de fazer cotas, embora o Esio Médio, com seu atraso folclórico, aida mecioe logaritmo com este objetivo. É relativamete fácil provar todas as propriedades do logaritmo com uma fução defiida pela equação (eq. 2) e que como tal é uma fução cotíua, derivável, defiida a semi reta positiva, estritamete. Como f (x) = > 0 etão f é crescete e logo iversível. Como o cojuto x dos valores do log é o cojuto dos úmeros reais etão a fução iversa está defiida a reta e tem como cojuto de valores a semi reta positiva. Chamado a fução iversa de E se catalogam suas propriedades, a partir das propriedades do logaritmo E(x+y) = E(x)E(y); (3) E(0) = ;E(x) > 0; (4) E( x) = E(x) (5) E se deduz o gráfico de E como rebatimeto do gráfico de log em toro da primeira bissetriz exatamete porque se trata dum par de fuções iversas. Este projeto cosome uma semaa de aulas do Cálculo com boas oportuidades para itroduzir métodos computacioais em aula, cofira [2], ou fazer um aprofudameto deles se já tiverem sido itroduzidos. Este é o método possivelmete iaugurado em forma didática por Courat e depois seguidos por algus poucos autores de Cálculo, cofira []. Na próxima seção vou seguir a trilha iversa, um certo setido, partido duma série de potêcias para resolver a equação diferecial y = y e provar que a solução satisfaz às propriedades descritas as equações (eq..3)- (eq..5).

3 2 Solução duma equação diferecial A fução expoecial é uma fução do tipo f(x) = Ke x ;K R; (6) é portato uma família de fuções a um parâmetro. Cotiua verdadeira a afirmação se x C iclusive todas as cotas feitas este artigo podem ser cosideradas como se x C apeas com modificações sigificativas do domíio e gráficos. A expressão a equação (eq. 6) é a solução da equação diferecial y = y (7) que pode ser facilmete obtida usado-se série de potêcia que é o objetivo aqui. Supodo que y = f(x) teha uma série de Taylor covergete uma certa região, o que vai ser cotrolado pelo raio de covergêcia, etão y = f(x) = a k x k ; (8) y = ka k x k = a k x k = y; (9) a + ka k x k = a 0 + a k x k ; (0) k=2 a + (k +)a k+ x k = a 0 + a k x k ; () a 0 a + (a k (k +)a k+ )x k 0; (2) a 0 a = 0;a 2a 2 = 0,...(a k (k +)a k+ ) = 0,...; (3) a = a 0,a 2 = a 2,...,k 2 a k+ = a k,dots k+ (4) a 0 = f(0);k a k+ = a k (k+) ; (5) Na última equação, (eq. 5) selecioei um valor possível para f(0) determiado assim todos os coeficietes da série de McLauri, iterativamete. Por exemplo, se f(0) = etão a 0 = f(0) = ;a = ;a 2 = 2 ;a 3 = 3! ;a = a = ; (6) e estas codições ρ =, a série de potêcias a equação (eq. 8), coverge uiformemete para qualquer úmero real e defie uma fução f(x) cujo domíio é a reta dos úmeros reais. A afirmação vale também para qualquer úmero complexo. Como o caso dos poliômios, f() é a soma dos coeficietes, é um dos limites otáveis, é valor da costate e, ++ 2! + 3! = e (7)

4 f(x) = xk ;f() = + ( lim (+ ) = e = lim ( e = lim = e; (8) ) ( k )( )k ; (9) ) ( k)! ( )k ; (20) e = lim ++ ( ) (2) ( )...( (k ) k ( ) ; (22) Na equação (eq. 9) se ecotra uma forma alterativa de calcular o úmero e, e, a última equação, (eq. 22), se tem uma sucessão de somas parciais do desevolvimeto da equação (eq. 9) cujos termos são meores do que mas cujo limite limite é a série umérica que forece o valor de e: e = (23) mostrado que o limitea equação (eq. 9), é uma forma alterativa do cálculo de e. A forma de demostrar a covergêcia destas séries é por comparação com as séries geométricas, ela é meor do qualquer série geométrica portato coverge e seu limite defie o úmero e, ou o caso da série de potêcias defie uma fução f(x) para qualquer úmero real x. Vou provar que f(x) = e x é uma solução possível. Calculado este limite usado a expressão equivalete f(a) = lim (+ a ) = lim (+ a ) ; (24) a > 0 lim (+ a ) = ( lim (+ a )a ) /a = e; (25) a Z ;a par a = 0 lim (+ a ) = = e 0 ; (26) lim (+ a ) = lim (+ a )a ) /a = e; (27) f(a) = lim (+ a ) = e a ; (28). A equação (eq. 24) vale porque é a imagem do limite por uma fução cotíua etão fução e limite comutam. 2. O mesmo argumeto da equação (eq. 24) se aplica à a equação (eq. 26) imagem por uma fução cotíua, que é a multiplicação pelo úmero a. O limite a equação (eq. 24) defie a fução expoecial para os reais positivos e iteiros egativos pares. Como a série é absolutamete covergete a expressão equivalete da equação (eq. 8) etão posso simplesmete expadir

5 a defiição da fução expoecial a qualquer úmero egativo, e portato, para todos os úmeros reais, usado a expressão da equação (eq. 24). Os cálculos seguites, que valem para qualquer que sejam os úmeros a, b validam o raciocíio acima: f(a) = lim (+ a ) = e a (29) f(b) = lim (+ b ) = e b (30) f(a)f(b) = lim (+ a ) (+ b ) = lim ((+ a )(+ b )) ; (3) f(a)f(b) = lim (+ a + b + ab 2 ) ; (32) f(a)f(b) = lim (+ a+b + ab ) ; (33) 2 Partido a equação (eq. 29) e (eq. 30), até a equação (eq. 33) os cálculos se justificam pelas regras da álgebra, ou da aritmética. No segudo membro da equação (eq. 33) podemos idetificar a parte pricipal a expressão do segudo membro como + a+b uma vez que o termo desprezado tem ordem de gradeza meor do que os que foram cosiderados. A ordem de gradeza ser meor sigifica que ab 2 = o(a+b ) lim ab 2 a+b = 0; (34) Ao mesmo tempo, desprezado este termo de ordem meor, o limite existe. Nestas codições a+b lim (+ ) = e a+b (35) f(a)f(b) = lim (+ a+b + ab 2) = lim (+ a+b ) = e a+b ; (36) f(a)f(b) = f(a+b); (37) e esta propriedade vale para as fuções do tipo f(x) = Ke x em que K é um úmero real qualquer. Esta é a propriedade descrita a equação (eq. 2.3). Apropriedade foiseleçãodevalorparaf(0)feitaequação (eq.,5) porque estou resolvedo uma equação diferecial e assim selecioado uma solução particular. A terceira propriedade é cosequêcia destas duas primeiras. Referêcias [] Tom M. Apostol. Calculus vol II. Blaisdell Publishig Compay, 962. [2] Tarcisio Praciao-Pereira. Programas para cálculo umérico. Techical report,