INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

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1 1 Mat-15/ Cálculo Numérico/ Departameto de Matemática/Prof. Dirceu Melo LISTA DE EXERCÍCIOS INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL A aproximação de fuções por poliômios é uma das ideias mais atigas da aálise umérica, e aida uma das mais usadas. É bastate fácil eteder por que razão isso acotece. Os poliômios são facilmete computáveis, suas derivadas e itegrais são ovamete poliômios, suas raízes podem ser ecotradas com relativa facilidade, etc. A simplicidade dos poliômios permite que a aproximação poliomial seja obtida de vários modos, etre os quais podemos citar: Iterpolação, Método dos Míimos Quadrados, etc, Portato, é vatajoso substituir uma fução complicada por um poliômio que a represete. Além disso, temos o Teorema de Stoe-Weierstrass que afirma que: toda fução cotíua pode ser arbitrariamete aproximada por um poliômio. Veremos aqui como aproximar uma fução usado Métodos de Iterpolação Poliomial. Tais métodos são usados como uma aproximação para uma fução f(x), pricipalmete, as seguites situações: a) ão cohecemos a expressão aalítica de f(x), isto é, sabemos apeas seu valor em algus potos x0, x1, x,..., (esta situação ocorre muito frequetemete a prática, quado se trabalha com dados experimetais) e ecessitamos maipular f(x) como, por exemplo, calcular seu valor um poto, sua itegral um determiado itervalo, etc. b) f(x) é extremamete complicada e de difícil maejo. Etão, às vezes, é iteressate sacrificar a precisão em beefício da simplificação dos cálculos. (Fote: Notas de Cálculo Numérico com Aplicações para Egeharia CUMINATO, J.A.; USP) Iterpolar uma fução f (x) cosiste em aproximar essa fução por uma outra fução g(x), escolhida etre uma classe de fuções defiida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A fução g(x) é etão usada em substituição a fução f(x). Dados os potos (x0, f (x0)), (x1, f (x1)),..., (x, f(x)), portato ( +1) potos, queremos aproximar f(x) por um poliômio P (x) de grau meor ou igual a, tal que: f ( x ) P ( x ) k 0,1,,, k k Mat 15- prof. Dirceu Melo Págia 1

2 1 Represetaremos p (x) por P a a x a x a x 0 1 Portato obter P ( x ) sigifica obter os coeficietes a0, a1, a,, a Tais coeficietes são obtidos através da solução do sistema a0 a1x0 ax0 ax0 f ( x0) a0 a1x1 ax1 ax1 f ( x1) a0 a1x ax ax f O sistema acima tem solução úica uma vez que a matriz dos coeficietes é Cohecida como matriz de Vadermod, cujo determiate se calcula com Uma vez que os potos x i e x j são distitos, temo que det(a)0. Assim, para determiar o poliômio iterpolador temos que resolver esse tipo de sistema. Cotudo, vários problemas podem ocorrer ao se resolver um sistema liear. Duas delas, detre outras, são o mal codicioameto dos sistemas, e o alto custo o processameto computacioal devido às operações evolvidas. Por isso estudaremos a seguir formas alterativas de ecotrar o poliômio iterpolador, sem a ecessidade de resolver um sistema liear. Iterpolação de Lagrage Sejam x0, x1,..., x distitos e yi = f (xi ), i = 0,...,. Seja o poliômio p (x) de grau meor ou igual a, que iterpola f em x0, x1,..., x. Etão podemos represetar p (x) a forma P y L y L y L y L Ode os Li são poliômios de grau. Logo para cada i, queremos que a codição p_ (x_i) seja satisfeita, ou seja, P ( x ) y L ( x ) y L ( x ) y L ( x ) y L ( x ) y i 0 0 i 1 1 i i i i A forma mais simples de se satisfazer esta codição é impor: Mat 15- prof. Dirceu Melo Págia

3 3 0 Lk( xi) 1 se k i se k i Logo defie-se EXEMPLO ( x x0)( x x1) ( x xk 1)( x xk 1) ( x x) Lk ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) k 0 k 1 k k1 k k1 k Determie o poliômio iterpolador de Lagrage de grau que iterpola os potos da tabela abaixo Para determiar o poliômio iterpolador de Lagrage Temos que calcular os Li: P y L y L y L ( x x1)( x x) L0 ( x x )( x x ) ( x x0)( x x) L1 ( x x )( x x ) ( x x0)( x x1) L ( x x )( x x ) 0 1 ( x 0)( x ) x x L0 ( 1 0)( 1 ) 3 ( x 1)( x ) x x L1 (0 1)(0 ) ( 1)( 0) L ( 1)( 0) 6 x x x x Assim: x x x x x x P 4 1 ( 1) P ( ) 1 x x x 3 3 Forma de Newto A forma de Newto para o poliômio P (x) que iterpola f(x) os potos x 0, x 1,..., x é a seguite: P (x)=f(x 0 )+(x-x 0 )f[x 0,x 1 ]+(x-x 0 )(x-x 1 ) f[x 0, x 1, x ]+ +(x-x 0 )(x-x 1 ) (x-x -1 )f[x 0, x 1,..., x ] Ode f(x 0 ), f[x 0,x 1 ], f[x 0, x 1, x ],..., f[x 0, x 1,..., x ] são os operadores difereças divididas etre os potos (x j, f(x j )), defiidos por: Mat 15- prof. Dirceu Melo Págia 3

4 4 f [ x0] f ( x0) f [ x ] f [ x ] f ( x ) f ( x ) f [ x, x ] x1 x0 x1 x0 f [ x1, x] f [ x0, x1] f [ x0, x1, x] x x0 f [ x1, x, x3] f [ x0, x1, x] f [ x0, x1, x, x3] x3 x0 f [ x1, x, x3,, x] f [ x0, x1, x,, x 1] f [ x0, x1, x, x3,, x] x x0 Dada uma fução f(x) e cohecedo seus valores os potos distitos x 0,..., x Podemos costruir a tabela: Exemplo: Utilize o método de Newto para iterpolar os potos da tabela abaixo, através de um poliômio do º grau. p f ( x ) ( x x )(f[x,x ]) ( x x )( x x )f[x,x,x ] p 4 ( x 1)( 3) ( x 1)( x 0) 3 7 p x x x 3 3 ( ) 1 Mat 15- prof. Dirceu Melo Págia 4

5 5 Erro a Iterpolação E ( x x )( x x ) ( x x ) máx ( x, x ) x f ( 1) x ( 1)! EXERCÍCIOS Questão1) Utilize o método das difereças divididas de Newto. Questão ) Utilize o método de Newto. Questão 3) Questão 4) Questão 5) Mat 15- prof. Dirceu Melo Págia 5

6 6 Questão 6) Questão 7) Questão 8) Questão 9) A tabela a seguir relacioa calor específico da água e temperatura Utilizado o método dos poliômios iterpoladores por difereças divididas de Newto, Calcule: a) O calor específico da água a C (use iterpolação quadrática); b) A temperatura para a qual o calor específico é (use iterpolação liear) Questão 10) a) Determie o erro cometido a aproximação para o se(x) por um poliômio de quito grau que coicide com se(x) os potos 0 o, 5 o,10 o, 15 o,0 o e 5 o. b) Qual o erro estimado para x=1 o 30? Compare com o erro absoluto real. Mat 15- prof. Dirceu Melo Págia 6

7 7 Questão 11) Dada a tabela abaixo, determie o valor aproximado de log,45, usado a iterpolação cúbica de pelo método de Newto. Determie uma estimativa para o erro cometido a aproximação. Questão 1) a) Determiar o erro a aproximação para f(x)= log(x) através de um poliômio do 5º grau que iterpola essa fução os potos x=1,, 3, 4, 5, 6. b) Calcule a estimativa de erro para log(1,5). Questão 13) Uma das características da iterpolação é que esta pode forecer uma aproximação local, sem a ecessidade de usar todos os dados dispoíveis. Como exemplo, vamos cosiderar a tabela abaixo Supohamos que precisamos achar uma aproximação para f(0,44), usado um poliômio de grau. Neste caso, ecessitamos escolher 3 potos e o ideal é escolher aqueles que estão mais próximos do valor que desejamos aproximar. Utilizado a fórmula de erro de iterpolação poliomial argumete se a melhor escolha seria x0 = 0.; x1=0.4 e x = 0.7, ao ivés de x0 = 0.34; x1 = 0.4 e x = 0.5. Questão 14) a) Faça uma estimativa do logaritmo atural de usado uma iterpolação liear e uma quadrática. Para a liear use os potos x=1 e 4. Para a quadrática usa x=1, 4 e 6. b) Compare o valor real com as duas iterpolações, através do erro absoluto. c) Faça um gráfico com as fuções l(x) e os dois poliômios iterpoladores, icluido os ós da iterpolação, o valor real e os valores estimados de l. O que você observa esse gráfico em relação ao erro calculado em b) d) Qual o erro máximo cometido em dada iterpolação? %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Referêcias Bibliográficas: CUMINATO, J.A,.Notas de Cálculo Numérico com Aplicações para Egeharia; USP. RUGGIERO, M. A. G. e LOPES, V. L.R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacioais. São Paulo: McGraw-Hill. Mat 15- prof. Dirceu Melo Págia 7