2- Resolução de Sistemas Não-lineares.

Transcrição

1 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS - Resolução de Sisteas Não-lieares..- Método de Newto..- Método da Iteração Método do Gradiete.

2 - Sisteas Não Lieares de Equações Cosidere u sistea ão liear de equações co icógitas. f(,, L, ) = f f (,,, ) f L = ou co e f() = f = = ( ) LLLLLLLL M M f(,,, ) = L f Note que coo caso particular podeos ter u sistea liear de equações algébricas: f(,, L, ) = a + a + La b = f(,, L, ) = a + a + La b = LLLLLLLLLLLLLLLL LLL f,, ) = + b = (, L a + a La ou A b =

3 .- Método de Newto Cosidere u sistea ão liear de equações co icógitas. f(,, L, ) = f f (,,, ) f L = ou co e f() = f = = ( ) LLLLLLLL M M f(,,, ) = L f Resolvereos este problea co aproiações sucessivas. Seja a aproiação co = (,, L, ) sedo ua das raízes de co erro = (,, L, ). Logo = +. f( + ) = ( ) Supodo que f() é cotiuaete difereciável u doíio coveo que cote e podeos epadir a fução e série de potecia etoro do poto e desprezaos as potecias aiores que (teros ão lieares).

4 Liearização do sistea ()..- Método de Newto f() = f( + ) f( ) + f '( ) = (3) ou f f f f( ) f(,, L, ) L+ = f f f f( ) f(,, L, ) L+ = LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL f f f f( ) f(,, L, ) L+ = Deveos eteder f '() coo sedo a atriz Jacobiaa das fuções f f,, co respeito as variáveis,,,., L f L

5 f '().- Método de Newto f f f L f f f L = W () = L L L L f f f L O sistea (3) é u sistea liear da fora: f f f f ( ) L f f f f ( ) L + = ou + = f( ) W ( ) L L L L M M f f f f ( ) L

6 .- Método de Newto Se a atriz W( ) é ão sigular, etão possui iversa e segue W( ) [ f( ) + W( ) ] = = W( ) f( ) logo + = + = W( ) f( ) co =,,,... Para a aproiação zero podeos escolher coo u valor estiado grotescaete para a raiz procurada. Este é o Método de Newto e ote que deveos calcular a atriz iversa e cada passo: + = W( ) f( ). Se a atriz iversa W() é cotiua a vizihaça da solução procurada e a aproiação iicial é suficieteete perto de, etão podeos fazer a seguite aproiação para obter o Método de Newto Modificado: W( ) W( ) + = W( ) f( )

7 ..- Eistêcia de Raiz do Sistea e Covergêcia do Método de Newto Teorea : Seja u sistea ão liear de equações co coeficietes reais, ode as fuções f() são defiidas e cotiuas juto co suas derivadas parciais de prieira e seguda orde u doíio Ω. Ou seja, f() C ( Ω). f f co e f() = f = = M M f Supoha e o fecho de sua vizihaça V ( ) = { } Ω sere potos de Ω, ode é a -ora e as seguites codições sere válidas: ) A atriz Jacobiaa W() e te iversa W( ) e são os cofatores A, co a ij, ij = W W i det( W( )) j = do eleeto W ij W( ) W( )

8 ..- Eistêcia de Raiz do Sistea e Covergêcia do Método de Newto ) B W( ) f( ), 3) fi ( ) = j C co ( i, j = L,, ) e V ( ), 4) as costates A, B e C satisfaze a desigualdade µ = A B C. Etão o Método de Newto coverge para esta escolha de aproiação iicial e p = f() = p li é a solução do sistea tal que B. p+ p p p = W( ) f( ), p =,,,... Note que, sepre que seja verificadas todas as hipóteses do teorea o étodo de Newto coverge para ua solução que é raiz do sistea a vizihaça de.

9 ..- Eistêcia de Raiz do Sistea e Covergêcia do Método de Newto Note que, se f() C ( Ω) e o sistea f() = te e Ω ua solução segue que f( ) = e W( ) e as codições do teorea são válidas para qualquer poto suficieteete perto de. Por outro lado, para que a codição ) seja válida é iportate observar que B forece ua estiativa da difereça etre as aproiações prieira e iicial. Desta fora podeos verificar rapidaete se esta desigualdade é verificada assi que a prieira aproiação seja calculada: ) = B W( ) f( ). Tabé, pode ser obtidos resultados de covergêcia aálogos aos ateriores para o caso e que a ora cosiderada é ou. l

10 ..- Eistêcia de Raiz do Sistea e Covergêcia do Método de Newto Defiição de Taa de Covergêcia para os Métodos iterativos: Dizeos que u étodo iterativo coverge para a solução co taa de covergêcia de orde Q se a seguite desigualdade se verifica + específica > c Q específica c ode ão depede de. Taa de Covergêcia Coputacioal ρ = l l + específica específica específica específica

11 ..- Uicidade da Solução do Método de Newto e Taa de Covergêcia e Estabilidade. Teorea : Se as codições ) a 4) do Teorea são verificadas, etão eistirá o doíio B ua úica solução do sistea f() =. Teorea 3: Se as codições ) a 4) do Teorea são verificadas, etão a seguite desigualdade se verifica para as p aproiações sucessivas p p p ( µ ) ( B ) ode é a solução do sistea f( ) = e µ = A B C. Falta algu resultado que garata a estabilidade da covergêcia do Método de Newto quado varia a escolha da aproiação iicial!

12 ..- Uicidade da Solução do Método de Newto e Taa de Covergêcia e Estabilidade. Teorea 4: Se as codições ) a 4) do Teorea são verificadas e ode µ = A B C <, etão o Método µ B C de Newto coverge para sua úica solução do sistea f() = o doíio B para qualquer escolha da aproiação iicial que perteça ao doíio % µ B. µ Note que se B < e µ < etão para a aproiação iicial sepre há ua vizihaça e qualquer poto desta vizihaça pode ser escolhido coo aproiação iicial para que o Método de Newto seja covergete para a solução procurada. Supoha B < qb = co q > fie µ = a( µ,/ q) logo pelo teorea e 4 o Método de Newto para qualquer aproiação iicial % µ que verifique a codição B será covergete para. µ %

13 ..3- Eeplo pag. 46 do Deidovich Use o Método de Newto para ecotrar a solução aproiada positiva do sistea de equações: + y + z = + y 4z = 3 4y + z = coeçado co a aproiação iicial = y = z =. 5. Solução: Nosso sistea é f(, y, z) = + y + z = M é t o d o d e N e w t o f(, y, z) = + y 4z = + = W ( ) f ( ) f3(, y, z) = 3 4y + z = W ( ) f f f y z f f f = y z f f f y z Para eecutar cada aproiação deveos calcular e cada passo f ( ), W ( ) e W ( )

14 ..3- Eeplo pag. 46 do Deidovich Solução: Nosso sistea é f(, y, z) = + y + z = f(, y, z) = + y 4z = = y = z =. 5. f3(, y, z) = 3 4y + z =.5 f(, y, z ) = (.5) + (.5) + (.5) =.5 ( ).5 f = = f(, y, z ) = (.5) + (.5) 4(.5) =.5. f3(, y, z ) = 3(.5) 4(.5) + (.5) =. y z W() = y W( = 6 4 z 3 4 W( 4 4 logo W( ) = 4 e det( )) ) = 4 6 e = =.5 4 W( ) f( ) 7.375

15 ..3- Eeplo pag. 46 do Deidovich Para a iteração deveos calcular.565 f(, y, z ) = (.875) + (.5) + (.375) =.565 ( ).85 f = = f(, y, z ) = (.875) + (.5) 4(.375) = f3(, y, z ) = 3(.875) 4(.5) + (.375) =.4375 y z W() = y = 6 4 z logo W( ) = e det( W( )) W( ) = e = W( ) f( ) = e assi sucessivaete, ote que a edida que = = = aueta o úero de 4966 f( ) 4 f( ) iterações f( )

16 ..3- Eeplo pag. 46 do Deidovich Visualização gráfica do problea

17 Frase do Dia True Laws of Nature caot be liear. Albert Eistei