( 2.3) 2. Optimização

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1 Sistea para verificação Lógica do Cotrolo Dezebro 3. Optiização A teoria de optiização, é costituída por u couto de resultados e étodos uéricos co o obectivo de ecotrar e idetificar a elhor solução de etre ua colecção de alterativas, se ter que euerar e resolver eplicitaete todas as alterativas. O processo de optiização está a base da egeharia visto que visa proectar ovos sisteas, elhores ais eficietes e eos caros. U problea de optiização é a geeralidade dos casos u problea de decisão. A partir do valor de ua fução, a que chaaos fução obectivo, obteos valores para u certo uero de variáveis, relacioadas etre si ediate epressões ateáticas, de fora a que iiize ou aiize essa fução obectivo, e tedo e cota, regra geral, ua serie de restrições que liita a escolha desses valores. U problea geérico de optiização cosiste e ecotrar certos valores para deteriadas variáveis de fora que cuprido u couto de requisitos, represetados ediate equações e iequações algébricas (restrições do problea), proporcioa-os o elhor (aior ou eor) valor possível para a fução utilizada para edir o redieto do sistea. Resuido, procuraos valores que cupra uas codições e iiize ou aiize ua fução descritiva do sistea. A fora geral para resolver este tipo de probleas, vai ser a seguite: Optiizar f () Sueito a Re strições O eprego do tero Optiizar, iclui os obectivos de aiização e/ou iiização da fução f (), quado os potos cupre u couto de Restrições. E qualquer caso, sepre se pode trasforar u problea co obectivo de aiização u equivalete co obectivo de iiização, e vice versa. Para aplicar os resultados ateáticos e técicas uéricas ecessárias a teoria de optiização e probleas cocretos de egeharia, é ecessário defiir os liites do sistea que se pretede optiizar, ou sea, deve-se odelar previaete o sistea de fora adequada... Forulação de u Problea Básico de Cotrolo Óptio A forulação do problea Básico de Cotrolo Óptio é apresetada co a versão ais siples possível, ou sea, ( ) ( ) P Miiizar g () através da escolha de u cotrolo u :[,] R à qual correspode :[,] R satisfazedo:, abos! () t = f ( t, () t, u() t ) L q.s.e[,] (.) () = (.) u() t Ω() t L q.s.e[,] (.3) - -

2 Sistea para verificação Lógica do Cotrolo Dezebro 3 Alguas oções básicas: Sistea diâico Sistea cua resposta depede ão só de estíulos ( iputs ) eteros as tabé do valor do seu estado. raectória Solução da equação diferecial (.) co a codição de froteira (.) dada fução de cotrolo que satisfaz (.3). Processo de cotrolo adissível Par (, u) que satisfaz as restrições (.), (.) e (.3) Couto de Estados atigíveis Deota-se ( ; (,)) para ua. A e defie-se coo sedo o couto de potos do espaço dos estados que é possível atigir co estratégias de cotrolo adissíveis, ou sea, ( ; (, ): { ( ) : as codições (. ), (.) são satisfeitas para toda a fução de cotrolo u e (.3) } A = Processo de froteira processo de cotrolo e que a traectória (ou ua dada fução dela) peraece a froteira do couto de estados adissíveis (ou a referida fução deste). Míios global/local Equato, o prieiro caso, o valor da fução obectivo para o processo de referêcia é iferior ao associado a qualquer outro, o segudo, são cosiderados a coparação apeas os processos de cotrolo ua dada vizihaça. No setido de ligar esta atéria co outras de optiização estática, é de aior utilidade reforular este Problea de Cotrolo Óptio Básico coo u Problea de Prograação Não Liear da fora. ( P' ) Miiizar { () z : z A( ; (, )} ode ( ; (,)) g A é o couto de estados atigíveis o istate a partir de o istate. Ebora a aparêcia foral etreaete ais siples, faz-se otar que, o caso geral de diâica ão liear, as dificuldades fora trasferidas para a caracterização do couto de estados atigíveis A ;,, que poderá ser substacialete coplea. o istate fial, ( ( )).. Questões da eoria de Cotrolo Óptio O obectivo últio da eoria de Cotrolo óptio cosiste e peritir o cálculo eficiete da solução ou soluções deste tipo de probleas. Geericaete a eoria estabelece coutos de codições que caracteriza de fora ecessária e/ou suficiete a solução e que apoia o ais eficieteete possível o seu cálculo. Estas codições oferece apoio a procedietos de carácter quer qualitativo quer quatitativo. - -

3 Sistea para verificação Lógica do Cotrolo Dezebro 3... Codições Necessárias de Optialidade edo e vista perspectivar a utilização da eoria de Cotrolo Óptio, apreseta-se a seguir as codições Necessárias de Optialidade, a fora de u Pricípio do Máio de Potryagui para ( P ) e eplica-se o seu papel o cálculo da solução. Sea * ua traectória óptia para o problea ( P. ) Etão, eiste ua fução absolutaete cotiua :[,] R p, satisfazedo p! () t = p () t f ( t, *() t, u *() t ) [,] q.s. (.4) p () = g ( * () ). (.5) Ode *:[,] R v u é ua estratégia de cotrolo tal que u * () t aiiza a fução p () t f ( t, *() t, v) e Ω () t [,] q.s.. (.6) Observe-se que a codição (.6) costitui u processo de eliiação do cotrolo ua vez que, sedo u*: [,] R tal que p () t f ( t, * () t, u * () t ) p () t f ( t, * () t, v) para todo v Ω() t, [,] q.s., te-se defiida iplicitaete a estratégia de cotrolo () t u( * () t, p() t ) u * = equivaledo, ediate deteriadas codições, a resolução de ( P ) à resolução do seguite sistea de equações difereciais: p! () t = p () t f ( t, *() t, u( *() t, p() t ) p () g ( * () )! * () t = f ( t, * () t, u( * () t, p() t ), ()... Eistêcia de solução =. =, As codições que assegura a eistêcia se solução do problea, ou sea, de que, e certo, setido, o problea está be forulado, são uito iportates para garatir a coerêcia das codições de optialidade. Para torar óbvia esta iportâcia, atede-se ao seguite eeplo: Sea N o aior úero Natural, ou sea, N : = {,,... } N. Etão, te-se que: N para todo N. E particular, a desigualdade atê-se para = N. Dividido-se abos os ebros da desigualdade N N por N, te-se que N. A forulação das codições de optialidade e a lógica da sua utilização são irrepreesíveis. Este absurdo deve-se soete ao facto de, à partida, se assuir a eistêcia do aior uero atural

4 Sistea para verificação Lógica do Cotrolo Dezebro 3 O caso de optiização de ua fução u couto de espaço fiito é geralete edereçado pelo eorea de Weierstrass. Este cosiste o facto de que a cotiuidade da fução obectivo e do couto das restrições ser fechado e liitado costituíre codições suficietes para eistêcia de íio/áio. Ou sea, estas codições garate a eistêcia de solução. A situação coplica-se substacialete para os probleas de cotrolo óptio, ua vez que, agora, a iiização te lugar u espaço de fuções (estratégias de cotrolo) que é tipicaete de diesão ifiita. Eiste vários coutos de codições que poderão ser vistas coo geeralização do caso de diesão fiita referido. Ua das etesões para diesão ifiita ais siples cosiste e cosiderar u couto de hipóteses tais que as codições para diesão fiita se verifica quado se cosidera a versão ( P '), ou sea, a fução obectivo g é cotiua e o couto de estados atigíveis é fechado e liitado. Codições típicas são: [H] - () t [H] - f é cotíua e todo os seu arguetos Ω é fechado e liitado para todo o t e [,] [H3] - f é K-Lipschitz cotíua o segudo argueto, ou sea f ( t,, u) f ( t, y,u) K y [H4] - f ( t,,u) K( + ) para todo os valores dos arguetos de f. [H5] - ( t,, () t ),. f Ω é coveo para todo o e t e [ ] Estas codições garate que as traectórias adissíveis costitue ua faília de fuções uiforeete liitada e equi-cotíua, cocluído-se pelo eorea de Ascoli que qualquer sucessão de traectórias iiizate cote ua sub-sucessão uiforeete covergete que tabé é adissível. Por outras palavras, prova-se que o couto de estados atigíveis é fechado (o facto de ser liitado coclui-se de iediato do Lea de Bela-Growall)...3. Codições Suficiete de Optialidade Codições suficietes de optialidade típicas para o problea ( P ) poderão ter a seguite fora: Supoha que V : [,] R R é ua fução difereciável que, ua vizihaça de * satisfaz (,z ) g( z) (, ) g( *( ) ( t, *() t ) Sup{ V ( t, *( t ) f ( t, *( t), u) : u Ω( t) } q.s. e [,], (.7) V =, V e V t = ode *. correspodete a u * (fução esta cuos valores o tepo atige o áio a igualdade acia) co *() =, etão o processo de cotrolo ( *,u *) e óptio para ( P. ) é solução de ( ) - 4 -

5 Sistea para verificação Lógica do Cotrolo Dezebro 3, referida coo a equação de Hailto-Jacobi-Bella, desiga-se de fução de verificação e, ediate certas codições, coicide co a fução valor defiida coo sedo o íio custo a partir do par (estado, istate de tepo) idicado os seus arguetos. As versões discretizadas o tepo e/ou o espaço desta equação estão a base das diversas variates do étodo cohecido por Prograação Diâica. Ebora, as codições do resultado acia referido sea de carácter local, eiste resultados que, ediate deteriadas codições, defie codições de atureza global. Estas codições pode ser utilizadas a defiição de "algoritos" de pesquisa de soluções de probleas evolvedo estruturas de elevada copleidade e eleetos de atureza diversa. A fução V solução da equação (.7) Ebora de grade iteresse coceptual, as codições de validade deste resultado a fora siplificada acia idicada geericaete ão se verifica para a grade aioria dos probleas de Cotrolo Óptio. O cálculo ão difereciável veio peritir u grade progresso o setido de geeralização destas codições. Mediate deteriadas hipóteses sobre os dados do problea, estas codições perite a defiição de estratégias de cotrolo a fora de ua realietação ãoliear. Muito receteete tê sido ivestigadas as evetuais relações etre as codições ecessárias e as suficietes de optialidade. E particular, ediate deteriadas codições de regularidade, foi á deostrado o facto da variável aduta das codições ecessárias de optialidade a fora do Pricípio do Máio de Potryagui coicidir co gradiete da fução valor e relação ao estado..3. Coveidade O coceito de coveidade é uito iportate para o estudo dos probleas de optiização. Os coutos coveos, os poliedros, e a separação de coutos coveos distitos, são utilizados frequeteete a aálise de probleas de prograação ateática, e a caracterização das suas soluções óptias. A oção de coveidade é uito útil sob poto de vista da sua aplicação prática, visto que podese garatir, e algus casos, que a partir de u óptio local de u deteriado problea, coseguios ecotrar o óptio global desse eso problea, que é ao fi ao cabo o que realete os iteressa. Vaos defiir este poto, algus coceitos idispesáveis para o desevolvieto de prograação ateática. Podeos defiir coveidade para qualquer espaço topológico, as para siplificar vaos cosiderar apeas o espaço vectorial R..3.. Coutos coveos e evoltura covea Defiição. Dados dois potos { y R / } [, y] = + ( ), y R, o segeto liear fechado que os ue é o couto - 5 -

6 Sistea para verificação Lógica do Cotrolo Dezebro 3 de igual fora, o segeto liear aberto que ue e y é o couto { y R / < < } (, y) = + ( ) Defiição. U couto Ω R diz-se coveo se verifica: [,] + ( ) Ω Ω, Esta defiição iterpreta-se da fora que u couto será coveo se o segeto liear fechado que ue qualquer par de potos do couto, tabé pertece ao couto. Por coveção u couto vazio, é coveo. Figura. : Coveidade e R Na figura. são represetados coutos, coveos e ão coveos de R. t Os coutos da fora, H = { : p = α} são chaados hiperplaos de R, ode p é u vector ão ulo e R, deoiado oral ao hiperplao, e α u escalar. Pode-se deostrar facilete que os hiperplaos são coutos coveos. t Os coutos da fora, S = { : p b}, são sei espaços de R, e tabé são coutos coveos. Geralete os coutos da fora, P = { : A b} co A ua atriz, e b u vector, são coutos coveos. Este couto é a itercepção de sei espaços e deoiase usualete poliedro. O lea seguite é ua cosequêcia iediata da defiição de coveidade. Estabelece que a itercepção de dois coutos coveos é coveo e que a soa algébrica de dois coutos coveos tabé é covea

7 Sistea para verificação Lógica do Cotrolo Dezebro 3 Lea.3 - Sea Ω e Ω coutos coveos de R. Etão:. Ω Ω é coveo.. Ω + Ω = { + : Ω, Ω } é coveo. 3. Ω Ω = { : Ω, Ω } é coveo. 4. O fecho (ou aderêcia) de Ω k, Ω k, é u couto coveo. Vereos agora coo a partir de u couto arbitrário Ω R coveo, e particular vereos o caso da evoltura covea de Ω., pode-se gerar u couto Proposição.4 - A iage de u couto coveo ediate ua aplicação liear ão ula é u couto coveo. Defiição.5 - Sea R direos que é ua cobiação covea dos potos quado eistire úeros reais,..., R, que cupra,..., R = = = = = Está claro que,..., R é cobiação covea de se, e só se, [, ], R Proposição.6 U subcouto ão vazio covea de potos de Ω pertece a Ω. Ω R é coveo se, e só se, toda a cobiação Ω. Defie-se evoltura covea de Ω, que deotaos H ( Ω) Defiição.7 Sea R couto de todas as cobiações coveas de Ω. H k ( Ω) = = k = =,,...,k = ode k é u iteiro positivo e {,..., } Ω Ω =, é ua cobiação covea, logo Ω coveo. Lea.8 Sea Ω R, etão ( Ω). Esta claro que ( Ω), por costrução ( Ω), ao Ω H, visto que se H é u couto H é o couto coveo ais pequeo que cote Ω, ou sea, H ( Ω) é a itercepção de todos os coutos coveos que cotê Ω

8 Sistea para verificação Lógica do Cotrolo Dezebro 3 Por defiição, u poto da evoltura covea de u couto pode-se represetar co ua cobiação covea de u úero fiito de potos do couto. O teorea seguite ostra que qualquer poto da evoltura covea do couto Ω pode represetar-se coo ua cobiação covea de pelo eos, + potos de Ω. O teorea é certo trivialete se Ω. Ω, e ( ), etão H(,..., ) eorea.9 (eorea Carathéodory) Sea R H Ω ode Ω, =,..., +. Por outras palavras, pode represetar-se coo : +, = + = + = = =,..., + Ω =,..., + Podeos observar a figura. u couto ão coveo e sua evoltura covea. Figura. : Evoltura covea de u couto - 8 -