Operadores Lineares e Matrizes

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1 Operadores Lieares e Matrizes Ua Distição Fudaetal e Álgebra Liear Prof Carlos R Paiva

2 Operadores Lieares e Matrizes Coeceos por apresetar a defiição de operador liear etre dois espaços lieares (ou vectoriais) coplexos O caso dos espaços lieares reais pode ser cosiderado coo u caso particular de u espaço liear defiido sobre o corpo Defiição U operador liear (ou ua trasforação liear) de u espaço liear (ou vectorial) V para u espaço liear W, defiidos sobre o corpo é ua aplicação f :V W tal que u v u v, u, v V,, f f f O operador liear é u edoorfiso quado W V (dos úeros coplexos), Exeplos Seja f : : x x f x y x y x x y y, Coo f x x e f y y, é f x y f x f y u operador liear Seja g : : x a x b Não se trata, portato, de Logo g x y a x y b a x a y b, e g x a x b a x b é liear quado g y a y b a y b O operador só b b b b Poré, coo e são úeros reais quaisquer, ifere-se que tal só será possível para b 0 Quado b 0 o operador ão é liear Façaos t : : t t, x x x x x x T, T Etão, T x x, x x x, Este é, assi, u operador liear x, T e x x x x T T T

3 Carlos R Paiva 4 Cosidereos o operador : : x, y x cos y si, x si y cos R Ua fora de represetar este operador é através de ua atriz de rotação o plao, ie, R x cos si x Te-se sucessivaete y si cos y x x cos si x x R y y si cos y y cos si x cos si x si cos y si cos y x x R R y y pelo que se trata, tabé aqui, de u operador liear Do poto de vista geoétrico podeos escrever R v u, e que u xeye e v xe ye, tedo-se cosiderado ua base,, ie, ode e e ortoorada e, ej e k jk 0, j k j k jk é o delta de Kroecker A figura aexa represeta esta operação de rotação x, y x, y u v e que x x cos y si y y e Y e v x e y x si y cos x u X Pode-se iferir o setido da rotação co base o produto extero eteda que u xy,,0 e x, y,0 v : u v desde que se e e e u v x y 0 x y yx e x y si e u si e x y 0 Te-se, aida, u v x x y y x y cos u cos Note-se que o coprieto de cada vector ão se altera: x y x y, ie, u v No caso particular e que 0 obté-se uv 0; quado obté-se uv 0 e uv u e

4 Operadores Lieares e Matrizes Notação Usa-se, e geral, letras de fotes ão-serifadas («arial») para desigar os operadores lieares As úicas excepções correspode aos casos ais siples e que: (i) f : V, co V ; (ii) f : V, co V Usa-se letras iúsculas a egrito («bold») para represetar vectores (eg, uv, V represetar escalares (eg,, ou, represetar atrizes ou tesores: eg,, Mat, ) Usa-se letras gregas iúsculas para ) Usa-se letras aiúsculas a egrito para AB, ode («euclid ath two») é ua letra geérica que desiga u corpo (e iglês u corpo desiga-se por «field») Geralete, Desiga-se por Mat,, ou quadradas defiidas sobre o corpo escreve f : A B : x y, o espaço liear das atrizes Note-se por fi que, ao defiir ua aplicação, se sigificado, co isso, que f A B e aida que y f x Coloca-se, agora, a seguite questão: qual é a relação existete etre u dado operador liear e a sua represetação atricial? A resposta é siples: sedo A a atriz que correspode ao operador liear f : V W, o respectivo eleeto atricial jk pode obterse ua vez fixadas as bases de cada espaço Aditido que o espaço liear V te ua base V di j j a e o espaço liear V e di W b W te ua base W kk, etão as coluas da atriz A são dadas por f a b, j,,, j k j k k, tedo-se portato Nota Apeas quado a base W kk b é ortoorada, co b, i j i b j i j 0, i j, é que, desta equação, se tira (fazedo o produto itero de a abos os ebros por b f a b b j k j k k j k j k k f jk b j a k b )

5 4 Carlos R Paiva Obté-se, deste odo, a atriz : A Existe, deste odo, u isoorfiso etre o espaço liear V, W de V e W e o espaço liear Mat, L dos operadores lieares das atrizes defiidas sobre o corpo Exeplo Deterieos a represetação atricial do operador liear f : ) tal que as cosiderado a seguite base para x x y z f y x z z y z :,, a a a co 0 a, a 0, a 0 f L (ie, ode Note-se que se trata de ua base que ão é ortogoal (e, uito eos, ortoorada) Mas é, coo ão podia deixar de ser (por defiição de base), u cojuto de três vectores liearete idepedetes: 0 a a a 0 e e 0 0 Existe u erro correte que cosiste e dizer que a atriz Α associada deverá ser M 0 0 Poré, isso é coo se irá ostrar este exeplo falso Para obter a prieira colua da atriz Α, façaos

6 Operadores Lieares e Matrizes f a f Para obter a seguda colua, ve 0 f a f Fialete, para obter a terceira colua, f a f 0 0 A atriz pretedida será etão Note-se, poré, que 5 A 5 0 x x y z x x y z f y x z A y x z z y z z y z o que ostra que é ecessário ter cuidado Co efeito, te-se x 0 0 y xe y e z e x 0 y z 0 z 0 0 (ie, a base caóica de ) as, a base cosiderada, é x 0 y x, y, za x, y, za x, y, za 0 z 0

7 6 Carlos R Paiva x y z x y z x y z De fora aáloga, ve sucessivaete x y x x y z 0 f y x z a a a 0 x y z z y z 0 x y z Agora, co efeito, obté-se (coo se pode facilete verificar) x y z x y A A x y z x y z x y z x y z x y z x y 5 x y z x y z 5 0 x y z x y z Problea O operador liear f : é dado por x x y z f y x y z z Mostre que a correspodete atriz, para as bases caóicas de A e, é

8 Operadores Lieares e Matrizes 7 Problea Cosidere o operador liear g : tal que x x x x g x x x x x x Mostre que, a base caóica de equato que, a base, a correspodete atriz é A 0 0 a correspodete atriz é 0 a, a 0, a, B Problea Deostre as fórulas otado que a rotação de u âgulo R R R R e que cos cos cos si si si si cos cos si o plao, cos si R si cos x y é o produto de duas rotações Vejaos, agora, o que acotece ua udaça de base, ie, quado se passa de ua a base a i i para ua ova base i i a a a i i j j i j Dado u vector a, te-se

9 8 Carlos R Paiva Poré, existe ua relação liear etre as duas bases: a a i ji i j Assi, depois de substituir esta relação a aterior, ve a a a i ji j j j i j j, j,,, j ji i i E teros atriciais podeos aida escrever esta últia equação a fora a R a Quado se uda de base, a atriz A da base i i a correspodete à ova base i i Te-se, etão, a dará lugar a ua ova atriz A dode b = Aa b Rb b = Aa a Ra Rb A Ra b R A R a As atrizes A e A R A R A R AR A dize-se seelhates e a relação etre elas ua trasforação de seelhaça Note-se que, apesar de se tratar de duas atrizes diferetes, elas deve represetar o eso operador liear Exeplo Cosidereos a udaça de base do Problea Nesse problea coeçou-se por cosiderar a base caóica de, tal que,, A outra base cosiderada foi,, e e e, ode se te 0 0 e 0, e, e a a a e que

10 Operadores Lieares e Matrizes 9 Logo 0 a, a 0, a 0 0 e 0 a a a e a a a e 0 a a a 0 0 de fora que a atriz de udaça de base é etão 0 0 R R 0 Nestas codições, a relação etre a atriz B e a atriz A do eso Problea deverá ser Efectivaete, te-se B R AR Problea 4 Seja a atriz A de u edoorfiso e, e, e tal que 0 A 0 0 T : e relação à base caóica

11 0 Carlos R Paiva a a a tal Mostre que a represetação atricial do operador liear T a ova base,, que correspode à atriz 0 a, a, a B R A R 0 0 0, R, R Cofire o seu resultado otado que, de acordo co a base caóica, o operador liear e causa é tal que x y z T y x z z x y Recordeos, agora, coo deteriar a iversa de ua atriz A ão sigular Tese, coo é sabido, adj A A det A Exeplo Deterie a iversa da atriz A 0 Coeceos por calcular o respectivo deteriate Ve já que se te A det 7 4

12 Operadores Lieares e Matrizes Por outro lado a atriz adjuta é dada por Logo 7 adj A 7 T T A adj A Facilete se verifica que, co efeito, é A A A A I 0 0 Problea 5 Mostre que a atriz iversa da atriz é a atriz A A

13 Carlos R Paiva Existe ua fora diferete de calcular o deteriate Seja f : V V u edoorfiso de i i V, co div, tal que a a é ua base do espaço liear V, etão a a a det a a a f f f b e que, portato, ab, V Se Exeplo Volteos a cosiderar a atriz A 0 Na base caóica de, e que se te 0 0 e 0, e, e 0, 0 0 esta atriz correspode ao operador liear E particular, virá x x y z f y x z z x y z 0 0 f e f 0 f, f e f 0 f, f e f 0 f 0 0 Logo, co efeito, te-se e e e e e e det e e e f f f f f f f f det f e f f f 0 e det f 0 4 Note-se o sigificado geoétrico: f f f det f correspode ao volue orietado do trivector

14 Operadores Lieares e Matrizes Exeplo Calculeos, agora, o deteriate do operador liear cosiderado o Problea Cosidereos a base Nesta base, te-se 0 a, a 0, a 0 0 ga g g, ga g 0 g, ga g g 0 4 pelo que g g g g g g g g e det g a a a e Coo a a a a a a g g g det a a a 0 g g g e e, a a a 0 e e 4 0 ifere-se que det g Note-se que, aida o âbito do Problea, se te 4 5 det A 0 det B 6 4 det g Ou seja: o deteriate é u ivariate próprio de u operador liear e, cosequeteete, é sepre o eso para todas as atrizes relacioadas etre si por ua trasforação de seelhaça Portato, para calcular o deteriate de u operador liear, é geralete ais fácil fazê-lo através da base caóica

15 4 Carlos R Paiva Alé do deteriate, existe u outro ivariate iportate relacioado co atrizes seelhates o traço Defie-se o traço de ua atriz coo sedo a soa dos seus eleetos diagoais Seja A e Etão, ve sucessivaete A duas atrizes seelhates, ie, co A R AR R A det R det det det A det R A R det R det A det R det A Para o traço, ve tabé tr A tr R AR tr R AR tr AR R tr A R R tr AI tr A Assi, eg, o Problea, te-se 4 5 tr A tr 0 tr B tr 6 4 tr g Apreseta-se, de seguida, duas relações iportates que relacioa o deteriate co o traço Para edoorfisos de diesão, te-se det f tr tr f f Para edoorfisos de diesão, te-se det f tr tr tr tr 6 f f f f Calculeos, agora, a expoecial de ua atriz Por defiição, escreve-se Estaos a aditir que Mat, exp A A! 0 A co,

16 Operadores Lieares e Matrizes 5 Exeplo Calculeos exp A para (co abc,, ) 0 a b A 0 0 c Coeceos por otar que esta atriz é ilpotete já que se te A 0: Logo, ve 0 0 ac A 0 0 0, A a b ac a b 0 0 ac A expa I A c c Ifere-se, deste odo, que a 0 a b b ac exp 0 0 c c Exeplo Seja X R DR Vaos ostrar que, este caso, se te exp exp exp X R DR R D R Coeceos por otar que R DR R DR R DR R D R R DR R DI DR R D R Aalogaete, te-se Logo, ifere-se que R DR R D R R DR R D R D exp R DR R R R exp D R 0! 0! 0!

17 6 Carlos R Paiva Exeplo Vaos, agora, calcular Y exp X para 0 X 0 Noteos que esta atriz é seelhate à atriz i 0 D 0 i já que se te e que X R DR Co efeito, Mas etão, ve i i i i R, R R DR i i 0 i 0 i 0 i i 0 X i ie 0 i exp X exp R DR R exp DR i i 0 e i cos si Y exp X si cos que correspode, coo se viu ateriorete, à atriz de rotação do plao Problea 6 Mostre que, para qualquer atriz X do tipo co traço ulo, ie, co se te a b X, c a X det X I Mostre, e seguida, que se te si det X expx cos det X I X det X

18 Operadores Lieares e Matrizes 7 Note que, coo cos e si são fuções pares de, esta expressão ão depede do sial escolhido o cálculo de det X Alé disso, quado X det 0, esta expressão deve ser iterpretada coo dado exp X I X Use este resultado para provar que 0 cos si exp 0 si cos