Projeto e Análise de Algoritmos Aula 2: Função de Complexidade Notação Assintótica (GPV 0.3)

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1 Projeto e Aálise de Algoritos Aula 2: Fução de Coplexidade Notação Assitótica (GPV 0.3) DECOM/UFOP 202/2 5º. Período Aderso Aleida Ferreira Material desevolvido por Adréa Iabrudi Tavares BCC 24/202-2

2 BCC 24/ Qual o odelo para edir desepeho? Medida precisa de u prograa executado e u abiete específico? uitas variáveis exteras Algorito e pseudo-código para RAM Capturar os aspectos esseciais Abstração de hardware, sistea operacioal, copilador, liguage, etc Medir úero de passos (operações básicas) Custo costate para passo

3 BCC 24/ Fução de Coplexidade T() Núero de passos/ites de eória Depede do taaho da etrada Núero de eleetos Núero de bits Núero de arestas + vértices Depede da etrada: elhor/pior caso/ caso édio

4 BCC 24/ Exeplo: Ordeação por Iserção fuctio isertio(a[]). for i=2..: 2. ele = A[i] 3. j = i 4. while (j>) ad (ele< A[j-]): 5. A[j] = A[j-] 6. j = j - 7. A[j] = ele

5 BCC 24/ Iserção Fução de coplexidade fuctio isertio(a[]). for i=2..: 2. ele = A[i] 3. j = i 4. while (j>) ad (ele< A[j-]): 5. A[j] = A[j-] 6. j = j - 7. A[j] = ele

6 BCC 24/ Fução de Coplexidade Caso édio: tepo esperado Melhor caso: eor tepo de execução Pior caso : aior tepo de execução

7 BCC 24/ Fução de Coplexidade Exercício. Foreça a fução de coplexidade de tepo, cosiderado o úero de coparações, do elhor caso, pior caso e caso édio para: a) fuctio sequecial(v,, c) V[0] = c; i = ; while V[i]!= c: i= i ; retur i; b) fuctio Max(A, ) Max := A[]; for i = 2.. : if A[i] > Max: Max := A[i] ; retur Max;

8 BCC 24/ Fuções de Coplexidade Núero de Passos T() Pior Médio Melhor Taaho

9 BCC 24/ Diferetes edidas Caso édio: tepo esperado Não se sabe a distribuição da etrada Pode ser difícil de calcular Melhor caso: eor tepo de execução Noralete, pouquíssias istâcias Pode egaar Pior caso : aior tepo de execução garatia de tepo de execução

10 BCC 24/20-2 Coparação Efetiva Iserção co elhor prograador: MergeSort co prograador edíocre: T ) 2 ( T2 ( ) 2 50log No eso coputador, qual é o elhor se a etrada for 00? E se for 2000?

11 BCC 24/ Execução u eso coputador Etradas Pequeas

12 BCC 24/ Execução u eso coputador Etradas Pequeas Tedêcia

13 BCC 24/ Aálise Assitótica A Idéia Igorar costates depedetes de áquia Olhar a taxa de crescieto do tepo de execução, expressa e fução do taaho da etrada. Fuções: Θ, O, Ω, o, ω

14 BCC 24/ Capturado essêcia da coplexidade... Captura a tedêcia real do desepeho de u algorito, quado o taaho da etrada cresce. E teros práticos: Igorar costates e reover teros doiados da fução de coplexidade

15 Coportaeto assitótico de fuções O parâetro forece ua edida da dificuldade para se resolver u problea, já que o tepo ecessário para resolvê-lo cresce quado cresce. Para valores suficieteete pequeos de, qualquer algorito custa pouco para ser executado, eso os ieficietes. A escolha do algorito ão é u problea crítico para probleas de taaho pequeo. A aálise de algoritos é realizada para valores grades de. Estuda-se o coportaeto assitótico das fuções de custo. O coportaeto assitótico de f() represeta o liite do coportaeto do custo quado cresce. 7

16 Coportaeto assitótico de fuções A aálise de u algorito geralete cota co apeas alguas operações eleetares. A edida de custo ou edida de coplexidade deve relatar o crescieto assitótico da(s) operação(ões) cosiderada(s). A seguite defiição relacioa o coportaeto assitótico de duas fuções distitas: Ua fução f() doia assitoticaete outra fução g() se existe duas costates positivas c e tais que, para, tese g() c f(). 8

17 Coportaeto assitótico de fuções Exeplo : Seja g() = e f() = - 2. A fução f() doia assitoticaete a fução g(), já que - 2 para 0. A fução g() ão doia assitoticaete a fução f(), já que - 2 > c para todo > e qualquer valor de c. Exeplo 2: Seja g() = (+) 2 e f() = 2. A fução g() e f() doia assitoticaete ua a outra, já que: 2 (+) 2 para 0; (+) para. 9

18 Coportaeto assitótico de fuções Para expressar que f() doia assitoticaete g(), ua otação sugerida por Kuth é g() = O(f()), ode se lê g() é da orde o áxio f(). Assi, se o tepo de execução T() de u prograa é O( 2 ), existe costates c e tais que, para valores de, T() c 2. Defiição otação O: Ua fução g() é O(f()) se existe duas costates positivas c e tais que, para todo, te-se g() c f(). Exeplo : Seja g() = (+) 2. Logo g() é O( 2 ), já que (+) para. 20

19 Coportaeto assitótico de fuções Exeplo 2: Seja g() = Logo g() é O( 3 ), já que para 0. É iportate otar que g() tabé é O( 4 ), poré tal fato é ais fraco do que dizer que g() é O( 3 )., Exeplo 3: Seja g() = 2 Claraete, g() é O( 2 ), já que 2 2 para 0. Poré, g() ão é O(). Supoha que exista costates c e tais que para todo, 2 c. Logo c para qualquer. Mas, ão existe c para todo. Exeplo 4: Seja g() = log 5 g() é O(log ), já que log b difere de log c pela cost. log b c. Coo, toado log b e abos os lados, te-se: 2

20 Coportaeto assitótico de fuções Alguas operações realizadas co a otação O são: A regra da soa O(f()) + O(g()) pode ser usada para calcular o tepo de execução de ua sequêcia de trechos de prograa. Supoha trechos cujo tepo de execução são O(), O( 2 ) e O(log). Assi, o tepo de execução do prograa é O( 2 ). O produto de por é: 22

21 Coportaeto assitótico de fuções Dizer que g() é O(f()) sigifica que f() é u liite superior para g(). A otação Ω especifica o liite iferior. Defiição otação Ω: Ua fução g() é Ω(f()) se existe duas costates positivas c e tais que, para todo, te-se g() c f(). Exeplo : Seja g() = Logo g() é Ω( 3 ), já que para 0. Exeplo 2: Seja g() = ( ípar) e g() = 2 /0 ( par) Logo g() é Ω( 2 ), já que 2 /0 /0 2 para par 0. 23

22 Coportaeto assitótico de fuções Defiição otação Θ: Ua fução g() é Θ(f()) se existire costates positivas c, c 2 e tais que, para todo, te-se 0 c f() g() c 2 f(). Para todo, g() é igual a f() a eos de ua costate. Nesse caso, f() é cosiderado u liite assitótico fire. 24

23 Coportaeto assitótico de fuções Exeplo: Seja g() = 2 /3-2. Para ostrar que g() = Θ( 2 ), deve-se deteriar valores para as costates c, c 2 e tais que: Dividido por 2, te-se: O lado direito da desigualdade será sepre válido para qualquer valor de, ao se escolher c 2 /3. O lado esquerdo da desigualdade será válido para qualquer valor de 7, ao se escolher c /2. Logo, escolhedo c = /2, c 2 = /3 e = 7, é possível verificar que g() = Θ( 2 ). Outras costates pode existir, as o iportate é que existe algua escolha para as três costates. 25

24 Coportaeto assitótico de fuções A otação o é usada para defiir u liite superior que ão é assitoticaete fire. Defiição otação o: Ua fução g() é o(f()) se, para qualquer costate c > 0, etão 0 g() < c f() para todo. Exeplo: 2 = o( 2 ), as 2 2 o( 2 ). As otações O e o são siilares. A difereça é que e g() = O(f()), a expressão 0 g() < c f() é válida para algua costate c > 0, as e g() = o(f()), tal expressão é válida para todas as costates c > 0. Na otação o, a fução g() te u crescieto uito eor que f() quado tede para ifiito. Algus autores usa o seguite liite para defiição da otação o: 26

25 Coportaeto assitótico de fuções A otação ω é usada para defiir u liite iferior que ão é assitoticaete fire. Defiição otação ω: Ua fução g() é ω(f()) se, para qualquer costate c > 0, etão 0 c f() < g() para todo. Exeplo: 2 /2 = ω(), as 2 /2 ω( 2 ). As otações Ω e ω são siilares. A difereça é que e g() = Ω(f()), a expressão 0 c f() < g() é válida para algua costate c > 0, as e g() = ω(f()), tal expressão é válida para todas as costates c > 0. Na otação ω, a fução f() te u crescieto uito eor que g() quado tede para ifiito. Algus autores usa o seguite liite para defiição da otação ω: 27

26 BCC 24/ Liites são ais suaves

27 BCC24/ Revisão: Aálise de Coados Iterativos Atribuição: O() Sequêcia: regra da soa O f ( ) Og( ) Oax f ( ), g( ) f ( ) g( ) ax f ( ), g( )

28 BCC24/ Revisão: Aálise de Coados Iterativos Decisão Codição Melhor (íio), pior (áxio), édio (?)

29 BCC24/ Revisão: Aálise de Coados Iterativos Repetição: regra da ultiplicação Soatórios Depedêcia de liite While (pior, elhor, édio) ( ) O f ( ) O cf f ( ) g ( ) f ( ) g( )

30 BCC24/ Revisão: Aálise de Coados Iterativos Fuções ão-recursivas Calcula coplexidade da fução e atribui ao coado de chaada Fuções recursivas: Relações de recorrêcia Teorea estre

31 BCC24/ Multiplicação de Matrizes Multiplicação de duas atrizes Matrizes coeça o ídice C xz A xy B yz

32 Multiplicação de Matrizes BCC24/ xyz yz x z y x T yz z y z y x T z z z y x T z z y x T z y x T x i x i x i y j x i y j x i y j x i y j z k ),, ( ),, ( ),, ( ),, ( ),, (

33 BCC24/ Pesquisa e texto Procura a palavra p o texto t Melhor caso: palavra se ecotra a prieira posição Pior caso: Ocorre casaeto dos - caracteres sepre. Pese u pouco se isso pode realete acotecer... Isso quer dizer que o pior caso do while, se aalisaros jutaete o if, é j = - strle é fução

34 BCC24/20-2 Pesquisa e texto 42 ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( T T T T T i i i i j