Capítulo 4 CONDUÇÃO BI-DIMENSIONAL, REGIME PERMANENTE. ρc p. Equação de calor (k cte e sem geração, coordenadas cartesianas): $ # % y k T.

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1 Capítulo 4 CONDUÇÃO BI-DIMENSIONAL REGIME PERMANENE ρc p t =! # x k " x $ &! # % y k " y $ &! % z k $ # &!q " z % < q Equação de calor (k cte e se geração coordeadas cartesiaas): x y =

2 4.- Método de separação de variáveis Ex.: Placa plaa retagular x y = y W θ= Adiesioalizado a teperatura: θ θ= θ= θ x θ y = CC :θ( y) = θ(x) = θ(l y) = θ(xw ) = θ= L x Sep. variáveis - hip.: θ(x y) = X(x)Y(y) - d X = d Y = λ X dx Y dy cte fç x fç y

3 Assi # d X dx λ X = X = C cosλx C si λx % $ % d Y dy λ Y = Y = C 3 e λy C 4 e λy &% ( ) θ = ( C cosλx C si λx) C 3 e λy C 4 e λy CC :θ(y) = C = ( ) = CC :θ(x) = C siλx C 3 C 4 C 3 = C 4 (pois C pois θ é fução de x) ( ) = CC :θ(l y) = C C 4 siλl e λy e λy siλl = λ = π L ( =3...) θ = C C 4 si πx L e πy / L e πy / L ( ) = C si πx πy sih L L 3

4 Coo o problea é liear θ(x y) = = C :θ(xw) == C si πx L = sih πy L C si πx L sih πw L () - O cálculo de C é feito usado fuções ortogoais (qualquer fução f(x) pode ser escrita e teros de ua série ifiita de fuções ortogoais: f (x) = A g (x) () = b b f (x)g (x)dx = g (x) A g (x) dx a a - Obs: g (x)g (x) g (x) são ortogoais e o itervalo (ab) se: = (3) g (x)g (x)dx = a b 4

5 O úico tero ão ulo da eq. (3) é quado =: b b f (x)g (x)dx = A g (x)dx a A = a b a f (x)g (x)dx a b g (x)dx Coparado as equações () e (): Etão: f (x) = = A g (x)! = C si π x sih πw =!# "# L$!# " L$# f (x) A usado a eq. abaixo: g (x) f (x) = g (x) = si πx L A = C = [( ) ] π sih(πw /L) L L si πx L dx si πx L dx = π = 3... ( ) 5

6 Assi θ(x y) = π = ( ) si πx L sih(πy /L) sih(πw /L) θ= θ= θ=.75 θ=.5 θ=.5 θ= θ= 6

7 4. - Métodos aproxiados - Forece soluções aproxiadas - Soluções deve ser coparadas co resultados experietais ou de casos ais siples - Ex.: étodos gráficos e étodos uéricos 7

8 4.3 - Método de difereças fiitas - A solução é obtida e potos discretos - O prieiro passo é defiir os potos discretos dividido o doíio de iteresse e pequeos volues. E cada volue teos poto odal Malha coputacioal Poto odal x y - y y -/ / x - x 8

9 - Equação de codução de calor pode ser aproxiada por difereças fiitas: 9 = k q y x! - Bi-diesioal regie peraete = q y k y x k x! - Bi-diesioal regie peraete codutividade térica costate

10 - Equação de calor D regie peraete e se geração de calor obtida a partir de difereças fiitas: x /x / /x / Δx x / Δx x / Δx x Aalogaete y () ( Δx) () ( Δy) - y -/ / - x

11 Para ua alha uifore (i.e. x= y) e se geração de calor Equação algébrica aproxiada - eq. calor obtida por difereças fiitas Substituido () e () a equaçao de codução de calor te-se ( ) ( ) = k q y x! Δ Δ ( ) (4) 4 = k x q Δ! Para ua alha uifore (i.e. x= y) (4) 4 =

12 -A equação tabé pode ser obtida a partir de u balaço de calor o VC que coté o poto odal (): q E e E g = 4 % ( q i q ' ΔxΔyΔz * = & ) i= Lei de Fourier : q = k( Δy.) Δx q = k( Δx.) Δy = Assi a equação de eergia -D regie peraete e co geração de calor para alha uifore fica: q ( Δx ) k 4 = (4)

13 - As eqs. discretizadas deve ser resolvidas para cada poto odal. -Para potos o cotoro as equações deve ser obtidas separadaete a partir de u balaço de calor - Exeplo: h q = kδy Δx q = k Δy Δx q = kδx Δy q = k Δx Δy 3

14 -Balaço de calor o poto odal cosiderado covecção a superfície extera: q = h Δx. ( ) h Δy. ( ) 4 q i ) i= cod q = ( ) : Para alha uifore Δx = Δy ( ) h Δx k ( 3 hδx * - ) k = 4

15 Exeplo: Usado o étodo de balaço de eergia derive a equação de difereças fiitas para () u plao localizado ua superfície isolada co geração de calor itera. q - y x x/ - 5

16 - Solução das equações de difereças fiitas: - A solução dos sisteas de equações pode ser obtida por étodos diretos ou iterativos Métodos diretos: evolve u úero fixo de operações Aritéticas. São ais utilizados para soluções de sisteas pequeos Pois usa uita eória e gasta uito tepo coputacioal. Métodos iterativos: ais utilizados para a soluções de siteas Grades. Requisitos coputacioais reduzidos. 6

17 -Método de iversão de atrizes Cosidere u sistea de N equações e N icógitas A cada poto odal () é associado u úero I O sistea de equações algébricas a ser resolvido é dado por: " a a a a N N = c $ a a a a N N = c # $ % $ a N a N a N a NN N = c N ' a a a 3 a N *' * ' c * ) ) ) ) a a a 3 a N ) ) c ) a 3 a 3 a 33 a 3 N ) 3 = ) c 3 ) ) ) ) ) ) () a N a N a N 3 a NN () N c () N [ A] [ ] = [ A ] C [ ] [ ] [ C] [ A ] [ ] = [ C] [ ][ ][ ] [ A A = A ][ C] $!#!" I Obs.: O cálculo de atrizes iversas pode ão ser uericaete eficiete 7

18 -Método iterativo de Gauss-Seidel. As equações algébricas deve ser ordeadas tal que os eleetos diagoal seja aiores que os outros ( a > a a 3 ) sistea diagoal doiate (taxa de covergêcia axiizada). Depois desta reordeação deve-se explicitar a icógita (): i k = c i a ii i j = a ij a ii j k N a ij k i: N j j = i a ii k:iteração 3. Deve-se forecer u valor iicial para e cada poto odal 4. Novos valores para são calculados a cada iteração k 5. As iterações teria quado u critério de covergêcia é satisfeito (p.ex. ik - i k- ε) 8

19 Coetários Os resultados obtidos uericaete deve ser sepre verificados: - Pode ser feitos balaços de eergia - Coparações co resultados experietais - Soluções de probleas co esas características poré co alguas siplificações (p.ex. geoetrias ais siples) -Coparações co soluções exatas cohecidas -Coparações co resultados uéricos da literatura A defiição da alha coputacioal deve levar e cota o fato de que os resultados ão pode depeder da alha: testes de alha deve ser realizados. A alha escolhida deve levar e cota a precisao dos resultados e o custo coputacioal: resultado ais preciso aior custo coputacioal 9