Problemas fundamentais da teoria da aproximação funcional

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1 . 24 GAZETA DE MATEM ATIÇA Cosequêcias : ) Caso b>a. a É claro que o acotecieto A 2 Ai é -0 a certeza, isto é, j?(.í4) =. Coo para é AiAj = 0, podeos escrever: * a F- p(a) ^ ou ou aida & <-o. 0 N 2 Fi = N, dode a fórula da aálise coi-o bíatória, 2) Caso b < a Neste caso os acotecietos Ai+{ (í =,2,,a b) são ipossíveis, isto ó, />(Aft+i) = 0. Tereos etão dode ÍL = I R ou, desevolvidaete, b fórula be cohecida da Aálise Cobiatória. Probleas fudaetais da teoria da aproxiação fucioal por Luít G. M. de Albuquerque (Cotiuação do úero aterior) ó. Sistea de vectores ortogoais e orto-oredos. Dois sisteas de vectores liearete idepedetes dize-se equivaletes quado gera a esa variedade liear. U sistea fiito ou ifiito de vectores liearete idepedetes x de u espaço de HILBEBT é ortogoal quado se verifique a codição (a\,xj) = 0 para i=j=j. O sistea fiito ou ifiito de vectores liearete idepedetes e de espaço de HILBEBT, H, diz-se orto-orado quado (6. ) > «J) ode é o síbolo de KROENECKER. TEOREMA A. De todo o sistea de vectores liearete idepedetes de H (6. 2) xi,x3,,x, é possível deduzir u sistea orto-orado de vectores, equivalete'ao dado. Deostração Para provar o teorea basta dar o processo de costrução do sistea orto-orado a partir de (6. 2), por u étodo devido a E. SCHMIDT (907). Podo et XíI Xi, co a^o, é et =; seja depois yi~xt (x^, e,)e\, de odo que (ffi,et)=0, e fazedo et -y2j, fica e2 ortogoal co et e tal que ]es] = l;

2 GAZETA DE MATEM ATIÇA 25 procededo sepre de igual odo, obté-se : y+ = 2 ' e e '' i sedo yu + i ortogoal co cada pois (jfb+t, et) (x+x,«,) - 2( * + * e j) (%»,2,. -,/í), (»*+! f «í) Sc^+t' e j)àij = o ; j-i e portato, podo co esta lei de correspodêcia facilete se verifica que a dois vectores distitos ett e ea> de \ex\aea correspode dois vectores distitos xu e x< de j X _, e, e isso basta para que o teorea fique deostrado ; aditaos etão que era x = x>', coo por (6. 3) se te ficaria e \\x-e*,\\<±\/2 (6. 4) ea- < ex x + j[a;* es/ j< \/2 ; por outro lado o C+i ortogoal co cada ((i=, 2 ). Este processo coduz, coo se desejava, a u sibtea de vectores ei, e2 et que é orto-orado, pois verifica (6. ), e alé disso equivalete ao sistea dado, pois ex = a, i e2 = a2 aji + ai2 x-i «= «üti + <*«a + * * + a co «=/^^0, a~ /^^=0 (4 = 2,...,,...). TEOREMA B, Nu E.ÍJOAJORFE HILBERT separável, todo o sistea orto-orado é fiito ou uerável. Deostração. Seja II u espaço de HILBERT, separável, e \e%\%ea u sistea orto-orado de vectores de II, isto é, tais que (e*, )=0 ou cosoate se te <x=f=<x' ou a = a!; e íbi, «j o cojuto uerável de vectores a:teii que é deso e II. Vaos ostrar que etre os cojutos ) x - e U e a se pode estabelecer ua correspodêcia bi-uívoca. Supohaos que a cada e \ ea se faz correspoder u vector x e ) x j tal que IK-MP-IKIP + visto ser (ex,e,') = Of ou seja He«ett- = /2 limp-a igualdade e cotradição co (6. 4). Assi, ão pode ser x = xi, e o teorea fica deostrado. TKOREMA C. Se Pí JT = T,í,... é u sistea ortogoal (ão ecessariaete orto-orado) de vectores de u espaço de HILBERT, a série (6. 5) 9,+eH + e +... e a série de teros positivos (6. 6) Oi 2 + II a -f Hle 2 + são da esa atureza. Deostração. Desigeos por s e <J as soas dos 7 prieiros teros das séries (6. 5) e (6. 6), respectivaete. Na étrica do espaço de HILBERT cosiderado a prieira série será covergete desde que [J s s < V& ou SN SM 2 <3 para >- > ^(3) ; as; : s II a H 2 «llfc +l ( \ B 2 «i» 2 * ) («*>*); í--f-l / *= + l i-+

3 2G GAZETA DE MATEM ATIÇA e coo (efc,eí) = 0 para V-Jw i K^IP-«--^! jt=f»+ WH- esta últia igualdade ostra que as séries (6. 5) e (ti. 6) são da esa atureza, coo desejavaos cocluir. Fialete, TKOJÍEMA D. OS vectores de u sistea orto-orado são liearete idepedetes. Deostração. Se jet é u sistea orto- -orado de vectores de u espaço de IÍIL- BEKT, qualquer que seja a relação (6. 7) 2 ^ - 0 só pode ter a solução trivial «0 { =,2,,); pois se u dos a* for diferete de zero, por exeplo a^o, ultiplicado {tí, 7) escalarete por et viha: TL T. o=2 e d 2= a > dos a?*), pode-se pór a questão de saber qual seja, etre os vectores (7. ) da variedade V, aquele que está à íia distâcia de y, isto é, pâr o problea da deteriação dos coeficietes at de odo que (7.2) a (ar, y) 2 ax~ y t=t seja íia. Se existir u vector a?0 estas codições, direos que ele 6 o polióio de elhor aproxiação de y e V (*), ou que ê a projecção de y a variedade V : (7. 3)[ Xq -y = i 2 «X y O problea a resolver cosiste, portato, e torar íia a fução dos parâetros a*: Í *» *«) 2 y V - 2 at* x o que é ipossível. 7. Aproxiação liear os espaços lieares orados. Seja E u espaço liear orado, defiido sobre u corpo f, e cosidere-se os vectores liearete idepedetes de E x ( =, 2,, ) Notareos, e prieiro lugar, que f ua fução cotíua dos a- te-se j p (a'j,, a') ff (a,, -.., a ) = y 2 e coo a idetidade y - 2 é que gera a variedade liear Vez E, costituída por vectores que se pode escrever a foria (7. ) x 2 * co os at e f. Sedo dado u vector yee V (que ão é possível expriir liearete e fução y 2 (y 2 a * + 2( a * «'*) X (*) O vector x0 é u polióio e,2,..-,) e coeficietes o corpo f; daí a desigação. Cof, I. SIKSEK, opropriétati ale euprafetei sterei uitate si aplicatii la resolvarea probleet uicitatii polioului de cea ai bua aproiiatie i spatü BANACR oarccare», Studii ti cercetari at., Vol. (9r>6), p. 95 esa.

4 GAZETA DE MATEM ATIÇA 27 dá, por aplicação de 73), 4 : fica < 7% 9 2 *'* x * < y - 2 x * + t 2 (a* a')x tp (a'j,, a') (a,,, a) 2 (e»t - a'i) xt \ ou aida < 2 i (*'t > *'' i») ~? t a i ' '''» ") C ax A «i &' -2 X t Xí de base j Xi,., x }, existe e V pelo eos u vector à íia distâcia de y. Se a ora do espaço é forte, esse vector é úico. Deostração. Retoe-se a fução ão egativa, e seja o seu liite iferior ; vaos ostrar que é possível deteriar ua esfera SR 2 I a = R2 de raio tal que o exterior dela seja sepre <P (*i >V * * «i») > + * - Seja R = ( + > -f (jí [), e cosidereis os os potos de coordeadas ( <*i, *, [ ) exteriores a SK, isto ó, tais que o que estabelece a cotiuidade da fução <p. De aeira aáloga se ostraria que 2 X Da relação a * x " y + llfb> 2 2 a * x * é ua fução cotiua dos seus arguetos. Assi, a superfície esférica de equação 2 3 =, que é u cojuto fechado e liitado de u espaço euclidiao co diesões, aditirá u íio ji > 0 (visto sere liearete idepedetes x e a relação 2 X " ^ âo aditir se- ão a solução trivial). Posto isto podeos estabelecer o seguite os tira-se <p( i>.**' J a ) = 2 <*X y > 2 <** x * -rllffll X & coo se te : a- 'vi -X = -Ilidi) TEOREMA DK EXISTÊNCIA. Cosiderado o vector y e E, ão pertecete à variedade V

5 28 GAZETA DE MATEMATICA e atige a superfície da esfera 2l a *i a = l i o íio p, segue-se que,-,««)> y/í assi, o exterior da esfera S os valores de <p satisfaze à desigualdade çc«,,"»,«.)> ( + * + II ff II - + >. F Deste odo, o liite iferior ). da fução o é o seu liite iferior o doíio fechado e liitado 2l«* 2 <^; e coo a fução f é ai cotíua, segue-se que J é u íio, isto ê, existe pelo eos u poto {a", - -, aü.) ode se te \ = i 9 (ai,- -, a) = («", a«} = (7. 4) 2 a x y os vectores estas codições (7.5) xa^^a"xev t dão o polióio de elhor aproxiação de y e V, e a prieira parte do teorea fica deostrada. Provareos agora que, se a ora do espaço E cosiderado é forte, o vector Xq as codições de (7. 5) è úico. Supohaos que existia e V u outro vector x as esas codiçoes, isto é, tal que = i9(a,.,«) * 2 X y para o vector de V co as copoetes aí + «V ter-se-ia : í 2 & t _ dode: 2 x y + * ^2 aí X* y^j + ^2 a '* 2 aíic x y = \ 2 «í y + 2 «* y as sedo a ora do espaço igualdade só è possível quado / IH \ forte, esta 2 aí x " y a (2 a '* ** y ) Í ora se a^l, tira-se da últia igualdade IH que dá y coo cobiação lioear dos ou seja yev, cotitráriaete à hipótese; te, pois, de ser a =, e este caso ficaria 2 (aí a')x = 0, equação que, e virtude de sere os xt liearete idepedetes, só te a solução trivial a* a* = 0 (Jc =, - *, JK). Portato : é x0 = x', e o vector (7. 4) é úico. O teorea fica assi copletaete deostrado (*). (*) Cofr, N. L Ahciaser, Vorlesuge über Approxialios-theorie, Herliii, 953, pág. 0-2, e L. A. Ljusteri W. I Sobotew, Eleete der Futioalaa/ytis, Berli, 955, páp (Cotiua o próxio úero) x,