1- Resolução de Sistemas Lineares.

Transcrição

1 MÉTODOS NUMÉRICOS PR EQUÇÕES DIFERENCIIS PRCIIS 1- Resolução de Sistemas Lieares Matrizes e Vetores Resolução de Sistemas Lieares de Equações lgébricas por Métodos Exatos (Diretos) Resolução de Sistemas Lieares de Equações lgébricas por Métodos Iterativos Covergêcia dos Métodos Iterativos.

2 1.1- Matrizes e Vetores Muitos problemas podem ser reduzidos a um sistema liear de m equações algébricas com icógitas. a x + a x + a x = b a x + a x + a x = b a x + a x + a x = b m1 1 m2 2 m m a11 a12 a1 x1 b1 a a a x b = 2 a a a x b m1 m2 m ou x = b

3 1.1- Matrizes e Vetores Processameto de Images: recohecimeto de padrões, apredizagem de máquia. a11 a12 a1 a a a am1 am2 am Pixel: meor parte de uma imagem Imagem Biária Matriz Numérica Imagem gerada por Computação Gráfica

4 Defiições Básicas Uma matriz é um cojuto de úmeros arrajados em forma retagular com m lihas e coluas. m a11 a12 a1 a a a am1 am2 am = Matriz de ordem mx, ode a ij são os elemetos. a11 a12 a1 a a a a1 a2 a = Se m= a matriz é chamada quadrada de ordem.

5 Defiições Básicas Se m=1 a matriz é chamada vetor liha. Se =1 a matriz é chamada vetor colua. [ a a a ] 1 = m 1 a11 a 21 = am1 Matriz de ordem 1x, vetor liha. Matriz de ordem mx1, vetor colua. Note que um escalar (úmero) pode ser represetado como uma matriz de ordem 1x1. [ a ] = 11 11

6 Defiições Básicas Uma matriz quadrada da forma a a = a é chamada matriz diagoal. Se a ij =1 temos a matriz idetidade ou uidade: = = E = I Uma matriz com todos seus elemetos zeros é chamada matriz zero e deotada por. 0 m

7 Defiições Básicas Uma matriz quadrada é chamada matriz triagular superior (iferior) se os elemetos abaixo (acima) da diagoal pricipal são zeros. a11 a12 a1 a a a a a a = a1 a2 a 22 2 = Matriz Triagular Superior Matriz Triagular Iferior

8 Operações com Matrizes Duas matrizes são dita ser iguais se tem a mesma ordem e seus elemetos são todos iguais. = B se a = b i, j m m Se defie a soma etre duas matrizes da mesma ordem: B ij + B = C tal que c = a + b m m m ij ij ij ij a + b a + b a + b a + b a + b a + b a + b a + b a + b m + m = m1 m1 m2 m2 m m Similarmete se defie a difereça etre duas matrizes da mesma ordem.

9 Operações com Matrizes Da defiição de soma de matrizes seguem as propriedades: + ( B + C ) = ( + B ) + C m m m m m m + B = B + m m m m + 0 = m m m Se defie a multiplicação de uma matrizes por um escalar α αa αa αa αa αa αa αa αa αa m = m α = m1 m2 m

10 Operações com Matrizes Da defiição aterior seguem as propriedades: 1 = m m 0 = 0 m m α ( β ) = ( αβ) m m ( α + β) m = αm + βm α ( + B ) = α + αb m m m m Se defie a multiplicação etre duas matrizes como: B = C m q q m ode ( i = 12,, m; j = 12,,, ) c = a b + a b + + a b = a b ij i j i j iq qj il lj l= 1 q

11 Operações com Matrizes Ou seja: B = C m q q m a11 a1 2 a1 q b11 b12 b1 c11 c12 c1 a a a q b b b c c c = am1 am 2 amq bq 1 bq2 bq cm1 cm2 cm Desta defiição seguem as propriedades: ( B C ) = ( B ) C m p p q q m p p q q α ( B ) = ( α ) B m p p m p p ( + B ) C = C + B C = D m p m p p m p p m p p m C ( + B ) = C + C B = D q p q m m p m p q m m p q m m p

12 Operações com Matrizes Note que o produto de duas matrizes ão é sempre comutativo: m q q = m q p = q p B C B C Quado m m m m se diz que as matrizes são comutativas (m=). Por exemplo, a matriz idetidade de ordem é comutativa com toda matriz quadrada da mesma ordem e verifica: E = E =. Note que a matriz idetidade cumpre o rol da uidade o produto. Exemplo: B = B B C = = B C 22

13 Matriz Trasposta Se defie a matriz trasposta como a troca das lihas pelas coluas de uma matriz: a11 a12 a1 a11 a21 am 1 a a a a a a T m m e = m= am1 am2 am a1 a2 am Como caso particular a trasposta de um vetor liha é um vetor colua e vice-versa. Da defiição seguem as propriedades: T ( ) = T m m ( + B ) = + B T T T m m m m ( B ) = B T T T m m m m m m m m

14 Matriz Trasposta Se diz que uma matriz é simétrica se ela é igual a sua T trasposta: (tem que ser uma matriz quadrada) m m= m m a11 a12 a1 m a11 a21 am 1 a a a m a a a T m = = m= am1 am2 amm a1m a2m amm a = a i j m m com ij ji. Note que o produto de uma matriz por sua trasposta é sempre uma matriz simétrica porque: B = = ( ) = ( ) = B T T T T T T T m m m m m m m m m m m m m m m m ode foram usadas as propriedades T T ( ) = ( B ) = B m m T T T m m m m m m m m

15 Matriz Iversa e Determiate Uma matriz quadrada tem iversa se seu produto pela direita e pela esquerda com esta matriz produz a matriz idetidade: = = E toda matriz quadrada pode ser associado um úmero chamado de determiate da matriz e defiido como: a a a det = a21 a22 a2 = ( 1) ( α1, α2,, α ) a a a 1 2 a a a 1α 2α α ode a soma é realizada sobre todas as permutações de ( α, α,, α ) 1 2 dos elemetos 12,, e ℵ é 0 se a permutação é par e 1 se é impar. ℵ 1 2

16 Matriz Iversa e Determiate Exemplo: ( α, α, α ) det a11 a12 a13 = a a a = a a a ℵ 0 1 = ( 1) a a a = ( 1) a a a + ( 1) a a a ( 1) aaa + ( 1) aaa + ( 1) aaa + ( 1) aaa = a a11 a12 a13 = a a a, a a a det α 2α 3α a a a a a + a a a a a a + a a a a a a E = 1 Para duas matrizes quadradas da mesma ordem se verifica: det( B ) = det( B ) = det det B

17 Matriz Iversa e Determiate Uma matriz quadrada é dita ser sigular se seu determiate é zero. Caso cotrário é dita ser ão sigular. Teorema: Toda matriz quadrada ão sigular possui uma iversa (úica). lgumas propriedades de uma matriz iversa: det 1 det = 1 ou det 1 = 1/ det ( B ) 1 = B T T 1 = ( ) ( ) Note que as equações X = B e Y = B det 0 podem ser resolvidas através da iversa se X = B e Y = B 1

18 Valor bsoluto e Norma de uma Matriz B desigualdade m m etre matrizes da mesma ordem sigifica que aij bij. Se defie m como a matriz cujos elemetos são a. Se e são matrizes para ij m Bm as quais faz setido as operações de soma e produto, etão: + B + B m m m m B B m m m m α α α m m com sedo um escalar. Observe que estas defiições são costruídas de forma a preservar os cohecimetos que se verificam para os úmeros (escalares - Matriz de ordem 1).

19 Valor bsoluto e Norma de uma Matriz Defiimos como orma de uma matriz um úmero real que satisfaz as seguites codições: a) b) c) d) Note que usado c) segue: logo Similarmete logo m 0 com = 0 se e somete se = 0 α α m m m m m m + B + B m m m m B B m m m m B = + ( B ) + B B = B B m m m m m m m m m m m m m B B B B m m m m m m m m

20 Valor bsoluto e Norma de uma Matriz Etre todas as ormas possíveis destacamos três: 1) 2) 3) Exemplo: p q = max a ij (m-orma) p q m i j = max a ij (l-orma) p q p q l = a k j i, j i ij 2 (k-orma) = max 37, =7 (m-orma) = m i { } 2 2 max 46, 6 (l-orma) { } = = l j 2 2 = = 30 (k-orma) k

21 Valor bsoluto e Norma de uma Matriz Outro exemplo, agora para a matriz idetidade E : E 1 m = l = E 1 E = k (m-orma) (l-orma) (k-orma)

22 Rak de uma Matriz Seja uma matriz retagular de ordem mx. Chamamos Meor de ordem k desta matriz ao determiate da matriz de ordem k formada pela escolha arbitrária de k lihas e k coluas, ode k m mi( m, ) a11 a12 a1 a a a = am1 am2 am Defiição: O Rak de uma matriz é a ordem do maior Meor ão ulo da matriz. Ou seja, a matriz tem Rak r se: m 1- existe pelo meos um Meor de ordem r diferete de zero, 2- todos os Meores de ordem maior ou igual a r+1 são zero. a a a a Meor de Ordem 2 a a a a m1 m2

23 Rak de uma Matriz Em outras palavras, o Rak correspode ao úmero de lihas e coluas liearmete idepedetes da matriz. O Rak da matriz zero é defiido como zero. Note que o Rak da Matriz Idetidade de ordem é = = det 4 4 = Logo o Rak de 4 4 é 3.

24 Trasformações Elemetares de uma Matriz 1- Itercambio de duas lihas ou duas coluas. 2- Produto de todos os elemetos de uma liha (colua) pelo mesmo úmero diferete de zero. 3- Soma dos elemetos de uma liha (colua) pelos elemetos de outra liha (colua). Duas matrizes são dita ser equivaletes se uma pode ser obtida a partir da outra através de um úmero fiito de trasformações elemetares. s matrizes equivaletes ão são iguais, mas tem o mesmo Rak = = = 233 Rak=3

25 Idepedêcia Liear e Base j x, com j = 1,, m 1 2 m α x + α x + + α m x = α 0 Um cojuto de vetores é dito ser liearmete depedete se para algum escalar j. Ou seja, se algum destes vetores é uma combiação liear dos outros. Caso cotrario se diz que os vetores são liearmete idepedete. Teorema: Um espaço de dimesão tem o máximo vetores liearmete idepedetes. Defiição: Qualquer cojuto de vetores liearmete idepedete de um espaço de dimesão é uma base deste espaço. Teorema: Todo vetor de um espaço de dimesão pode ser represetado de forma úica como combiação liear dos vetores de uma base.

26 Produto Escalar (Itero) Sejam os vetores de úmeros complexos y e 1 2. Se defie o produto escalar como o úmero xy, = ( y, y,, y ) ( ) * = i= 1 x y ode é o complexo cojugado. Propriedades do Produto Escalar: 1- Positivo defiido e se e somete se. i i * y i xx, x= 0 ( ) * 2- Simetria Hermitiaa. αx, y = α x, y α ( ) ( ) 3- ode é um escalar. (,,, ) x1 x2 x Defiição: Dois vetores são dito ser ortogoais se seu produto escalar é zero:. x i i i i= 1 i= 1 = = xx = x ( yx, ) = ( xy, ) * xy, = 0 ( ) 2 0 ( ) xx, = 0

27 lgus Propriedades de uma Matriz Matriz Não Sigular Matriz Sigular Tem iversa s coluas são idepedetes s lihas são idepedetes O determiate é ão zero x=0 tem uma úica solução x=0 x=b tem uma úica solução x= -1 b tem pivôs (ão zero) Rak = ordem da matriz Todos os autovalores são ão zero T é simétrica e defiida positiva Não tem iversa s coluas são depedetes s lihas são depedetes O determiate é zero x=0 tem ifiitas soluções x=b ão tem solução ou tem ifiitas tem r< pivôs Rak< Zero é um dos autovalores da matriz T ão é defiida positiva

28 Frase do Dia Number rules the Uiverse. The Pythagoreas Cometário sobre os úmeros racioais e irracioais.