Interpolação. Interpolação Polinomial

Transcrição

1 Iterpolação Iterpolação Poliomial

2 Objetivo Iterpolar uma fução f(x) cosiste em aproximar essa fução por uma outra fução g(x), escolhida etre uma classe de fuções defiidas (aqui, usaremos poliômios). g(x) é usada em substituição à fução f.

3 Problemática A ecessidade de efetuar esta substituição surge quado: Quado são cohecidos os valores uméricos da fução para um cojuto de potos (tabelados) e é ecessário calcular o valor da fução em um poto fora desse cojuto (um poto ão tabelado). Quado há uma expressão algébrica da fução e verificase que difereciá-la e itegrá-la, por exemplo, são tarefas demasiadamete complexas (ou impossíveis).

4 Um Exemplo A seguite tabela mostra o calor específico c da água correspodete à temperatura T (ºC): Temperatura ( C ) Calor Específico 0, , , , , , ,99878 Supohamos que se queira calcular: o calor específico da água a 32,5 ºC a temperatura para a qual o calor específico é 0,99837 A iterpolação os ajuda a resolver este tipo de problema

5 Em equação Cosideremos +1 valores distitas: x 0,..., x (ós da iterpolação) e os valores de f(x) esses potos: f(x 0 ),..., f(x ). Queremos determiar a fução g(x) tal que: g(x 0 )=f(x 0 )... g(x )=f(x )

6 Graficamete

7 Classe de fuções Em osso caso, cosideramos a fução g(x) com um elemeto da classe de fuções poliomiais. Tetaremos aproximar a fução f(x) a partir de um cojuto de valores com uma fução do tipo: a 0 +a 1 x+...+a x

8 Iterpolação poliomial Dados os +1 potos (x 0,f(x 0 )),..., (x,f(x )), queremos aproximar f(x) por um poliômio p (x) de grau meor ou igual a : f(xk )=p (x k ) ; k=0,1,... Questões: esse poliômio existe? Ele é úico?

9 Iterpolação poliomial Cosiderado que p o poliômio escreve-se p (x)= a 0 +a 1 x+...+a x, a codição f(x k )=p (x k ), para k = 0,1,...,, produz o seguite sistema de +1 equações e +1 icógitas: a0 a1x0... ax0 f ( x0 ) a0 a1x1... ax1 f ( x1 )... a0 a1x... ax f ( x)

10 Iterpolação poliomial: matriz A matriz do sistema é: 1 x0... x 0 1 x1... x1 A x... x Essa matriz é uma matriz de Vadermode, desde que x 0,..., x são potos distitos, temos det A 0. Etão o sistema admite uma solução úica.

11 Prova Podemos proceder da forma seguite: O determiate pode ser cosiderado como um poliômio em x 0 : 1 x... x x1 1 x x... x = a + a x + a x a x E um poliômio de grau com raízes: x 1 a x, ele pode ser escrito (x i -x 0 ); i 0

12 Determiate de Vadermode O determiate da matriz de Vadermode pode ser escrito da forma seguite: x 0 0 x x... 1 x x... x = Õ - j 0 i< j ( x x ) i

13 Iterpolação poliomial: teorema Em outros termos, podemos dizer que: Existe um úico poliômio p (x) de grau tal que p (x k )=f(x k ), k=0,1,..., desde que x i x j por j k.

14 Obter p (x) Para obter o poliômio p (x), existem diversos métodos, o mais direto sedo a resolução do sistema liear. A escolha do método depede de várias codições: a estabilidade do sistema, performace computacioal,...

15 Resolução do sistema Vamos ecotrar o poliômio de grau 2 que iterpola os potos da tabela: x f(x) Cosiderado p 2 (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2. Temos o sistema: a 0-a 1+a 2 =4 7 2 a 0 =1 a 0 1, a 1, a a 0 +2a 1+4a 2 =-1

16 Codicioameto A determiação dos coeficietes pela resolução do sistema é um processo simples, mas o sistema pode ser mal codicioado e sua resolução com umeração a poto flutuate pode produzir resultados errados. Existem outros métodos para determiar os poliômios de iterpolação. Como existe uma solução úica, qualquer método que determia uma solução determia a solução úica.

17 Método de Lagrage Forma de Lagrage Cosiderado os +1 potos (x 0,y 0 =f(x 0 )),..., (x,y = f(x )) e o poliômio iterpolador p (x). Lagrage propôs de represetar o poliômio p (x) da forma: p (x)=y 0 L 0 (x)+..+y L (x), ode L k (x) são poliômios de grau e a codição p (x i )=y i, i=0,..., seja satisfeita.

18 Forma de Lagrage A melhor forma de ter a codição: p (x i )=y i i=0,...,, é impor: 1 se k i L k (x i)= 0 se k i Por isso, pode-se defiir: L k ( x) ( x x )( x x )...( x x )( x x )...( x x ) 0 1 k 1 k 1 ( x x )( x x )...( x x )( x x )...( x x ) k 0 k 1 k k 1 k k 1 k

19 Forma de Lagrage O umerador de L k (x) é um produto de fatores em x. Logo L k (x) é de grau. Podemos verificar também que: 1 se k i L k (x i)= 0 se k i A forma de Lagrage para o poliômio iterpolador é: ( x x ) j 0, j k ( ) k k ( ), k ( ) k 0 p x y L x L x j 0, j k ( x x ) k j j

20 Iterpolação liear Iterpolação de dois potos (x 0,y 0 =f(x 0 )) e (x 1,y 1 =f(x 1 )). Usado a forma de Lagrage, temos: ( x x ) ( x x ) ( x x) y ( x x ) y p ( x) y y ( x0 x1 ) ( x1 x0 ) ( x1 x0)

21 Exemplo Seja a tabela: x f(x) Temos: L ( x) L ( x) L 2 ( x x1 )( x x2) ( x 0)( x 2) x 2x ( x x )( x x ) ( 1 0)( 1 2) ( x x0 )( x x2 ) ( x 1)( x 2) x x 2 ( x x )( x x ) (0 1)(0 2) ( )( ) ( 1)( 0) ( x) ( x x )( x x ) (2 1)(2 0) 6 2 x x0 x x1 x x x x x 2x x x 2 x x 7 2 p ( x) 4 1 x x

22 Forma de Newto Cosiderado os +1 potos (x 0,f(x 0 )),..., (x,f(x )) e o poliômio iterpolador p (x). Newto propôs de represetar o poliômio p (x) da forma: p (x)=d 0 +d 1 (x-x 0 )+d 2 (x-x 0 )(x-x 1 )+...+d (x-x 0 )...(x-x -1 ) Os coeficietes d k, k=0,..., são difereças divididas de ordem k etre os potos (x j,f(x j )), j=0,...,k

23 Operador difereças divididas f(x) é uma fução tabelada em x 0,...,x. Os operadores de difereças divididas são defiidos por: é f [ x0 ] = f ( x0) ordem0 ê ê f [ x1 ]- f [ x0 ] f [ x0, x1 ] = ordem1 ê x1 - x0 ê ê f [ x1, x2] - f [ x0, x1 ] f [ x0, x1, x2] = ordem 2 ê x2 - x0 ê ê f [ x1,..., x ] - f [ x0,..., x- 1] f [ x0,..., x ] = ordem ê ë x - x0

24 Operador difereças divididas x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2... Ordem x 0 f[x 0 ] f[x 0, x 1 ] x 1 f[x 1 ] f[x 0, x 1, x 2 ] f[x 1, x 2 ] x 2 f[x 2 ] f[x 1, x 2, x 3 ] f[x 0,..., x ] f[x -2, x -1, x ]... f[x -1, x ] x f[x ]

25 Operador difereças divididas EXEMPLO x f(x) x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem /2-1 1/ /

26 Exemplo x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem /2-1 1/ / p 4 (x)=1+0(x-(-1))+(-1/2)(x-(-1))(x-0)+(1/6)(x-(-1))(x-0)(x-1)+(-1/24)(x-(-1))(x-0)(x-1)(x-2) p 4 (x)=d 0 +d 1 (x-x 0 )+d 2 (x-x 0 )(x-x 1 )+d 3 (x-x 0 )(x-x 1 )(x-x 2 )+d 4 (x-x 0 )(x-x 1 )(x-x 2 )(x-x 3 ) p 4 (x)=1-(1/2)(x+1)x+(1/6)(x+1)x(x-1)-(1/24)(x+1)x(x-1)(x-2)

27 Forma de Newto Podemos provar que as difereças divididas satisfazem a propriedade seguite: f [ x,..., x ] f [ x,..., x ] 0 k j0 j k Ode j 0,..., j k é qualquer permutação de 0,..., k.

28 Forma de Newto Forma de Newto para o poliômio iterpolador: Seja uma fução f(x) cotíua e com tatas derivadas cotíuas ecessárias um itervalo [a,b]. Sejam a=x0 <x 1 <...<x =b Vamos costruir o poliômio p (x) que iterpola f(x) em x 0,..., x, costruido sucessivamete os poliômios p k (x), k=0,...,

29 Forma de Newto Cosiderado a tabela: x f(x) x Ord 0 Ord 1 Ord / p x x x ( ) =

30 Estudo do erro A aproximar a fução f(x) por um poliômio, comete-se um erro: E (x)=f(x)-p (x)

31 Estudo do erro Teorema: Sejam x 0 <...<x, seja f(x) com derivadas até ordem (+1) para x o itervalo [x 0,x ]. Em qualquer poto x do itervalo [x 0,x ], o erro é dado por: ( 1) f ( x ) E( x) ( x x0)...( x x), ode x [ x0, x ] ( 1)!

32 Estudo do erro Do teorema precedete, podemos deduzir que: Dois corolários: Se a derivada de ordem +1 é cotíua em [x0,x ], ( 1) f ( x ) f [ x0, x1,..., x, x], x [ x0, x], x [ x0, x] ( 1)! Se além disso, x1 -x 0 =x 2 -x 1 =...=x -x -1 =h M 1 ( 1) E( x) ( x x0)...( x x), M 1 max ( f ( x) ) ( 1)! x [ x0, x] 1 h E( x) M 1 4( 1)

33 Estudo do erro Se a fução é dada a forma de uma tabela, só podemos estimar o valor absoluto do erro. Mas a tabela de diferecias divididas é costruída até ordem +1, podemos usar o maior valor destas M difereças como aproximação para: 1 ( 1)! Nesse caso, o valor do erro pode ser majorado com: E ( x) = ( x - x )...( x - x ) max( + ) diferecias divididas de ordem 0 1

34 Iterpolação iversa Trata-se de, cohecedo um valor y de (f(x 0 ),f(x )), aproximar um valor de x tal que f(x)=y. Uma solução cosiste em iterpolar f(x) e em seguida resolver a equação f(x)=y. No caso de graus elevados (>2), a resolução da equação pode ser difícil e ão temos avaliação do erro cometido. Uma outra solução cosiste em efetuar uma iterpolação iversa, ou seja determiar um poliômio iterpolador de f -1 (x). Com a iterpolação iversa, podemos calcular uma avaliação do erro cometido. A iterpolação iversa só poder ser feita com uma fução moótoa.

35 Grau do poliômio Trata-se de determiar o grau do poliômio para iterpolar uma fução em um poto: Deve-se costruir a tabela de difereças divididas. Se a vizihaça do poto de iteresse, as difereças divididas de ordem k são praticamete costates, podemos cocluir que um poliômio de grau k é suficiete.

36 Newto-Gregory No caso em que os x 0,...,x são igualmete espaçados, podemos usar a forma de Gregory-Newto. Diféreças ordiarias: f(x)=f(x+h)-f(x) f(x)= f(x+h)- f(x) f(x)= f(x+h)- f(x)...

37 Newto-Gregory Podemos costruir a tabela de difereças ordiárias da mesma forma que a tabela de difereças divididas. Teorema: Se: Etão: x = x + jh, j = 0,1,..., j 0 0 f [ x,..., x ] = D f ( x0 ) h!

38 Newto-Gregory No caso em que os x 0,...,x são igualmete espaçados, podemos escrever o poliômio iterpolador: 2 Df ( x0 ) D f ( x0) p ( x) = f ( x0) + ( x - x0) + ( x - x0)( x - x1) + 2 h 2h D f ( x0 )... + ( x - x0)...( x - x- 1) h!

39 Newto-Gregory Usado uma mudaça de variáveis: s=(x-x 0 )/h Temos: (x-x j )=(s-j)h e p (x)=f(x 0 )+s f(x 0 )+s(s-1) f(x 0 )/2+...