KRIGAGEM UNIVERSAL (Metodologia geoestatística para dados não estacionários)

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1 KRIGAGEM UNIVERSAL (Metodologia geoestatística para dados ão estacioários) Para a obteção de um variograma é suposto que a variável regioalizada teha um comportameto fracamete estacioário, ode os valores esperados, assim como sua covariâcia espacial, sejam os mesmos por uma determiada área. Assume-se, desse modo, que os valores detro da área de iteresse ão apresetem tedêcia (tred ou drift) que possam afetar os resultados. O variograma é utilizado para calcular os valores de variâcia, para uma dada distâcia, os quais são ecessários para a orgaização do sistema de equações da krigagem.

2 Efeito pepita puro. Não há covariâcia espacial etre os valores. A Geoestatística ão se aplica Variograma idica tedêcia os valores 5 6 A variável regioalizada ão é estacioária mas apresetam uma tedêcia e seus resíduos cotém a hipótese itríseca. Uma variável regioalizada ão estacioária pode ser cosiderada como costituída por dois compoetes: o tred que cosiste o valor médio ou esperado dessa variável detro de uma certa vizihaça e que varia sistematicamete, e o resíduo que é a difereça etre os valores reais e o tred. Se o tred for removido os resíduos poderiam ser estacioários e a krigagem poderia ser aplicada. 7 8

3 Krigagem uiversal Krigagem dos resíduos Krigagem Uiversal Defie-se a tedêcia em fução das coordeadas dos potos de cotrole, adotado-se geralmete poliômios de baio grau, ou seja, de primeira ou de seguda ordem. Se i e i forem as coordeadas dos potos de cotrole de uma certa vizihaça estabelecida pela aálise variográfica, a tedêcia T em um certo poto P descohecido será: Tp = ai + ai, para uma tedêcia de ª ordem Tp = ai + ai + ai + aii + a5i, para uma tedêcia de ª ordem 9 Os descohecidos poderadores λs, assim como o coeficiete de Lagrage () e os coeficietes a's, são ecotrados pela solução de um sistema de equações lieares cujo resultado forece o melhor estimador e a míima variâcia associada. Sedo i, j ) variâcias etre potos estimadores; i, ) variâcias etre o poto i estimador e o poto a ser estimado; i e i as coordeadas dos potos A estimativa potual (Z) em zi, a preseça de tedêcia de grau dos dados, requer para sua solução um cojuto de equações ormais simultâeas para a determiação dos i poderadores; do multiplicador de Lagrage,, itroduzido para equilibrar a restrição o sistema; e dos coeficietes i da tedêcia. ) [ Ku], ),, ) ), ),, ) ), ),, ), ), ), ) p p [] = [A] - [B]

4 Eistem críticas com relação à aplicação da Krigagem Uiversal, pois embora seja matematicamete correta, surgem dificuldades para separar o feômeo em duas compoetes, ou seja, uma tedêcia determiística e uma flutuação casual baseada apeas a difereça etre distâcias Opção, etão, é pela Krigagem dos Resíduos. Krigagem dos Resíduos: a) estimação liear do tred e sua remoção; b) krigagem dos resíduos estacioários para a obteção das estimativas ecessárias; c) resíduos estimados são combiados com o tred para a obteção da estimação da superfície real. 5 Eistem algumas difereças etre a Krigagem Uiversal e a Krigagem dos Resíduos. A KU apreseta estimativas tato referete à tedêcia como aos resíduos ao mesmo tempo. Isso sigifica que se esta ajustado a tedêcia cada vez que a krigagem é efetuada um poto e ão ajustado uma superfície global ao cojuto de dados. A outra difereça é que a variâcia da krigagem uiversal iclui tato a estimativa devida à tedêcia como aquela resultate dos resíduos. Por outro lado, a krigagem dos resíduos, com posterior correção pela adição da tedêcia, assume que ão haveria erro essa operação. A Krigagem Ordiária é um caso especial quado ão ocorre uma mudaça costate a tedêcia. 6 Eemplo Seja uma situação, apresetada por Davis (986:9-), em que se quer estimar a cota altimétrica de um determiado poto p do ível estático de um aqüífero a partir de dados obtidos em poços. Prelimiarmete, supor que essa variável ão apreseta deriva e desse modo o método a ser utilizado é o da krigagem potual. A aálise estrutural, previamete feita, produziu um semivariograma do tipo liear com uma icliação de.m/km detro de uma vizihaça de km 5 p

5 As coordeadas espaciais dos poços são as seguites: 7 Poços Xi Yi Zi,, 6,, 5,, p,,? Dispodo esses valores um sistema de equações ormais com icógitas e resolvedo-o para os i e, obtém-se os valores: =,595; =,97; =,7; = -,7 A cota do aqüífero o poto "p" é: Z(p)=,595()+,97()+,7() = 5,m O desvio padrão associado a tal estimativa é: S k =, m Assumido uma distribuição gaussiaa para esses dados, pode-se supor que o valor estimado é da ordem de 5,,6 m, com uma chace de erro de 5%. 8 Em seguida, uma outra situação a qual a hipótese é que os dados apresetam uma tedêcia e, portato, o método a ser utilizado é o da krigagem uiversal; além disso, este caso, para a determiação do mesmo poto aterior são adicioados mais dois valores obtidos a partir dos poços e 5: Poços Xi Yi Zi,8, 5,, p Deslocado a origem do sistema para o poto a ser estimado e dispodo esses valores em matrizes para a solução dos i e dos i: =,; = -,; =,9; =,; 5 =,96 = -,75; =,66 =, O valor estimado em p é: Z(p)=,()-,()+,9()+,(5)+,96(8)=,9m Sk =,85m A difereça etre o valor ecotrado por KU, da ordem de,9m, e o obtido por KO, 5,m, ão é muito grade e isso é devido ao arrajo espacial dos poços em relação a p, o qual localiza-se uma posição itera aos potos cohecidos de cotrole. A aplicação da krigagem uiversal tora-se evidete, porém, quado é ecessário que a estimativa deva ser feita, por etrapolação, em uma situação etera e distate dos potos de cotrole. No presete caso, o ível estático mergulha de oeste para leste, caido por volta de m etre os poços e e se a superfície mativer essa tedêcia, ou deriva, é de se esperar valores mais altos que m a oeste de "" e valores meores que a leste de "". Seja, portato, a estimativa de um valor situado a origem do sistema de coordeadas, isto é, z (,). Nesta situação obtém-se, por krigagem potual: = -,; =,; =,75; = -,; 5 =,89; = 7,9 Z(,) = -,()+,()+,75()-,(5)+,89(8) = 7m S k = 7,m ; S k =,6m 5

6 Assumido, em seguida, uma tedêcia de º grau, os coeficietes i, e i ecotrados pela krigagem uiversal são: = -,559; = -,; =,; =,5; 5 =, = 6,8; = -,79; = -,795 Z (,) = 6,6m S k = 6,8m; S k = 5,7m Neste caso as difereças obtidas segudo os dois métodos é bem maior (7, e 6,6), pois para a estimativa foi levado em cosideração a tedêcia do mergulho da superfície detro dos potos de cotrole, a qual foi projetada para o poto z (,). Também o erro associado a tal estimativa é maior, pois o valor ecotrado icorpora tato a icerteza da estimativa como a própria estimativa da tedêcia. Eemplo: 7 poços proveietes do aqüífero High Plais o Estado orte-americao do Kasas. Aqüífero costituído por areias aluviais e eólicas associadas a depósitos de preechimeto de vales de uma dreagem que se dirige de oeste para leste a partir das Motahas Rochosas. Nesses poços foram obtidas as coordeadas X e Y (milhas) e a variável WTE (water table elevatio)/cota do ível piezométrico (pés) (Olea, R.A. (999) Geostatistics for Egieers ad Earth Scietists: Kluwer Academic Publishers) Cotas do ível piezométrico Variograma idicado tedêcia 6

7 Variograma Superfície de tedêcia liear Resíduos positivos e egativos Histogramas Variograma dos resíduos Resíduos Directio:. Tolerace: Distâcia h 7

8 Variograma modelado Mapa dos resíduos obtido pela krigagem ordiária Mapa dos desvios padrão da krigagem ordiária dos resíduos Estes resultados dizem respeito aos valores residuais, havedo ecessidade de uma correção. Isso pode ser feito acrescetado ao mapa de krigagem o mapa de tedêcia liear ateriormete obtido Para a obteção desse mapa corrigido utilizar o SURFER. Deve-se etrar em Grid e, em seguida, em Math e atribuir ao iput grid file A o arquivo que cotém o mapa com os valores krigados e atribuir ao iput grid file B o arquivo que cotém o mapa de tedêcia. Para a fução C = f(a, B) estabelecer C = A + B, que origia o arquivo com o mapa corrigido. As dimesões dos arquivos A e B devem ser eatamete as mesmas. 8

9 V a r i o g r a m a V a r i o g r a m a Mapa da cofiguração do ível piezométrico obtido pela krigagem ordiária, após correção SURFER WTE Directio:. Tolerace: Idício de tedêcia os dados Distacia h Mapa: valores estimados por krigagem uiversal WTE Directio:. Tolerace: Krigagem uiversal 5 5 Tedêcia liear Distacia h 6 9

10 Desvios-padrão da krigagem uiversal EXERCÍCIO : Regressão poliomial Com o auílio do SURFER aplicar o algoritmo Polomial Regressio/Regressão poliomial aos dados do Eercício. Calcular superfície de tedêcia liear e respectivo mapa de resíduos para os tres metais pesados (cádmio, cobre, chumbo). Os mapas de resíduos deverão ser obtidos pelo algoritmos Iverse Distace to a Power/Iverso do Quadrado da Distâcia e Natural Neighbor/Viziho Natural. 7 8 Verificar as zoas de resíduos positivos de cada elemeto e comparar com os respectivos mapas de localização das amostras, com valores proporcioais às magitudes, obtidos o eercício.