Probabilidades e Estatística

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1 Departameto de Matemática robabilidades e Estatística LEGM, LEIC-A, LEIC-T, LEMat, MEBiom, MEFT, MEQ 2 o semestre 2011/ o Teste A 08/06/2012 9:00 Duração: 1 hora e 30 miutos Justifique coveietemete todas as respostas! Grupo I valores 1. O úmero de carros que passam em cada período de um miuto um determiado poto de uma autoestrada é uma variável aleatória com distribuição de oisso de valor esperado λ. Tedo por base a cotabilização do úmero de automóveis que passam esse poto da autoestrada em cada um de 100 itervalos de um miuto, seleccioados ao acaso: (a) Deduza o estimador de máxima verosimilhaça de λ. Será que o estimador é cetrado? (3.0) V.a. de iteresse X úmero de carros que passam em cada período de um miuto... Distribuição X oisso(λ) arâmetro descohecido λ E(X) V (X), λ > 0 F.p. (X x) form e λ λ x x!, x 0, 1, 2,... Amostra x (x 1,..., x ) amostra de dimesão proveiete da população X Obteção do estimador de MV de λ asso 1 Fução de verosimilhaça X i idep L(λ x) (X i x i ) X i X ( e λ ) λ xi x i! e λ λ xi x, λ > 0 i! asso 2 Fução de log-verosimilhaça l L(λ x) λ + l(λ) x i l(x i!) asso 3 Maximização 1 A estimativa de MV de λ é aqui represetada por ˆλ e d l L(λ x) dλ 0 (poto de estacioaridade) λˆλ ˆλ : d 2 l L(λ x) dλ < 0 (poto de máximo) λˆλ 2 + xi 0 ˆλ xi < 0 ˆλ 2 ˆλ 1 x i x, média da amostra roposição verdadeira 1 Este procedimeto só deve ser aplicado se x i 0, sedo o resultado obtido, ˆλ x, também válido se x i 0. ágia 1 de 8

2 asso 4 Estimador de MV de λ Será represetado pela v.a. EMV(λ) 1 X i, média da amostra aleatória. Estimador de MV de λ é cetrado? EMV(λ) é um estimador cetrado de λ sse E( ) λ, λ > 0. Ora, ( ) E( ) 1 E X i 1 E(X i ) X i X 1 E(X) E(X) λ, λ > 0. Assim, coclui-se que é um estimador cetrado de λ. (b) Sabedo que foi cotabilizada a passagem de um total de 950 carros o referido poto da (2.0) autoestrada o cojuto dos 100 itervalos de um miuto seleccioados, costrua um itervalo, com ível de cofiaça de aproximadamete 95%, para o parâmetro λ. V.a. X i úmero de carros que passam o i ésimo período de um miuto, i 1,..., 100 i.i.d. X i X Situação X oisso(λ) λ descohecido 100 >> 30 (suficietemete grade) Obteção de IC para λ asso 1 Selecção da v.a. fulcral para λ Utilizaremos a v.a. fulcral para λ Z E( ) EMVV ( )] λ EMV(λ/) λ a ormal(0, 1), uma vez que os foi solicitada a determiação de um IC aproximado para o parâmetro do modelo de oisso e a dimesão da amostra justifica o recurso a uma aproximação distribucioal. asso 2 Obteção dos quatis de probabilidade Dado que (1 α) 100% 95% α 0.05, os quatis a utilizar são { a α Φ 1 (1 α/2) Φ 1 (0.975) tabela b α Φ 1 (1 α/2) Φ 1 (0.975) Estes equadram a v.a. fulcral para λ com probabilidade aproximadamete igual a (1 α). asso 3 Iversão da desigualdade a α Z b α (a α Z b α ) 1 α ( a α λ b α ) 1 α b α λ a α ] 1 α Φ 1 (1 α/2) λ + Φ 1 (1 α/2) ] 1 α. ágia 2 de 8

3 asso 4 Cocretização Ao ter-se em cosideração que 100 x 1 x i Φ 1 (1 α/2) , coclui-se que o IC aproximado a 95% para λ é dado por ] x IC(λ) x ± Φ 1 (1 α/2) ] ± , ]. 2. Uma máquia produz peças cujo comprimeto, X, é uma variável aleatória com distribuição ormal, de parâmetros µ 20 cm e σ 1 cm se a máquia está afiada. De modo a cotrolar a produção, um operador da máquia seleccioou ao acaso 10 peças que coduziram aos seguites resultados: 10 x i e 10 (x i x) (a) Cosiderado σ descohecido, diga o que pode cocluir sobre a hipótese de µ 20 cm, ao ível (2.5) de sigificâcia de 2%. V.a. de iteresse X comprimeto de uma peça Situação X ormal(µ, σ 2 ) µ descohecido σ 2 descohecido Hipóteses H 0 : µ µ 0 20 H 1 : µ µ 0 20 Nível de sigificâcia α Estatística de teste T µ 0 S H0 t ( 1) pois pretedemos efectuar um teste sobre o valor esperado de uma população ormal com variâcia descohecida. Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) Tratado-se de um teste bilateral (H 1 : µ µ 0 ), a região de rejeição de H 0 é uma reuião de itervalos do tipo W (, c) (c, + ), ode c : (Rejeitar H 0 µ µ 0 ) α 0, i.e., Decisão Uma vez que c F 1 t ( 1) (1 α 0 /2) 10 F 1 t (10 1) (1 0.02/2) F 1 t (9) (0.99) tabela x 1 x i s (xi x) , ágia 3 de 8

4 o valor observado da estatística é igual a t x µ 0 s Como t 4.36 W (, 2.821) (2.821, + ), devemos rejeitar H 0 fabricate) a qualquer.s. maior ou igual a 2%. (hipótese do (b) Teste, ao ível de sigificâcia de 5%, a hipótese da variabilidade do comprimeto das peças (2.5) produzidas pela máquia ser igual ao esperado (σ 1 cm) cotra a alterativa de ser superior ao esperado (σ > 1 cm). Situação X ormal(µ, σ 2 ) µ descohecido σ 2 descohecido Hipóteses H 0 : σ σ 0 1 H 1 : σ > σ 0 1 Nível de sigificâcia α Estatística de teste T ( 1)S2 σ 2 0 H0 χ 2 ( 1) pois pretedemos efectuar um teste sobre a variâcia de uma população ormal com valor esperado descohecido. Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) Tratado-se de mais um teste uilateral superior (H 1 : σ > σ 0 ), a região de rejeição de H 0 é um itervalo à direita do tipo W (c, + ), ode c : (Rejeitar H 0 σ σ 0 ) α 0, i.e., c F 1 χ 2 ( 1)(1 α 0 ) F 1 χ 2 (9)(0.95) tabela Decisão Dado que 10, (x i x) e σ 0 1, o valor observado da estatística é igual a ( 1) s2 t σ0 2 (x i x) σ 2 0 Dado que t 5.95 W (16.92, + ), ão devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. meor ou igual a 5%. ágia 4 de 8

5 Grupo II valores 1. As medições de uma ezima, referetes a uma amostra casual de 100 pacietes que sofrem de hepatite viral aguda, ecotram-se agrupadas em classes a tabela seguite: Classe ]2.4, 2.5] ]2.5, 2.6] ]2.6, 2.7] ]2.7, 2.8] Número de pacietes Será que uma distribuição ormal, com valor esperado 2.6 e desvio padrão, se ajusta bem a estes (4.0) dados? Teste esta hipótese com base o valor-p. V.a. de iteresse X medição de uma ezima em paciete com hepatite viral aguda Hipóteses H 0 : X Normal(2.6, 2 ) H 1 : X Normal(2.6, 2 ) Estatística de Teste k (O i E i ) 2 T E i a H0 χ 2 (k β 1), ode: k No. de classes; O i Frequêcia absoluta observável da classe i; E i Frequêcia absoluta esperada, sob H 0, da classe i; β No. de parâmetros a estimar 0. Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) or estar a efectuar-se um teste de ajustameto, a região de rejeição de H 0 escrita para valores de T é um itervalo à direita W (c, + ). Frequêcias absolutas esperadas sob H 0 ara já, ote-se que o cojuto de valores possíveis da distribuição Normal(2.6, 2 ) é IR; daí que se passe a cosiderar duas ovas classes: os itervalos ], 2.4] e ]2.8, +, respectivamete, com frequêcia observada 0. Se para além disso atedermos a que F X H0 (x) Φ ( ) x 2.6, as frequêcias absolutas esperadas sob H 0, E i p 0 i (X classe i H 0), são, para i 1, 2, iguais a E 1 X ], 2.4] X Normal(2.6, 2 ) ] ( ) Φ 100 Φ( 2) Φ(2)] tabela 100 ( ) E 2 X ]2.4, 2.5] X Normal(2.6, 2 ) ] ( ) ( )] Φ Φ 100 Φ( 1) Φ( 2)] 100 ( ) ágia 5 de 8

6 E 3 X ]2.5, 2.6] X Normal(2.6, 2 ) ] ( ) ( )] Φ Φ 100 Φ(0) Φ( 1)] 100 ( ) E, por simetria da f.d.p. da Normal(µ, σ 2 ) em toro de µ 2.6, obtêm-se as restates frequêcias esperadas sob H 0 : E 4 E , E 5 E , E 6 E É ecessário agrupar classes uma vez que se verifica E i 5 em meos de 80% das classes (em todas elas tem-se E i 1). Agrupem-se as duas classes que violam essa codição, a 1 a e a 6 a : ficado a ova classe igual a ], 2.4] ]2.8, + com frequêcia observada 0 e frequêcia esperada sob H 0 igual a Decisão No cálculo do valor observado da estatística de teste covém adiatar a seguite tabela auxiliar. Classe i Freq. abs. obs. Freq. abs. esper. sob H 0 arcelas valor obs. estat. teste i o i E i p 0 (o i E i ) 2 i E i 1 ova ], 2.4] ]2.7, (0 4.56) ]2.4, 2.5] ( ) ]2.5, 2.6] ]2.6, 2.7] ]2.7, 2.8] k oi 100 k Ei 100 t k (o i E i ) 2 E i Decisão (com base em itervalo para o valor-p) Uma vez que este teste está associado a uma região de rejeição que é um itervalo à direita temos: valor p (T > t H 0 ) (T > H 0 ) 1 F χ 2 (5 0 1) (5.2997). Recorredo às tabelas de quatis da distribuição do qui-quadrado podemos adiatar um itervalo para o valor-p deste teste. Com efeito, ao equadrarmos coveietemete t , obtemos sucessivamete Logo: F 1 (0.70) χ 2 (4) < < F 1 χ(4)(0.80) < F χ 2 (5.2997) < 0.80 (4) < valor p < ão devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 20%, por exemplo, a qualquer dos íveis usuais de sigificâcia de 1%, 5% e 10%; devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 30%. Alterativa Decisão (com base o valor-p determiado usado máquia de calcular) ágia 6 de 8

7 Uma vez que este teste está associado a uma região de rejeição que é um itervalo à direita temos: valor p (T > t H 0 ) Cosequetemete: (T > H 0 ) 1 F χ 2 (5 0 1) (5.2997) ão devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. α %, por exemplo, a qualquer dos íveis usuais de sigificâcia de 1%, 5% e 10%; devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 > %. 2. Num estudo sobre seguraça rodoviária, pretede-se aalisar a ifluêcia da velocidade a que um veículo pesado se desloca (x, em metros por segudo) sobre a distâcia percorrida pelo veículo após o iício da travagem (Y, em metros), deomiada distâcia de travagem. Cosidere o modelo de regressão liear simples, Y i β 0 + β 1 x i + ɛ i (i 1,..., ), com as hipóteses de trabalho habituais, e que as observações relativas a 52 veículos pesados coduziram aos seguites resultados: 52 x i 1 138, 52 x2 i , 52 y i 249.7, 52 y2 i , 52 x iy i (a) Obteha as estimativas de míimos quadrados de β 0 e β 1 e iterprete a estimativa de β 1. (2.0) Modelo de RLS Y i β 0 + β 1 x i + ɛ i Y i distâcia de travagem do i ésimo veículo pesado x i velocidade a que o i ésimo veículo pesado se desloca ɛ i erro aleatório associado à medição da distâcia de travagem do i ésimo veículo] Estimativas de β 0 e β 1 Uma vez que 52 e x i 1 138, x 1 x i x2 i x2 i ( x) y i 249.7, ȳ 1 y i y2 i y2 i (ȳ) x iy i x iy i x ȳ ,] a estimativa dos míimos quadrados de β 1 e β 0 são, para este modelo, iguais a: ˆβ 1 x iy i xȳ x2 i ( x) ˆβ 0 ȳ ˆβ 1 x ágia 7 de 8

8 Iterpretação da estimativa de míimos quadrados de β 1 ˆβ Caso a velocidade a que veículo pesado se desloca aumete em um m/s, estima-se que o valor esperado da distâcia de travagem aumete aproximadamete metros. (b) Costrua um itervalo de cofiaça a 95% para β 1. Será que existe uma relação liear etre a (4.0) distâcia média de travagem de um veículo pesado e a velocidade a que o mesmo se desloca? Hipóteses de trabalho ɛ i i.i.d. Normal(0, σ 2 ), i 1,..., (hipótese de trabalho) β 0, β 1, σ 2 descohecidos] ágia 8 de 8

9 IC a 95% para β 1 asso 1 V.a. fulcral para β 1 Z ˆβ 1 β 1 ˆσ 2 x2 i x2 t ( 2) asso 2 Quatis de probabilidade Já que (1 α) 100% 95% temos α 0.05 e lidaremos com dois quatis simétricos a α b α iguais a: ±F 1 t ( 2) (1 α/2) ±F 1 t (52 2) (1 0.05/2) F 1 t (50) Φ 1 (0.975) tabela ± asso 3 Iversão da desigualdade a α Z b α (a α Z b α) 1 α F 1 t ( 2) (1 α/2) { ˆβ1 F 1 t ( 2) (1 α/2) ˆβ 1 β 1 ˆσ 2 x 2 x2 i ˆσ 2 x 2 i x2 β 1 ˆβ 1 + F 1 t ( 2) (1 α/2) F 1 t ( 2) (1 α/2) 1 α } ˆσ 2 1 α. x 2 i x2 asso 4 Cocretização Tedo em cota que a estimativa de σ 2 é dada por ( ) ( ˆσ 2 1 )] yi 2 ȳ 2 ( 2 ˆβ 1 ) 2 x 2 i x 2 segue-se 1 ( ) , IC (1 α) 100% (β 1) IC 95% (β 1) ˆβ 1 ± F 1 t ( 2) (1 α/2) ± , 0.215]. 39 ] ] ˆσ 2 x2 i x2 Hipóteses H 0 : β 1 β 1,0 0 H 1 : β 1 β 1,0 0 (existe relação liear etre o valor esperado de Y e x) Decisão Ivocado a relação etre itervalos de cofiaça e testes de hipóteses bilaterais, devemos rejeitar a hipótese H 0 : β 1 β 1,0 0 2 ao.s. de α 100% 100% 95% 5% (ou a qualquer outro.s. maior que 5%) já que 0 IC 95% (β 1 ) 91, 0.215]. Esta aalogia é válida porque: a v.a. fulcral para β 1 usada a costrução do IC é também utilizada para defiir a estatística de teste sobre β 1 ; o ível de sigificâcia do teste, 5%, é igual a (100% ível de cofiaça do IC).] 2 A favor da hipótese H 1 : β 1 β 1,0 0. ágia 9 de 8