Probabilidades e Estatística

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1 Departameto de Matemática robabilidades e Estatística LEGM, LEIC-A, LEIC-T, LEMat, MEBiom, MEFT, MEQ o semestre 0/0 o Teste A 08/06/0 9:00 Duração: hora e 30 miutos Justifiue coveietemete todas as respostas! Grupo I valores. Oúmerodecarrosuepassamemcadaperíododeummiutoumdetermiadopotodeuma autoestrada é uma variável aleatória com distribuição de oisso de valor esperado.tedoporbase acotabilizaçãodoúmerodeautomóveisuepassamessepotodaautoestradaemcadaumde00 itervalos de um miuto, seleccioados ao acaso: (a) Deduza o estimador de máxima verosimilhaça de.será ue o estimador é cetrado? (3.0) V.a. de iteresse X úmero de carros ue passam em cada período de um miuto... Distribuição X oisso( ) arâmetro descohecido E(X) V (X), > 0 F.p. (X x) form e x x!,x0,,,... Amostra x (x,...,x ) amostra de dimesão proveiete da população X Obteção do estimador de MV de asso Fução de verosimilhaça X i idep Y L( x) (X i x i ) X i X i Y e x i! i e x i i xi Q i x i!, > 0 asso Fução de log-verosimilhaça l L( x) +l( ) i x i i l(x i!) asso 3 Maximização A estimativa 8 de MV de é aui represetada por ˆ e d l L( x) >< d 0 (poto de estacioaridade) ˆ ˆ : >: d l L( x) d < 0 (poto de máximo) ˆ 8 < i + xi ˆ 0 : 8 < : i xi < 0 ˆ i x i x, média da amostra roposição verdadeira Este procedimeto só deve ser aplicado se i x i 6 0,sedooresultadoobtido,ˆ x, tambémválidose i x i 0. ágia de 8

2 asso 4 Estimador de MV de Será represetado pela v.a. EMV( ) i X i X, média da amostra aleatória. Estimador de MV de é cetrado? EMV( ) X é um estimador cetrado de sse E( X), 8 > 0. Ora,! E( X) E X X i X i X i X E(X i ) i X E(X) i E(X), 8 > 0. Assim, coclui-se ue X é um estimador cetrado de. (b) Sabedo ue foi cotabilizada a passagem de um total de 950 carros o referido poto da (.0) autoestrada o cojuto dos 00 itervalos de um miuto seleccioados, costrua um itervalo, com ível de cofiaça de aproximadamete 95%, para o parâmetro. V.a. X i úmero de carros ue passam o i i.i.d. X i X Situação X oisso( ) descohecido 00 >> 30 (suficietemete grade) Obteção de IC para asso Selecção da v.a. fulcral para Utilizaremos a v.a. fulcral para X E( Z p X) X p X EMV[V ( X)] EMV( /) X ésimo período de um miuto, i,...,00 a ormal(0, ), uma vez ue os foi solicitada a determiação de um IC aproximado para o parâmetro do modelo de oisso e a dimesão da amostra justifica o recurso a uma aproximação distribucioal. asso Obteção dos uatis de probabilidade Dado ue ( ) 00% 95%, 0.05, os uatis a utilizar são ( a ( /) (0.975) tabela.9600 b ( /) (0.975) Estes euadram a v.a. fulcral para com probabilidade aproximadamete igual a ( ). asso 3 Iversão da desigualdade a apple Z apple b (a apple Z apple b ) ' apple apple a apple X X apple b! ' X b X apple apple X a X ' X ( /) X apple apple X + ( /) X '. ágia de 8

3 asso 4 Cocretização Ao ter-se em cosideração ue 00 x i x i ( /).9600, coclui-se ue o IC aproximado a 95% para é dado por r # x IC( ) x ± ( /) r # ± ' [ , 0.043].. Uma máuia produz peças cujo comprimeto, X, éumavariávelaleatóriacomdistribuiçãoormal, de parâmetros µ 0 cm e cm se a máuia está afiada. De modo a cotrolar a produção, um operador da máuia seleccioou ao acaso 0 peças ue coduziram aos seguites resultados: 0 i x i. e 0 i (x i x) (a) Cosiderado descohecido, diga o ue pode cocluir sobre a hipótese de µ 0 cm, ao ível (.5) de sigificâcia de %. V.a. de iteresse X comprimeto de uma peça Situação X ormal(µ, ) µ descohecido descohecido Hipóteses H 0 : µ µ 0 0 H : µ 6 µ 0 0 Nível de sigificâcia Estatística de teste T X µ 0 Sp H0 t ( ) pois pretedemos efectuar um teste sobre o valor esperado de uma população ormal com variâcia descohecida. Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) Tratado-se de um teste bilateral (H : µ 6 µ 0 ), a região de rejeição de H 0 é uma reuião de itervalos do tipo W (, c) [ (c, +), ode c : (Rejeitar H 0 µ µ 0 ) 0,i.e., Decisão Uma vez ue c F t ( ) ( 0 /) 0 F t (0 ) ( 0.0/) F t (9) (0.99) tabela.8. x i x i. 0. s i (xi x) ' 0.66, ágia 3 de 8

4 o valor observado da estatística é igual a t x µ 0 ps. 0 ' p p ' Como t ' 4.36 W (,.8) [ (.8, +), devemos rejeitar H 0 (hipótese do fabricate) a ualuer.s. maior ou igual a %. (b) Teste, ao ível de sigificâcia de 5%, ahipótesedavariabilidadedocomprimetodaspeças (.5) produzidas pela máuia ser igual ao esperado ( cm) cotra a alterativa de ser superior ao esperado ( > cm). Situação X ormal(µ, ) µ descohecido descohecido Hipóteses H 0 : 0 H : > 0 Nível de sigificâcia Estatística de teste T ( )S 0 H0 ( ) pois pretedemos efectuar um teste sobre a variâcia de uma população ormal com valor esperado descohecido. Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) Tratado-se de mais um teste uilateral superior (H : > 0 ), a região de rejeição de H 0 é um itervalo à direita do tipo W (c, +), ode c : (Rejeitar H 0 0 ) 0,i.e., c F ( 0 ) ( ) F (0.95) (9) tabela 6.9. Decisão Dado ue 0, t ( ) s 0 i (x i x) i (x i x) 5.85 e 0, o valor observado da estatística é igual a 0 Dado ue t W (6.9, +), ão devemos rejeitar H 0 a ualuer.s. meor ou igual a 5%. ágia 4 de 8

5 Grupo II valores. As medições de uma ezima, referetes a uma amostra casual de 00 pacietes ue sofrem de hepatite viral aguda, ecotram-se agrupadas em classes a tabela seguite: Classe ].4,.5] ].5,.6] ].6,.7] ].7,.8] Número de pacietes Será ue uma distribuição ormal, com valor esperado.6 e desvio padrão 0., se ajusta bem a estes (4.0) dados? Teste esta hipótese com base o valor-p. V.a. de iteresse X medição de uma ezima em paciete com hepatite viral aguda Hipóteses H 0 : X Normal(.6, 0. ) H : X 6 Normal(.6, 0. ) Estatística de Teste kx (O i E i ) T E i a H0 (k ), ode: i k No. de classes; O i Freuêcia absoluta observável da classe i; E i Freuêcia absoluta esperada, sob H 0, da classe i; No. de parâmetros a estimar 0. Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) or estar a efectuar-se um teste de ajustameto, a região de rejeição de H 0 escrita para valores de T é um itervalo à direita W (c, +). Freuêcias absolutas esperadas sob H 0 ara já, ote-se ue o cojuto de valores possíveis da distribuição Normal(.6, 0. )éir ;daíue se passe a cosiderar duas ovas classes: os itervalos ],.4] e ].8, +[, respectivamete, x.6 com freuêcia observada 0. Se para além disso atedermos a ue F X H0 (x) 0., as freuêcias absolutas esperadas sob H 0, E i p 0 i (X classe i H 0), são, para i,, iguais a E X ],.4] X Normal(.6, 0. ) ( ) 00 [ ()] tabela 00 ( 0.977) E X ].4,.5] X Normal(.6, 0. ) apple [ ( ) ( )] 00 ( ) ágia 5 de 8

6 E 3 X ].5,.6] X Normal(.6, 0. ) apple [ (0) ( )] 00 ( ) E, por simetria da f.d.p. da Normal(µ, ) em toro de µ.6, obtêm-se as restates freuêcias esperadas sob H 0 : E 4 E , E 5 E 3.59, E 6 E.8. É ecessário agrupar classes uma vez ue se verifica E i 5 em meos de 80% das classes (em todas elas tem-se E i ). Agrupem-se as duas classes ue violam essa codição, a a ea 6 a : ficado a ova classe igual a ],.4][].8, +[ com freuêcia observada 0 e freuêcia esperada sob H 0 igual a Decisão No cálculo do valor observado da estatística de teste covém adiatar a seguite tabela auxiliar. Classe i Fre. abs. obs. Fre. abs. esper. sob H 0 arcelas valor obs. estat. teste i o i E i p 0 (o i E i ) i E i ova +6 ],.4][].7, +[ (0 4.56) ].4,.5] (4 3.59) ].5,.6] ].6,.7] ].7,.8] k i oi 00 k i Ei 00 t k (o i E i ) i E i Decisão (com base em itervalo para o valor-p) Uma vez ue este teste está associado a uma região de rejeição ue é um itervalo à direita temos: valor p (T >t H 0 ) (T >5.997 H 0 ) ' F (5 0 ) (5.997). Recorredo às tabelas de uatis da distribuição do ui-uadrado podemos adiatar um itervalo para o valor-p deste teste. Com efeito, ao euadrarmos coveietemete t 5.997, obtemos sucessivamete Logo: F (4) (0.70) < < F (0.80) (4) (5.997) < < F (4) < valor p< ão devemos rejeitar H 0 a ualuer.s. 0 apple 0%, por exemplo, a ualuer dos íveis usuais de sigificâcia de %, 5% e 0%; devemos rejeitar H 0 a ualuer.s. 0 30%. Alterativa Decisão (com base o valor-p determiado usado máuia de calcular) ágia 6 de 8

7 Uma vez ue este teste está associado a uma região de rejeição ue é um itervalo à direita temos: valor p (T >t H 0 ) Coseuetemete: (T >5.997 H 0 ) ' F (5 0 ) (5.997) ão devemos rejeitar H 0 a ualuer.s. 0 apple %, por exemplo, a ualuer dos íveis usuais de sigificâcia de %, 5% e 0%; devemos rejeitar H 0 a ualuer.s. 0 > %.. Num estudo sobre seguraça rodoviária, pretede-se aalisar a ifluêcia da velocidade a ue um veículo pesado se desloca (x, em metros por segudo)sobre a distâcia percorrida pelo veículo após o iício da travagem (Y,emmetros),deomiadadistâciadetravagem. Cosidere o modelo de regressão liear simples, Y i 0 + x i + i (i,...,), comashipótesesde trabalho habituais, e ue as observações relativas a 5 veículos pesados coduziram aos seguites resultados: 5 i x i 38, 5 i x i 8 800, 5 i y i 49.7, 5 i y i , 5 i x iy i (a) Obteha as estimativas de míimos uadrados de 0 e e iterprete a estimativa de. (.0) [Modelo de RLS Y i 0 + x i + i Y i distâcia de travagem do i ésimo veículo pesado x i velocidade a ue o i ésimo veículo pesado se desloca i erro aleatório associado à medição da distâcia de travagem do i Estimativas de 0 e [Uma vez ue 5 e i x i 38, x i x i i x i i x i ( x) ésimo veículo] i y i 49.7, ȳ i y i i y i i y i (ȳ) i x iy i i x iy i x ȳ ,] a estimativa dos míimos uadrados de e 0 são, para este modelo, iguais a: i ˆ x iy i xȳ i x i ( x) ˆ0 ȳ ˆ x ágia 7 de 8

8 Iterpretação da estimativa de míimos uadrados de ˆ 0.03 Caso a velocidade a ue veículo pesado se desloca aumete em um m/s, estima-se ue o valor esperado da distâcia de travagem aumete aproximadamete 0.03 metros. (b) Costrua um itervalo de cofiaça a 95% para. Será ue existe uma relação liear etre a (4.0) distâcia média de travagem de um veículo pesado e a velocidade a ue o mesmo se desloca? [Hipóteses de trabalho i i.i.d. Normal(0, ),i,..., (hipótese de trabalho) 0,, descohecidos] ágia 8 de 8

9 IC a 95% para asso V.a. fulcral para ˆ Z t ( ) i x i x asso Quatis de probabilidade Já ue ( ) 00% 95% temos 0.05 e lidaremos com dois uatis simétricos a b iguais a: ±F t ( ) ( /) ±F t (5 ) ( 0.05/) F t (50) (0.975) tabela ±.009. asso 3 Iversão da desigualdade a apple Z apple b (a apple Z apple b ) 3 4 F t ( ) ( /) apple r ˆ i x i apple F t ( ) ( /) 5 x ˆ F t ( ) ( /) i x i x i x i apple apple ˆ + F t ( ) ( /) x o. asso 4 Cocretização Tedo em cota ue a estimativa de é dada por! X!# yi ȳ ( ˆ) X x i x segue-se i i ' 0.39, IC ( ) 00% ( ) IC 95% ( ) ˆ ± F t ( ) ( /) 0.03 ±.009 [0.9, 0.5]. s r 0.39 # # i x i x Hipóteses H 0 :,0 0 H : 6,0 0 (existe relação liear etre o valor esperado de Y e x) Decisão Ivocado a relação etre itervalos de cofiaça e testes de hipóteses bilaterais, devemos rejeitar a hipótese H 0 :,0 0 ao.s. de 00% 00% 95% 5% (ou a ualuer outro.s. maior ue 5%) já ue 0 6 IC 95% ( )[0.9, 0.5]. [Esta aalogia é válida porue: a v.a. fulcral para usada a costrução do IC é também utilizada para defiir a estatística de teste sobre ; o ível de sigificâcia do teste, 5%, é igual a (00% ível de cofiaça do IC).] AfavordahipóteseH : 6,0 0. ágia 9 de 8