3 Introdução à inferência estatística

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1 3 Itrodução à iferêcia estatística Itrodução à iferêcia estatística Pág Este tipo de estudos as sodages eleitorais têm como objetivo aferir o setido de voto dos eleitores. Isto permite, ão só uma moitorização da realidade política e social, mas também que as forças políticas e os cadidatos a cargos políticos possam avaliar a eficiêcia das estratégias de campaha que estão a seguir, o seu próprio desempeho político e a popularidade. 1.. Devido à dimesão da população, a iquirição de todos os elemetos que a costituem, para além de demorar muito tempo, também evolveria certamete custos muito avultados. Tudo isto toraria o processo impraticável. Nesta situação particular, toda a população será iquirida, salvo as absteções, o dia das eleições, ou seja, em vez de uma sodagem estaríamos perate o próprio ato eleitoral em si. Obviamete que os resultados apresetados a sodagem podem ser diferetes daqueles que a realidade irão produzir- -se, sedo que a qualidade da sodagem depederá da forma como ela foi costruída e realizada, assumido a escolha da amostra um papel fulcral Selecioaria uma amostra aleatória e represetativa dos aluos da escola, utilizado os métodos de amostragem estudados o 10.º ao. Por exemplo, seriam selecioados, aleatoriamete e de forma proporcioal ao que ocorre a população, aluos de ambos os sexos e de todos os aos de escolaridade. Aos aluos selecioados seria etão aplicado o iquérito ou perguta..1. μ = 0, , ,8 + 0, ,0 4 = 1,19 Iterpretação: O guarda-redes sofre, em média, 1,19 golo por jogo... P( ) = P( = ) + P( = 3) + P( = 4) = = 0,8 + 0,05 + 0,0 = 0,35 A probabilidade pedida é 0,35 (ou 35%)..3. σ = (0 1,19) 0,5 + (1 1,19) 0, ( 1,19) 0,8 + (3 1,19) 0, (4 1,19) 0,0 σ = 0, , , , ,1579 = 0,9348 ]1,19 0,9348 ; 1,19 + 0,9348[ = ]0,55 ;,148[ P(0,55 < <,148) = P( = 1) + P( = ) = = 0,40 + 0,8 = 0,68 0,68 50 = 34 Em 34 jogos. Repare que, se admitirmos que a distribuição é ormal obtemos um resultado igual uma vez que sabemos que: P(μ σ < < μ + σ) 0,687. Cosequetemete, 0, jogos Admitamos que represeta o peso dos aluos do 11.º ao da escola. Sabemos que P( 6) = 50%. No etato, ão podemos afirmar com certeza absoluta que metade dos aluos pesa meos de 6 kg. Apeas podemos dizer que a probabilidade de selecioar um aluo ao acaso que pese pelo meos 6 kg é de 50%, ou seja, que se espera que 45 aluos pesem pelo meos 6 kg. 3.. P( < 54) = 0,5 P(54 < < 6) = P( 54< < 70) 0,687 = 0,5 = 0,5 = 0, ,9% 3.3. Recorredo à calculadora: P(58 < < 65) 0,3376 0, aluos com peso compreedido etre 58 kg e 65 kg. Proporção: 30 = Aproximadamete, 1 3 dos aluos. Pág População: todos os aluos da escola... Proporção de aluos da escola que se revelam muito satisfeitos com as codições da biblioteca..3. Proporção de aluos da amostra que se revelam muito satisfeitos com as codições da biblioteca. Valor da estatística: 4 = 7 = 0,7= 70% Podemos utilizar a estatística para prever/estimar que 70% dos aluos da escola revelam-se muito satisfeitos com as codições da biblioteca. Assim, 0, = 315. Prevê-se que 315 aluos da escola se revelem muito satisfeitos com as codições da biblioteca = 5 amostras de dois elemetos. 3.. Pág (30, 30) (30, 8) (30, 4) (30, 3) (30, 6) 8 (8, 30) (8, 8) (8, 4) (8, 3) (8, 6) 4 (4, 30) (4, 8) (4, 4) (4, 3) (4, 6) 3 (3, 30) (3, 8) (3, 4) (3, 3) (3, 6) 6 (6, 30) (6, 8) (6, 4) (6, 3) (6, 6) Médias = xi P( = xi)

2 µ = = 8 5 ( 30 8) + ( 8 8) + ( 4 8) + ( 3 8) + ( 6 8) σ = 5 = 8 Recorredo à calculadora gráfica obtemos: µ = 8 e σ = Recorredo à calculadora gráfica calculamos: P( > 0) = 0,5 P(16,55 < < 0) 0,5 0,489 = = 0,011 = 1,1% A probabilidade pedida é, aproximadamete, 1,1%. 7.. Pretede-se determiar P( μ 0,50). 16,55 Seja Z ~ N(0, 1), etão Z = = 1,50Z + 16,55 1,50 Assim: ( 0,50) P µ = P( 1,50Z + 16,55 16,55 0,50) = 0,50 0,50 = P( 1,50Z 0,50) = P Z 0,611 1,50 1,50 A probabilidade pedida é, aproximadamete, 0, Note-se que: σ = = 4= σ Coclusão: µ = µ e σ = Pág amostras 4.. Como 30, o teorema do limite cetral garate que a distribuição de amostragem da média pode ser aproximada por uma distribuição ormal com valor médio μ e desvio-padrão σ. Assim, o valor médio é 165 cm e o desvio-padrão = cm. Pág Pretedemos obter uma estimativa para o valor médio, logo basta determiar a média da amostra recolhida x = 36 4,4 Estima-se que são comuicadas, em média, cerca de 4,4 avarias por dia. Pág Tedo em cota o teorema do limite cetral, espera-se que possa ser modelada por uma distribuição ormal com valor 1 médio μ = 48 kg e desvio-padrão σ = = 1, kg. 100 Podemos escrever que ~ N(48; 1,). 6.. Pretede-se determiar P(50 < < 60). Tedo em cota que ~ N(48; 1,), recorredo à calculadora gráfica, obtém-se P(50 < < 60) 0,048. A probabilidade pedida é, aproximadamete, 4,8%. Pág Admitamos que represeta a mesada, em euros, dos adolescetes. Sabe-se que ~ N(16,55; 7,50). O teorema do limite cetral garate que 7,50 ~ N 16,55;, ou seja, ~ N(16,55; 1,50) a) b) 8,5 8,5 1 1,96 ; 1+ 1, ]10,640; 13,360[ 8,5 8,5 1,576 ; 1+, ]10,1; 13,788[ Grau de cofiaça Amplitude 90%,84 95%,7 99% 3,576 Pág. 15 Quato maior for o grau de cofiaça, maior é a amplitude do itervalo ,8 1,96 ; 73,8+ 1,96 = ]61,55 ; 86,05[ Pág. 16 0,40 0,40 1,70 1,96 ; 1,70+ 1, ]1,61; 1,79[ Tedo em cota o estudo efetuado pelo seu filho, é possível dizer-se que o sr. Arlido ão tem razão uma vez que se pode estimar, com uma cofiaça de 95%, que o valor médio dos talões está compreedido etre 1,61 e 1, Pretede-se determiar o valor de z tal que: x z ; x+ z = ]986,176; 1013,8[ s Observe-se que z é igual metade da amplitude do itervalo (raio do itervalo). Assim: ,8 986, z = z = 13, Etão z =,576. O ível de cofiaça é 99%. 13,8 500 z= População: todos os aluos da E.S. de Beiraliz. Pág. 17 Amostra: os 80 aluos da E.S. de Beiraliz selecioados.

3 1.. Vamos usar a proporção amostral, p, para estimar a proporção populacioal, p pˆ = = = 0, Estima-se que 6,5% dos aluos ão vão votar a lista A. Pág Proporção de aluos com meos de 10 valores os exames de Biologia: p = 0,0 Uma vez que a dimesão da amostra é o míimo 30, o teorema do limite cetral garate que a distribuição de modelo ormal de valor médio p = 0,0 e desvio-padrão 0,0 1 0,0 75 0,046. Assim, a proporção amostral, p, segue, aproximadamete, um modelo ormal N(0,0; 0,046) Atededo a que p ~ N(0,0; 0,046) : P(p 0,18) = 0,5 P(0,18 p 0,0) 0,5 0,17 = 0,33 A probabilidade pedida é, aproximadamete, 33%. 14. Proporção amostral: 15 p= ˆ = 0,5 50 Pág. 1 Itervalo de cofiaça: 0,5( 1 0,5) 0,5( 1 0,5) 0,5 1,96 ; 0,5+ 1, ]0,44; 0,56[ 0,5( 1 0,5) 0,5( 1 0,5) ,5 1,96 ; 0,5+ 1, ]0,45; 0,55[ 15.. Amplitude do itervalo do exercício 14.: 0,56 0,44 = 0,1 Amplitude do itervalo do exercício 15.1.: 0,55 0,45 = 0,10 Podemos cocluir que aumetado a dimesão da amostra, e matedo o grau de cofiaça, a amplitude do itervalo dimiui (o itervalo de valores é mais restrito ). Pág Itervalo de cofiaça: 4,3 4,3 48,5 1,645 ; 48,5+ 1, ]47,7 ; 49,3[ 4,3 Margem de erro: E= 1,645 0, Pretede-se determiar o valor de tal que: 4,3 1,645 4,3 1,645 = 0,5 1,645 4,3= 0,5 = 0,5 Assim, 1,645 4,3 = 00,138. 0,5 Alterativamete, pode-se aplicar diretamete a fórmula apresetada o maual z σ = E. A amostra deverá ter pelo meos 01 fucioários. Pág Aplicado a fórmula apresetada o maual, obtém-se:,576 = 0,15 ( 1 0,15) 1353,7 0,05 Devem ser iquiridas 1354 pessoas. Pág A população em estudo é o cojuto de todos os aluos portugueses do 11.º ao de escolaridade que frequetam a disciplia de Matemática Aplicada às Ciêcias Sociais Os parâmetros valor médio da CIF a disciplia de MACS e a proporção de aluos portugueses com CIF egativa a disciplia de MACS A média e a proporção amostral. CIF média a amostra: 13,6 valores Proporção de aluos da amostra com CIF egativa: 0,14 (ou 14%) Utiliza-se a estatística proporção amostral para estimar a proporção populacioal. 1 p = 1 0,14 = 0,86 Prevê-se que 86% dos aluos teham CIF positiva a disciplia de MACS ,5+ 41, , µ = = = 39, ( 35 39,4) + ( 38,5 39,4) + ( 41,1 39,4) + ( 43 39,4) σ = = 4 = 9, Valor médio: 39,4 Desvio-padrão: aproximadamete, ,5 41, (35; 35) (35; 38,5) (35; 41,1) (35; 43) 38,5 (38,5; 35) (38,5; 38,5) (38,5; 41,1) (38,5; 43) 41,1 (41,1; 35) (41,1; 38,5) (41,1; 41,1) (41,1; 43) 43 (43; 35) (43; 38,5) (43; 41,1) (43; 43) Médias 35 38,5 41, ,75 38, ,5 36,75 38,5 39,8 40,75 41,1 38,05 39,8 41,1 4, ,75 4,05 43 = xi 35 36,75 38,05 38, P( = xi) = xi 39,8 40,75 41,1 4, P( = xi) Recorredo à calculadora gráfica obtemos µ = 39, 4 e σ, µ = µ = 39, 4 e 3 σ σ =,1= =

4 19.5. Sim, o estimador é ão eviesado (ou cêtrico) pois µ = µ, ou seja, o valor médio da distribuição de amostragem da média é igual ao valor médio da população. 0. Como 30, o teorema do limite cetral garate que a distribuição de amostragem da média pode ser aproximada por uma distribuição ormal com valor médio μ e desvio-padrão σ. Assim, o valor médio é 40 cm e o desvio-padrão 7 0,9 cm, ou seja, ~ N(40; 0,9). 65 A distribuição de amostragem da média pode ser aproximada por uma distribuição ormal com valor médio 40 cm e desvio-padrão 0,9 cm. 1. Pretedemos obter uma estimativa para o valor médio, logo basta determiar a média da amostra recolhida x = = 1,5 40 Estima-se que o valor médio do úmero de defeitos os microchips produzidos pela fábrica seja de 1,5 defeito..1. Como 30, o teorema do limite cetral garate que a distribuição de amostragem da média pode ser aproximada por uma distribuição ormal com valor médio μ e desvio-padrão σ. Assim, o valor médio é 850 e o desvio-padrão 180 = 30, ou seja, ~ N(850, 30). Espera-se que a 36 distribuição de amostragem da média possa ser aproximada por uma distribuição ormal com valor médio 850 e desvio- -padrão Atededo a que ~ N(850, 30) e com o recurso à calculadora gráfica: P( > 8490) = 0,5 + P(8490 < < 850) 0,5 + 0,3413 = 0,8413 A probabilidade pedida é, aproximadamete, 84,13%. Pág Admitamos que represeta a potuação obtida os testes. Sabe-se que ~ N(85; 8), logo o teorema do limite cetral garate que a distribuição de amostragem da média pode ser aproximada por uma distribuição ormal com valor médio μ σ 8 e desvio-padrão. Assim, ~ N 85;, ou seja, 5 ~ N(85; 1,6). Etão: P( < 8) = 0,5 P(8 < < 85) 0,5 0,470 = 0,03 A probabilidade pedida é, aproximadamete, 3%. 3.. Pretede-se determiar P( μ ) 5. Seja Z ~ N(0, 1), 85 etão Z = = 1,6Z Assim: 1,6 P( μ 5) = P( 1,6Z ) = P( 1,6Z 5) 5 5 = P Z 0,998 1,6 1,6 A probabilidade pedida é, aproximadamete, 0, ,96 ; 30+ 1, ]304,7; 335,3[ 4.. Sigifica que, com uma cofiaça de 95%, estima-se que o valor médio do úmero de amigos que cada aluo do 11.º ao da E.S. de Beiraliz tem a rede social está compreedido etre 304,7 e 335, Itervalo de cofiaça de 90% : 7,5 7,5 17, 1,645 ; 17,+ 1, ]15,; 19,[ Itervalo de cofiaça de 99% : 7,5 7,5 17,,576 ; 17,+, ]14,1; 0,3[ 5.. Amplitude do itervalo de cofiaça de 90% : 19, 15, = 4 Amplitude do itervalo de cofiaça de 99% : 0,3 14,1 = 6, Ao aumetar o ível de cofiaça, de 90% para 99%, a amplitude do respetivo itervalo de cofiaça também aumeta. 6. Pretede-se determiar os valores de x e s tal que: s s x 1,96 ; x+ 1,96 = ]3,5; 40,3[ s Observe-se que 1,96 é igual a metade da amplitude ,3 3,5 do itervalo (raio do itervalo), ou seja, = 3,9. Assim, s 3, ,96 = 3,9 s= ,96 Etão s 44,5. O valor de x determia-se facilmete pois: x 3,9 = 3,5 x = 3,5 + 3,9 x = 36,4 Coclusão: x = 36,4 e s 44,5. Pág Vamos usar a proporção amostral, p, para estimar a proporção populacioal, p p= ˆ = = 0,815 e 1 p = 1 0,815 = 0, Estima-se que 18,75% dos aluos ão visitaram a exposição Proporção de muícipes que cosideram aceitável a qualidade dos serviços de recolha do lixo: p = 0,48 Uma vez que a dimesão da amostra é o míimo 30, o teorema do limite cetral garate que a distribuição de modelo ormal de valor médio p = 0,48 e desvio-padrão 0,48 1 0, ,03. Assim, a proporção amostral, p, segue aproximadamete um modelo ormal N(0,48; 0,03). 8.. Atededo a que p ~ N(0,48; 0,03) : P(p 0,45) = 0,5 P(0,45 p 0,48) 0,5 0,341 = = 0,159 A probabilidade pedida é, aproximadamete, 15,9%.

5 9.1. Seja p a proporção de trabalhadores do sexo masculio. 1 Sabe-se que p= 1 = 0,75. 4 Uma vez que a dimesão da amostra é o míimo 30, o teorema do limite cetral garate que a distribuição de modelo ormal de valor médio p = 0,75 e desvio-padrão 0,75 1 0, ,0685. Assim, a proporção amostral, p, segue, aproximadamete, um modelo ormal N(0,75; 0,0685). P(p < 0,65) = 0,5 P(0,65 p 0,75) 0,5 0,478 = = 0,07 Etão, 0, amostras. Espera-se ecotrar, aproximadamete, amostras. 9.. Seja p a proporção de trabalhadores do sexo femiio. Sabe-se que p = 0,5. Uma vez que a dimesão da amostra é o míimo 30, o teorema do limite cetral garate que a distribuição de modelo ormal de valor médio p = 0,5 e desvio-padrão 0,5 1 0,5 60 0,0685. Assim, a proporção amostral, p, segue aproximadamete um modelo ormal N(0,5; 0,0685). P(0,0 < p < 0,30) 0,5346 Etão, 0, amostras. Espera-se ecotrar, aproximadamete, 160 amostras Proporção amostral: p= ˆ = 0,6 30 Itervalo de cofiaça: 0,6( 1 0,6) 0,6( 1 0,6) 0,6 1,645 ; 0,6+ 1, ]0,45; 0,75[ Com 90% de cofiaça, estima-se que a proporção de aluos do sexo femiio a escola esteja etre 45% e 75%, aproximadamete. 0,6( 1 0,6) 0,6( 1 0,6) ,6 1,645 ; 0,6+ 1, ]0,5; 0,68[ 31.. Podemos cocluir que ao aumetar o tamaho da amostra, 3.1. matedo o ível de cofiaça, a amplitude do itervalo de cofiaça dimiui (estimativa mais precisa). Pág. 31 3,5 3,5 1,50 1,96 ; 1,50+ 1, ]11,53; 13,47[ Com 95% de cofiaça, estima-se que os clietes da loja gastem, em média, etre 11,53 e 13,47, aproximadamete. 3,5 Margem de erro: E= 1,96 0, Pretede-se determiar o valor de tal que: 3,5,576 3,5,576 = 1,5,576 3,5= 1,5 = 1,5 Assim,,576 3,5 = 36,1. 1,5 Alterativamete, pode-se aplicar diretamete a fórmula apresetada o maual z σ = E. A amostra deverá ter dimesão p = 0,16 + 0, + 0,13 = 0,51 0,51 1 0,51 0,51 1 0,51 0,51 1,96 ; 0,51+ 1, ( ) ( ) ]0,44; 0,58[ 33.. Sabe-se que p = 0,15. 0,15 1 0,15 0,15 1 0,15 0,15,576 ; 0,15+, ( ) ( ) ]0,08; 0,[ Aplicado a fórmula apresetada o maual, obtém-se: 1,96 = 0,51 ( 1 0,51) 9600,16 0,01 Terá que se laçar o dado 9601 vezes Se selecioarmos aleatoriamete várias amostras com a mesma dimesão e costruirmos os itervalos de cofiaça respetivos, cerca de 99% desses itervalos irão coter o parâmetro a estimar (o restate 1% ão o coterá). O itervalo ]0,8; 0,40[ é um itervalo de cofiaça de 99% para a proporção de empresários que cosidera que a estabilidade do emprego o setor se mateve o último ao. O que se espera é que este itervalo seja um dos 99% que cotêm a proporção que se pretede estimar. 0,40 0, E= = 0,06 A margem de erro é de seis potos percetuais Se a dimesão da amostra aumeta, a margem de erro dimiui (para um mesmo ível de cofiaça) Se o ível de cofiaça aumeta, a margem de erro também aumeta (matedo a dimesão da amostra) Se o desvio-padrão aumeta, a margem de erro também aumeta. Pág População: todos os aluos da turma 11.º. Amostra: os oito aluos da turma 11.º selecioados aleatoriamete. 1.. a) Podemos utilizar a média amostral, x, como estimativa potual do valor médio, μ. 3,50+,30+ 5,15+ 1,90+ 7,10+ 4,45+ 3,0+,90 x = 8 3,81 Estima-se que os aluos da turma 11.º trazem a carteira, em média, 3,81.

6 .1... b) Podemos utilizar a proporção amostral, p, como estimativa potual da proporção populacioal, p. 1 p= ˆ = = 0,5 8 4 Estima-se que 5% dos aluos da turma 11.º têm olhos verdes. 41,741 39,859 E= = 0,941 A margem de erro é 0, , z = 0,941 z= 65 1 Etão z 1,96. Nível de cofiaça do itervalo: 95%.3. x 0,941 = 39,859 x = 39, ,941 x = 40,8 Média amostral: 40, Como 30, o teorema do limite cetral garate que a distribuição de amostragem da média pode ser aproximada por 3.. uma distribuição ormal com valor médio μ e desvio-padrão σ. 6, Assim, o desvio-padrão é 0, , 6, 17,7 1,96 ; 17,7+ 1, ]171,1; 174,3[ 3.3. O forecedor deve estar satisfeito uma vez que sabe, com 95% de cofiaça, que o valor médio (a altura média da população) está compreedido etre 171,1 cm e 174,3 cm (e os moldes estão feitos para uma altura média de 17 cm). Pág (1 0,06) = Espera-se que litros de viho sejam de primeira categoria. 4.. Uma vez que a dimesão da amostra é o míimo 30, o teorema do limite cetral garate que a distribuição de modelo ormal de valor médio p = 0,06 e desvio-padrão 0,06 1 0, ,0019. Assim, a proporção amostral, p, segue aproximadamete um modelo ormal N(0,06; 0,0019) Atededo a que p ~ N(0,06; 0,0019) : P < pˆ < 0, A probabilidade pedida é, aproximadamete, 6,9% Sabe-se que p = 0,30. 0,30 1 0,30 0,30 1 0,30 0,30 1,645 ; 0,30+ 1, ( ) ( ) ]0,9 ; 0,31[ 5.. Sabe-se que x =,6. 0,5 0,5,6 1,96 ;,6+ 1,96 ],58;,6[ , E= 1,96 0, Margem de erro: aproximadamete, 0, Aplicado a fórmula apresetada o maual, obtém-se:,576 0,5 = ,4 0,01 A amostra terá de ter dimesão

7 Exercícios tipo exame Exercícios tipo exame Pág Para estimar a proporção populacioal podemos recorrer à proporção amostral. 1.. p = 1% + 4% = 36% Estima-se que 36% dos eleitores se equadram os íveis 1 ou. 0,08 1 0,08 0,08 1 0,08 0,08 1,645 ; 0,08+ 1, ]0,066 ; 0,094[ Com uma cofiaça de 90%, estima-se que a proporção de eleitores que se cosideram muito iformados está compreedida etre 6,6% e 9,4%, aproximadamete A margem de erro é igual a metade da amplitude do itervalo de cofiaça. Para p = 0,6, com um ível de cofiaça de 95%, tem-se: = 100 0,6 1 0,6 0,6 1 0,6 0,6 1,96 ;0,6+ 1, ]0,504 ; 0,696[ Margem de erro: = ,696 0,504 = 0,096 0,6 1 0,6 0,6 1 0,6 0,6 1,96 ;0,6+ 1, ]0,570 ; 0,630[ Margem de erro: = ,630 0,570 = 0,03 0,6 1 0,6 0,6 1 0,6 0,6 1,96 ;0,6+ 1, ]0,586 ; 0,614[ Margem de erro: 0,614 0,586 = 0,014 Como se pode observar, matedo a cofiaça, a margem de erro dimiui à medida que a dimesão da amostra aumeta. Pág Podemos recorrer à média amostral para estimar o valor médio. Assim: x = 130,7 Estima-se que em Portugal existe, em média,,7 dispositivos com ligação à iteret por habitação... Em primeiro lugar temos de determiar o desvio-padrão amostral s. s= 33,8+ 78,8+ 356,7+ 48, , ,8+ 7,5 19 1,14 89 Itervalo de cofiaça: 1,1489 1,1489,7 1,96 ;,7+ 1, ],65;,75[ Assim, com uma cofiaça de 95%, estima-se que o úmero médio de dispositivos com ligação à Iteret, por habitação, em Portugal, o ao 015, esteja compreedido etre,65 e,75, aproximadamete. Logo, com 95% de cofiaça, ão haverá motivos para duvidar do aumeto referido = aluos p= = 0, Aproximadamete, 8,8% dos aluos A: ter 18 aos B: frequeta o 11.º ao P( A B) 5160 P( A B) = = = 0,083 P( B) , ,881 0, 881,576 ; 100 ]0,5; 0,3[ 0, ,881 0, 881+, Pág. 36 Com 99% de cofiaça, estima-se que a proporção de aluos com 16 aos matriculados em CH as regiões autóomas está compreedida etre 5% e 3%, aproximadamete. Pág Admitamos que represeta o vecimeto bruto mesal dos fucioários. Sabe-se que ~ N(1410; 350), logo o teorema do limite cetral garate que a distribuição de amostragem da média pode ser aproximada por uma distribuição ormal com valor médio μ e desvio-padrão Assim, σ. 350 ~ N 1410;, ou seja, ~ N(1410; 39,13). 80 Valor médio: 1410 Desvio-padrão: 39,13

8 4.. P( 1500) 0,5 P( ) = + 0,5 + 0,489 = 0,989 = 98,9% Probabilidade pedida: aproximadamete, 98,9% Pretede-se determiar P( μ 90). Seja Z ~ N(0, 1), etão: 1410 Z = = 39,13Z ,13 Assim: P( μ 90) = P( 39,13Z ) = = P( 90 39,13Z 90) = P Z 39,13 39,13 0,9786 Probabilidade pedida: aproximadamete, 0,9786.