MAE 116 Estimação para a média FEA - 2º Semestre de 2018

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Kátia Manuela Mangueira
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2 Objetivo da aula O objetivo é estimar a média de uma população (ou de uma variável aleatória) Vamos iicialmete estudar de forma empírica a distribuição da média amostral de uma variável aleatória X. Cosideraremos quatro possíveis distribuições para X.

3 Distribuição da média amostral Para cada distribuição (ou população), vamos gerar (ou extrair) com reposição amostras de tamaho =2, 3 e 5. Para cada amostra iremos calcular a média. Supoha que um grade úmero de amostras teha sido gerado, logo teremos um grade º de médias amostrais. Costruímos etão um histograma com essas médias amostrais padroizadas. Repetimos o procedimeto para amostras maiores.

5 Iterpretação Nota-se para cada distribuição que a medida que o tamaho da amostra cresce a distribuição da média amostral se aproxima de uma distribuição ormal e a variabilidade dimiui. Portato, para grade X~ ormal

6 Teorema Cetral do Limite Temos a verdade um resultado formalmete cohecido como teorema cetral do limite: Se X 1,..., X represeta uma amostra aleatória de uma variável X de média µ e desvio padrão σ, etão para grade X ~ N(, 2 Portato, para grade a média amostral é ormal de média µ e desvio padrão σ/. )

7 Teorema Cetral do Limite (forma equivalete) Se X 1, X 2,..., X é uma amostra de uma variável aleatória com média µ e variâcia 2, etão para grade: X = X i tem distribuição aproximadamete ormal com média µ e variâcia 2. Simbolicamete X ~ N(µ, 2 )

8 Aplicação Sabe-se que o faturameto diário de um posto de gasolia segue uma certa distribuição de média R$ 20 mil e desvio padrão de R$ 2 mil. Qual a probabilidade um período de 60 dias do faturameto ultrapassar R$ 1230 mil? Portato, queremos saber qual a probabilidade da média esses 60 dias ser superior a R$ 20,5 mil.

9 Cotiuado Aplicação Como vimos a pouco a média amostral é aproximadamete ormal de média (o caso =20) e desvio padrão / (o caso 2/60 = 0,258). Portato, queremos calcular P( > 20,5) = P(Z > (20,5 - )/(/) ) = P(Z > (20,5-20)/0,258) = P(Z > 1,94) = 0,026

10 Cotiuado Aplicação (forma equivalete) De forma equivalete vimos que X = X i é aproximadamete ormal de média (o caso = 60x20 =1200) e desvio padrão (o caso 260 = 15,49). Assim, queremos calcular : P(X > 1230) = P(Z > ( )/15,49) = P(Z > 1,94) = 0,026.

11 Estimativa potual e itervalar para µ A média amostral é uma estimativa potual da média populacioal µ. Uma estimativa itervalar para µ é dada por ode ε é o erro ou margem de erro.

12 Coeficiete de cofiaça Se chamarmos de = P() o coeficiete de cofiaça do itervalo acima, temos que: Z P / / X / P X P X X P ) P(

13 Cotiuado Coeficiete de cofiaça Portato, para grade P( ) P Z ode Z ~ N(0,1).

14 Cotiuado Coeficiete de cofiaça Se chamarmos z Etão P( ) P z Z z

15 Relação para grade Podemos estabelecer a seguite relação para grade: Portato, o tamaho da amostra depede para grade do desvio padrão de X, do erro da estimativa e da precisão do itervalo. z 2 2

16 Estimativa itervalar para a média μ A estimativa itervalar para a média µ fica etão dada por X z, X z ode σ é o desvio padrão de X.

17 Exemplo 1 A reda per-capita domiciliar uma certa região tem desvio padrão σ = 250 reais e média µ descohecida. Se desejamos estimar µ com erro ε = 50 reais e cofiabilidade = P(ε) = 0,95, quatos domicílios deveremos cosultar? ε = 50 σ = 250 P(ε) = 0,950 z = 1,96

18 Cotiuado Exemplo 1 Etão, Aproximadamete 96 domicílios.

19 Exemplo 2 A quatidade de colesterol o sague das aluas de uma uiversidade tem desvio padrão σ = 50 mg/dl e média µ descohecida. Se desejamos estimar µ com erro ε = 20 mg/dl e cofiabilidade de 90%, quatas aluas deverão realizar exame de sague? ε = 20 σ = 50 P(ε) = 0,90 z = 1,65

20 Cotiuado Exemplo 2 Etão, Aproximadamete 206 aluas.

21 Situação prática Na prática ão cohecemos σ 2 e devemos substituí-lo por uma estimativa amostral, que pode ser s (x i x) 2

22 Cotiuado Situação prática Assim, a estimativa itervalar para a média μ fica dada por X z.s, X z.s ode s é o desvio padrão amostral.

23 Exemplo 3 Na aálise de 100 automóveis de uma determiada marca obteve-se cosumo médio de combustível de 12 litros por 100 km, com desvio padrão amostral de 0,9 litros. Ecotre uma estimativa itervalar de 95% para o cosumo médio de combustível dessa marca de carro. X = 12 s = 0,9 P(ε) = 0,95 z = 1,96

24 Cotiuado Exemplo 3 A estimativa itervalar fica dada por: Portato, há uma chace de 95% do itervalo [11,82 ; 12,18] cobrir o verdadeiro valor de µ.

25 Exemplo 4 Para estimar o tempo médio de estudo (em aos) da população adulta de um muicípio foram etrevistados =240 idivíduos, obtedo-se para essa amostra, média de 10,5 aos e desvio padrão de 2,6 aos. Obter uma estimativa itervalar de 90% para o tempo médio populacioal. X = 10,5 s = 2,6 P(ε) = 0,90 z = 1,65

26 Cotiuado Exemplo 4 A estimativa itervalar fica dada por: Portato, há uma chace de 90% do itervalo [10,23 ; 10,77] cobrir o verdadeiro valor de µ.

27 Caso particular Se X é Beroulli, isto é, X assume valor 1 com probabilidade p e valor zero com probabilidade 1-p, etão σ 2 =p(1-p) e portato (como vimos a aula passada): z 2 p (1 p)

28 Observação Se X é ormal, etão a média amostral tem distribuição t de Studet para qualquer tamaho de amostra e a estimativa itervalar fica dada por: X t.s, t.s ode t sai de uma distribuição t de Studet com -1 graus de liberdade. Para grade, t e z coicidem. X

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