INFERÊNCIA. Fazer inferência (ou inferir) = tirar conclusões

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1 INFERÊNCIA Fazer iferêcia (ou iferir) = tirar coclusões Iferêcia Estatística: cojuto de métodos de aálise estatística que permitem tirar coclusões sobre uma população com base em somete uma parte dela (uma amostra) Os métodos de iferêcia podem ser agrupados em duas categorias: o Estimação: potual ou itervalar o Testes de Hipóteses

2 ESTIMAÇÃO PONTUAL Um úico valor é utilizado para iferir sobre um parâmetro de iteresse. Estimador: uma fução da amostra X i= = 1 x i Estimativa: um particular valor umérico assumido por um estimador X 50 = = 10 5 Obs: Diferetes amostras levam a diferetes estimativas Esse procedimeto ão permite julgar a magitude do erro que podemos estar cometedo.

3 Propriedade dos Estimadores É importate frisar que podem existir vários estimadores para um mesmo parâmetro populacioal. Logo, a escolha do melhor estimador será feita com base em algus critérios. P1. Não-Tedecioso (Não-Viciado): diz-se que um estimador é ão viciado quado, em média, ele forece estimativas iguais ao parâmetro que ele está estimado P2. Eficiete: deseja-se que o estimador seja altamete cocetrado, ou seja, que teha pequea variâcia amostral, ou aida, que o estimador foreça, para diferetes amostras, estimativas que estejam próximas etre si P3. Cosistete: dizer que um estimador é cosistete sigifica que as estimativas forecidas por ele estão próximas do parâmetro, ou que a difereça é pequea.

4 Exemplo: Supoha que alguém deseje comprar um rifle e, detre muitos, selecioe quatro (A, B, C e D). Com o objetivo de testá-los, foram dados 15 tiros com cada um deles. A represetação gráfica é dada abaixo.

5 Algus Estimadores Potuais Importates Os estimadores apresetados a seguir possuem as propriedades: ão-viesados, cosistetes e eficietes. Média: o melhor estimador para a média populacioal µ é a média amostral. ˆµ = X = i= 1 x i Proporção: o estimador da proporção populacioal (p) é dado pela proporção amostral pˆ = S ode, S é o úmero de elemetos que apresetam uma determiada característica etre os elemetos da amostra.

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7 ESTIMAÇÃO POR INTERVALO o Vimos que uma estimativa potual é um valor (ou poto) úico usado para aproximar um parâmetro populacioal. o No etato, a probabilidade de que uma estimativa potual coicida com o verdadeiro valor de um parâmetro populacioal é pequea. Na verdade, tal probabilidade será igual a zero caso a distribuição de T seja cotíua. o Etão, seria iteressate se a estimativa potual viesse acompahada de alguma medida de erro. É esse setido, que a estimativa itervalar complemeta a estimação potual. o Assim, um itervalo de cofiaça (estimativa itervalar) represeta uma amplitude de valores que tem alta probabilidade (grau de cofiaça) de coter o verdadeiro valor da população. o O grau de cofiaça (ou ível de cofiaça) é uma medida que represeta a probabilidade do itervalo coter o parâmetro populacioal. Tal probabilidade é chamada de 1- α. Logo, α (ível de sigificâcia) será a probabilidade de erro ao se afirmar que o itervalo cotém o verdadeiro valor do parâmetro.

8 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA DA POPULAÇÃO Duas situações são cosideradas quado desejamos estabelecer um itervalo de cofiaça para µ: 2 o quado σ é cohecida 2 o quado σ é descohecida Suposições: 2 o ~ N( µ, σ ) X ou o > 30 De modo geral, estamos iteressados em ecotrar um itervalo a forma: [ X ε 0; X + ε 0 ] = [ X ± ε 0 ] ode ε 0 represeta a semi-amplitude do itervalo de cofiaça, sedo chamado de ERRO de PRECISÃO em relação a µ.

9 2 Caso 1: σ é cohecida Como X ~ 2 σ N µ,, temos que P ( µ ε < < µ + ε ) 0 = 1 α 0 X f(z) α/2 1 - α α/2 Z α /2 0 Z 1 α /2

10 Logo, = z ε 0 1 α / 2 σ Assim, a partir da expressão acima podemos também estimar, por exemplo, o tamaho da amostra () (se ε 0, z e σ são cohecidos). Assim, temos que σ σ P( X z1 α / 2 < µ < X + z1 α / 2 ) = 1 α Em outras palavras, isso sigifica que a probabilidade de que o itervalo coteha o verdadeiro valor de µ σ [ X z1 α / 2 ; X + z1 α / 2 σ ] é igual a 1-α.

11 Exemplo 1) A retabilidade das vedas de carros usados a cidade de João Pessoa foi determiada em um estudo realizado pelos empresários locais. Uma amostra de 100 vedas de carros usados foreceu um lucro médio de R$ 2.000,00. Sabe-se de estudos ateriores que o desvio padrão é de R$ 500,00. a) A partir das iformações obtidas o estudo, costrua uma estimativa por itervalo de cofiaça de 99% do lucro médio para a população das vedas de carros usados. b) Quatas vedas de carros usados deveriam ter sido coletadas, para que a margem de erro fosse de o máximo 2% com mesmo ível de cofiaça? 2) Em um estudo de subsídios de empréstimos para os estudates, relatou-se que aqueles que tomam empréstimo do Baco do Brasil, com quatro aos de prazo, terão uma dívida de R$ 4.000,00. Cosidere que esse valor médio de edividameto está baseado em uma amostra de 121 empréstimos de estudates de graduação, e que o desvio padrão da população para a quatia emprestada é de R$ 1.300,00. a) Desevolva uma estimativa por itervalo de cofiaça de 95% da quatia média devida pelos estudates de graduação. b) O úmero de empréstimos aalisados é suficiete se quisermos que a margem de erro seja de o máximo 3% com o mesmo ível de cofiaça? c) O que acotece com a amplitude do itervalo quado o ível de cofiaça é de 99%?

12 Caso 2: 2 σ descohecida Neste caso, adota-se como estimador a variâcia amostral S 2 1 ) ( = = x x S i i Agora, a estatística 1) ( ~ / = t S X T µ terá distribuição t-studet com -1 graus de liberdade, e ão mais distribuição ormal padrão.

13 Assim, quado a variâcia é descohecida, a probabilidade de que o verdadeiro valor de µ perteça ao itervalo S [ X t( 1, α / 2) ; X + t( 1, α / 2) S ] é igual a 1-α. Logo, ε 0 = t ( 1, α / 2) S Assim, a partir da expressão acima podemos também estimar, por exemplo, o tamaho da amostra () (se ε 0, t e S são cohecidos).

14 Comparação da distribuição ormal padrão com a distribuição t de Studet

15 Exemplo 1) A associação Brasileira de Agêcias de Propagada registra dados sobre miutos sem programação os programas de meia hora o horário obre de televisão. Em uma amostra de 20 programas de horário obre obteve-se uma média de 6,5 miutos e um desvio padrão de 2 miutos. Cosidere que esta variável se comporta como uma distribuição ormal. a) Determie um itervalo de 99% de cofiaça para o úmero médio de miutos sem propagada. b) Quatos programas deveriam ter sido selecioados para que a margem de erro fosse de o máximo 0,3 miutos? c) Que erro se cometeria a estimação da média caso usássemos uma amostra com tamaho 20% iferior, usado o mesmo ível de cofiaça? 2) Sem embasameto estatístico ehum, o prefeito de certo muicípio deseja estimar a média de gastos dos turistas que visitam a cidade. Com este propósito, uma amostra aleatória de 25 turistas foi selecioada para a ivestigação e ecotrou-se que a média foi igual a R$ 500,00 e desvio padrão de R$ 250,00. a) Qual o itervalo de cofiaça, a 99% para a média dos gastos de turistas com a cidade? b) Qual deveria ser o tamaho da amostra, fixado uma margem de erro de 3% e um ível de cofiaça de 99%?

16 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO DA POPULAÇÃO Vimos que a distribuição amostral de pˆ, para suficietemete grade, é Normal com parâmetros pˆ ~ N p, p (1 p), O itervalo que estamos procurado é da forma p ˆ ± ε ]. Assim, por um camiho semelhate ao [ 0 adotado o caso da média populacioal µ, chega-se facilmete a ε 0 = z α 1 / 2 p(1 p) Assim, a partir da expressão acima podemos também estimar, por exemplo, o tamaho da amostra () (se ε 0, z e p são cohecidos).

17 No etato, a prática p é descohecido, sedo substituído pela proporção amostral pˆ. Assim, o itervalo de cofiaça para p, ao ível de cofiaça 1-α, é dado por pˆ pˆ (1 pˆ ) ; pˆ + [ z1 α / 2 z1 α / 2 pˆ (1 pˆ ) ]

18 Observações: Um erro comum é dizer que a probabilidade de µ estar o itervalo de 100(1-α)% é de (1-α). µ ão é uma variável aleatória, portato ão existe probabilidade sobre µ. µ é uma costate descohecida, sobre a qual desejamos iferir, através das quatidades amostrais X e S. A iterpretação correta é do itervalo de cofiaça coter o verdadeiro valor de µ com 100(1- α)% de cofiaça.

19 Exemplo de um itervalo de cofiaça para proporção

20 Exemplo 1) Um levatameto da Globo News solicitou a 800 adultos que respodessem a uma série de questões sobre suas perspectivas em relação à situação fiaceira do Brasil. Um total de 560 adultos respoderam Sim a questão: Você acha que as coisas estão ido bem o Brasil de hoje? a) Determie um itervalo de cofiaça ao ível de 95% para a proporção de adultos que setem que as coisas estão ido bem o Brasil. b) Quatos adultos deveriam ter sido etrevistados, para que fosse de 2 potos percetuais a margem de erro para estimar, com 95% de cofiaça, a verdadeira percetagem de adultos que setem que as coisas estão ido bem o Brasil? 2) O Istituto de Turismo do Estado da Paraíba plaeja pesquisar os visitates das maiores praias de todo o estado para estimar a proporção de visitates que ão residem a Paraíba. Observou que dos 500 visitates 320 eram do estado. a) Qual a estimativa da proporção de visitates que ão residem a Paraíba? b) Que tamaho de amostra deve ser tomada para se estimar a proporção de visitates de fora do estado com uma margem de erro de 2%? Use um ível de cofiaça de 95%. c) Determie um itervalo de cofiaça ao ível de 95% para a proporção de visitates de fora do estado da Paraíba.

21 FATORES DETERMINANTES DO ERRO DE ESTIMAÇÃO σ [ X z1 α / 2 ; X + z1 α / 2 σ ] O erro de estimação será meor ou maior depededo do(a): 1) Tamaho da amostra (): Quato meor o tamaho da amostra, maior será o erro de estimação. 2) Variabilidade da característica a população (σ): Quato maior for a variabilidade da característica cuja média está sedo estimada maior será o erro de estimação. 3) Nível de cofiaça (1-α): Se quisermos uma cofiaça maior o itervalo teremos um erro de estimação maior.

22 TESTE DE HIPÓTESES o O Teste de Hipóteses cosiste em uma regra de decisão elaborada para rejeitar (ou ão) uma afirmação (hipótese) feita a respeito de um parâmetro populacioal descohecido, com base em iformações colhidas de uma amostra aleatória. o Verificar se o salário médio de certa categoria profissioal o Brasil é de R$1.500,00 o Testar se o percetual de aceitação de um determiado produto é de 40% ou mais. CONCEITOS FUNDAMENTAIS Hipótese Nula (H 0 ): É a hipótese a ser testada. Hipótese Alterativa (H 1 ): É a hipótese a ser cofrotada com H 0. o O teste será feito de tal forma que deverá sempre cocluir a rejeição (ou ão) de H 0

23 o Como estamos tomado uma decisão com base em iformações de uma amostra, estaremos sujeitos a cometer dois tipos de erros: Erro do tipo I (α): Rejeitarmos H 0 quado H 0 é verdadeira. α = P(erro do tipo I) = P(rejeitar H 0 / H 0 é verdadeira) Erro do tipo II (β): Não rejeitarmos H 0 quado H 0 é falsa. β = P(erro do tipo II) = P(ão rejeitar H 0 / H 0 é falsa) Poder do Teste( 1 β) ou Potêcia do Teste 1 β = 1 P(ão rejeitar H 0 / H 0 é falsa) = P(rejeitar H 0 / H 0 é falsa) OBS: α é deomiado de ível de sigificâcia do teste. o Na prática, fixamos α bem pequeo, e tetamos cotrolar β aumetado o tamaho da amostra.

24 Nossas decisões em um teste de hipóteses podem ser resumidas a seguite tabela Amostra População H 0 é verdadeira Realidade (descohecida) H 0 é falsa d e c i s ã o Rejeitar H 0 Não rejeitar H 0 Erro do tipo I Decisão correta Decisão correta Erro do tipo II

25 OUTRAS DEFINIÇÕES IMPORTANTES o Estatística do teste: É a estatística utilizada para julgar H 0. o Região crítica do teste (RC): É formada pelo cojuto de valores que levam à rejeição de H 0. Ela depede do tipo de hipótese alterativa, do ível de sigificâcia (α) adotado, e da distribuição de probabilidade da estatística do teste. o Região de aceitação do teste (RA): É formada pelo cojuto de valores que levam à aceitação de H 0. ETAPAS NA ELABORAÇÃO DE UM TESTE DE HIPÓTESES Em suma, para a elaboração de um teste de hipóteses, devemos seguir os seguites passos: 1- Defiir as hipóteses ula(h 0 ) e alterativa(h 1 ); 2- Fixar o ível de sigificâcia (α); 3- Determiar a estatística do teste ; 4- Determiar a região crítica do teste; 5- Calcular o valor da estatística do teste, (com base uma amostra aleatória retirada da população de iteresse); 6- Se o valor calculado o passo aterior RC, rejeitar H 0, caso cotrário, ão rejeitar H 0 ; 7- Coclusão do teste.

26 TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA POPULACIONAL Caso 1: 2 σ cohecida 1. Defiição das hipóteses: H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 ou H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 ou H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 2. Fixar o ível de sigificâcia α 3. Defiir a estatística do teste Z = X µ σ ~ N(0,1) 4. Defiir a região crítica do teste (RC)

27 a) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 b) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0

28 c) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 5. Com base os valores observados da amostra, calcular o valor da Estatística do Teste Z Z c = X µ 0 σ 6. Se Z c RC rejeitar H 0 (coseqüetemete aceitar H 1 ). Se Z c RC Não rejeitar H 0 (coseq. ão aceitar H 1 ) 7. Cocluir sobre a decisão tomada o passo 6.

29 Exemplo 1) Os Brasileiros que deram etrada a declaração do imposto de reda de 2010 ates de 31 de março de 2011 têm uma restituição média de R$ 1.056,00. Cosidere a população de etregadores de última hora que despacharam suas declarações durate os últimos cico dias do período de etrega do imposto de reda (26 até 30 de abril). Sabe-se que o desvio padrão é de R$ 800,00. Um pesquisador sugere que uma das razões para que os idivíduos esperem até os últimos dias para etregar suas declarações é que em média eles têm uma restituição mais baixa do que os primeiros etregadores. Para uma amostra de 100 idivíduos que etregaram a declaração os últimos 5 dias, a restituição média da amostra foi de R$ 950,00. Qual é a sua coclusão? Cosidere um ível de sigificâcia de 5%. 2) Uma fábrica de automóveis aucia que seus carros cosomem em média 9,4 km/l, com desvio padrão de 0,79 litros. Uma revista com base em resultados prelimiares descofia da afirmação acima do fabricate e resolve testar tal hipótese aalisado 32 automóveis dessa marca, obtedo 9 km/l como cosumo médio. O que a revista pode cocluir sobre o aúcio da fábrica ao ível de sigificâcia de 5%?

30 2 Caso 2: σ descohecida 1. Defiição das hipóteses: H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 ou H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 ou H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 2. Fixar o ível de sigificâcia α 3. Defiir a estatística do teste T = X µ S ~ t (-1) (distr. t-studet com -1 graus de liberdade) 4. Defiir a região crítica do teste (RC)

31 a)h 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 b) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0

32 c) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 5. Com base os valores observados da amostra, calcular o valor da Estatística do Teste T T c = X µ 0 S 6. Se T c RC rejeitar H 0 (coseqüetemete aceitar H 1 ). Se T c RC Não rejeitar H 0 (coseq. ão aceitar H 1 ) 7. Cocluir sobre a decisão tomada o passo 6.

33 Observação: o Quado > 30, podemos ter dificuldades de achar o valor tabelado a tabela t-studet que defie os limites etre a região crítica e a região de aceitação do teste. Nesses casos, algus autores sugerem defiir a região crítica através da distribuição Normal padrão. o No etato, em ossa disciplia iremos sempre usar o valor tabelado obtido da tabela t-studet. o Justificativa: Os softwares computacioais (Excel, por exemplo) calculam os valores da distribuição t-studet.

34 Exemplo 1) Um fabricate afirma que seus cigarros cotêm ão mais que 30 mg de icotia. Uma amostra de 31 cigarros forecem média de 31,5mg e desvio padrão de 3mg. Ao ível de sigificâcia de 5%, os dados refutam ou ão a afirmação do fabricate? 2) Uma empresa paga atualmete aos seus operários um salário médio de R$ 15,00 a hora. A empresa está plaejado costruir uma ova fábrica e está cosiderado diversos locais. A dispoibilidade de mão de obra a uma taxa meor que R$ 15,00 a hora é um grade fator a decisão do local. Uma amostra de 40 trabalhadores foreceu um salário horário médio atual de R$ 14,00 e um desvio padrão de R$ 2,40. Com um ível de cofiaça de 0,99, os dados da amostra idicam que o local tem uma taxa de salário médio sigificativamete abaixo da taxa de R$ 15,00 por hora?

35 TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÃO POPULACIONAL 1. Defiição das hipóteses: H 0 : p = p 0 H 1 : p < p 0 ou H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 ou H 0 : p = p 0 H 1 : p > p 0 2. Fixar o ível de sigificâcia α 3. Defiir a estatística do teste Z = pˆ p p(1- p) ~ N(0,1) 4. Defiir a região crítica do teste (RC)

36 a) H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 b) H 0 : p = p 0 H 1 : p < p 0

37 b) H 0 : p = p 0 H 1 : p > p 0 5. Com base os valores observados da amostra, calcular o valor da Estatística do Teste Z Z c = pˆ p p (1 p ) Se Z c RC rejeitar H 0 (coseqüetemete aceitar H 1 ). Se Z c RC Não rejeitar H 0 (coseq. ão aceitar H 1 ) 7. Cocluir sobre a decisão tomada o passo 6.

38 Exemplo 1) Uma estação de televisão afirma que 60% dos televisores estavam ligados o seu programa especial da última seguda-feira. Uma rede competidora deseja cotestar essa afirmação, e decide, para isso, usar uma amostra aleatória de 200 famílias, das quais 104 respoderam afirmativamete. Qual deve ser o procedimeto adotado para julgar a afirmação da estação? Utilize um ível de sigificâcia de 5%. 2) Até o ao passado, apeas 40% dos estudates de uma certa catia uiversitária aprovaram a qualidade das refeições servidas o seu refeitório. Após uma série de medidas corretivas, 40 estudates foram escolhidos ao acaso, etrevistados, e o úmero daqueles que aprovaram a qualidade das refeições foram usados para verificar se as medidas corretivas surtiram efeito. O úmero dos que ficaram satisfeitos foi 22. Realize o teste de hipóteses apropriado usado o ível de sigificâcia de 5%. Podemos afirmar que as medidas corretivas surtiram efeito? E se adotarmos um ível de cofiaça de 99%?